矩阵论及其应用-chapter2

线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

第三章 矩阵分解把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的。

因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。

本章将分别介绍矩阵的五种分解：三角分解、QR 分解、满秩分解、谱分解和奇异值分解，并简单介绍了矩阵的正则性。

§3.1 矩阵的三角分解三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积。

定义3.1.1 设n n A C ⨯∈，如果存在下三角矩阵n n L C ⨯∈和上三角矩阵n n R C ⨯∈，使得A LR =，则称A 可以作三角分解。

定理 3.1.1 设n n n A C ⨯∈，则A 可以作三角分解的充分必要条件是0k ∆≠(1,2,,1)k n =-，其中det k k A ∆=为A 的k 阶顺序主子式，而k A 为A 的k 阶顺序主子阵。

证明：必要性。

已知A 可以作三角分解，即A LR =，其中()ij n nL l ⨯=(0,)ij l i j =<，()ij n nR r ⨯=(0,)ij r i j =>。

将A ，L 和R 进行分块，得12122122212222kkkA A L O R R A A L L O R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 这里k A ，k L 和k R 分别是A ，L 和R 的k 阶顺序主子阵，且k L 和k R 分别是上三角矩阵和下三角矩阵。

由矩阵的分块乘法运算，得k k k A L R = (1,2,,)k n =，由于1111det det det 0nn nn A L R l l r r ==≠，所以1111det det det 0(1,2,1)k k k kkk kk A L R l l r r k n ∆===≠=-充分性。

第二章多项式矩阵1§1.多项式矩阵及其初等变换一、多项式的概念二、多项式矩阵三、初等变换与初等方阵23一、多项式的概念10110()(,0)nn n n k f x a x a xa x a a F a −−=++++∈≠⋯ 数域F 上变量x 的n 次多项式的一般形式为： 当F 是实（复）数域, 称f 是实（复）数域上的n 次多项式.f 的次数记为deg (f ),当a 0=1时称f 为首1多项式。

零多项式即常函数0。

()0,f x ≡ 零次多项式 n =0, 即非零常数。

()0,f x c ≡≠4代数基本定理：在复数域内一个n 次多项式，一定可分解为下面的形式：零点 若f (x 0)=0,则称x 0为 f (x )的一个零点，或为方程 f (x )=0 的一个根。

1011()()(),kn n k k f z a z z z z n n n=−−++=⋯⋯ 在实数域内一个n 次多项式，一定可分解为一次和二次不可约因式的乘积。

5多项式的运算n n mm n n n a z a z a z a z a f ++++++=−−−1110⋯⋯00()a ≠m m m mb z b zb z b g ++++=−−1110⋯00()b ≠()()()m n m n mm n nb a z b a z b a z a g f ++++++++=+−−−1100⋯⋯ 设f 和g 分别是复数域上的n 次和m 次多项式, 不妨设.n m ≥()()()0011nmn m n m n m f g a z a b z a b z a b −−−−=++−++−+−⋯⋯ 即两个多项式相加减为其同次幂系数相加减。

6一般地, ()()(){}deg max deg ,deg f g f g ±≤()()()deg deg deg f g f g ⋅=+()()f z g z ()()0g z ≠带余除法()()()()f z g z h z r z =+()()()deg deg r g < 除法:被除式除式商式余式若r (z )=0,称g (z )整除 f (z ),记作g (z )|f (z ),称g (z )和h (z )都是 f (z )的多项式因子（因式） .7若多项式f (z )与g (z )除了非零常数外没有公因式，则称f (z )与g (z )互质，若deg(f )>deg(g ),称 为既约分式或真分式。

n
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
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1、向量范数的概念及l 范数
p
定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任 一向量x，对应一个实数值 x ，满足以下三个条件 1) 非负性： 当x 0 时，x 0; 当 x =0 时，x =0 2) 齐次性：ax a x , (a K , x V ) 3) 三角不等式：x y x y （x, y V ) 则称 x 为V上向量x的范数，简称向量范数。
F
l
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定理 mn mn nn A C , 且 P C 与 Q C 设 都是酉矩阵，则
PA
F
A
F
AQ
F
推论：和A酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相 H B Q AQ 则 A F B F ，其中Q是酉矩 同的，即若 阵。
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2、几种常用的矩阵范数
定理：已知 C 和 C 上的同类向量范数 ，设 Ax 是 C mn 上的矩阵范 A C mn ，则函数 A max X =1 数，且与已知的向量范数相容。称此矩阵范数为 “由向量导出的矩阵范数”简称为从属范数。
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