6.2 二元离散选择模型

2
因为通常情况下，我们考虑被解释变量为二元变
量的模型，这种模型也因此被称为二元选择模型或者离
散选择模型，如果为多元，则称之为多元选择模型。 离散选择模型起源于Fechner于1860年所进行的动
物条件二元反射研究，1962年Warner首次将这一方法
应用与经济研究领域。Mcfadden因为在离散选择模型
但问题是，当收入10万元，或者更少的情况下，平均拥有住房的
概率为负值，而当收入为20万元，或者更多的情况下，平均拥有 住房的概率大于1，因此，我们必须考虑相应的方法对这一问题 进行处理。
7
对同样的问题，我们采用如下的模型形式：
E (Yi / X i ) PYi 1 / X i
1
( 0 1 X i )
那么： 从而：
1 e Pi Li ln 1 P 0 1 X i ui i
1 ห้องสมุดไป่ตู้ Pi
1
0 1 X i
1 e e 0 1 X i 1 e 0 1 X i
参数的含义是什么？
这样的事件发生比Li，不仅对Xi是线性的，对参数也是线性的，而 且发生概率将永远落在0和1之间， Li就被称为logit，像*这样的模 型也就被称为logit模型。
Std. Err. .0041431 .0957771
[95% Conf. Interval] .069612 -1.879533 .0887202 -1.437808
e 1 e0.0792 1.082
这就意味着，当收入增加1万元时，根据该样本回归的结果认为， 拥有自有住房的发生比将增加8.2%
PYi 1 / X i
6

二元选择摸型如果回归模型的解释变量中含有定性变量,则可以用虚拟变量处理之。

在实际经济问题中，被解释变量也可能是定性变量。

如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的态度，某件事情的成功和失败等。

当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢?这就是要介绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。

这里主要介绍Tobit （线性概率)模型，Probit （概率单位）模型和Logit 模型。

1．Tobit （线性概率）模型 Tobit 模型的形式如下，y i = α + β x i + u i （1) 其中u i 为随机误差项,x i 为定量解释变量。

y i 为二元选择变量。

此模型由James Tobin 1958年提出,因此得名。

如利息税、机动车的费改税问题等。

设 1 （若是第一种选择） y i =0 (若是第二种选择）-0.20.00.20.40.60.81.01.2330340350360370380XY对y i 取期望，E （y i ) = α + β x i (2） 下面研究y i 的分布。

因为y i 只能取两个值，0和1,所以y i 服从两点分布。

把y i 的分布记为, P （ y i = 1) = p i P （ y i = 0) = 1 — p i 则E(y i ) = 1 （p i ） + 0 (1 - p i ） = p i（3）由（2)和(3）式有p i = α + β x i （y i 的样本值是0或1，而预测值是概率。

） (4) 以p i = - 0。

2 + 0.05 x i 为例，说明x i 每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。

现在分析Tobit 模型误差的分布。

由Tobit 模型（1）有,u i = y i — α - β x i =⎩⎨⎧=--=--0,1,1i i i i y x y x βαβαE(u i) = （1—α - β x i）p i + （—α - β x i) (1 - p i) = p i—α - β x i由（4)式，有E(u i) = p i - α—β x i = 0因为y i只能取0, 1两个值，所以，E(u i2) = (1—α - β x i)2p i + （- α - β x i)2（1 —p i）= (1- α - β x i）2（α + β x i）+ (α +β x i）2（1 - α—β x i）, (依据(4)式）= （1—α - β x i) (α + β x i）= p i (1 - p i），（依据(4）式）= E（y i）［1- E(y i）]上两式说明,误差项的期望为零，方差具有异方差。

二元选择摸型如果回归模型的解释变量中含有定性变量，则可以用虚拟变量处理之。

在实际经济问题中，被解释变量也可能是定性变量。

如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的态度，某件事情的成功和失败等。

当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢？这就是要介绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。

这里主要介绍Tobit （线性概率）模型，Probit （概率单位）模型和Logit 模型。

1．Tobit （线性概率）模型 Tobit 模型的形式如下，y i = α + β x i + u i (1) 其中u i 为随机误差项，x i 为定量解释变量。

y i 为二元选择变量。

此模型由James Tobin 1958年提出，因此得名。

如利息税、机动车的费改税问题等。

设 1 （若是第一种选择） y i =0 （若是第二种选择）-0.20.00.20.40.60.81.01.2330340350360370380XY对y i 取期望，E(y i ) = α + β x i (2) 下面研究y i 的分布。

因为y i 只能取两个值，0和1，所以y i 服从两点分布。

把y i 的分布记为， P ( y i = 1) = p i P ( y i = 0) = 1 - p i 则E(y i ) = 1 (p i ) + 0 (1 - p i ) = p i (3) 由（2）和（3）式有p i = α + β x i （y i 的样本值是0或1，而预测值是概率。

） (4)以p i = - 0.2 + 0.05 x i 为例，说明x i 每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。

现在分析Tobit 模型误差的分布。

由Tobit 模型（1）有，u i = y i - α - β x i =⎩⎨⎧=--=--0,1,1i i i i y x y x βαβαE(u i ) = (1- α - β x i ) p i + (- α - β x i ) (1 - p i ) = p i - α - β x i 由（4）式，有E(u i ) = p i - α - β x i = 0因为y i 只能取0, 1两个值，所以，E(u i 2) = (1- α - β x i )2 p i + (- α - β x i )2 (1 - p i )= (1- α - β x i )2 (α + β x i ) + (α +β x i )2 (1 - α - β x i ), （依据(4)式） = (1- α - β x i ) (α + β x i ) = p i (1 - p i ) , （依据(4)式） = E(y i ) [1- E(y i ) ]上两式说明，误差项的期望为零，方差具有异方差。

Yi 0 1GPAi 2 INCOMEi ui
其中：
1 Yi 0
第i个学生拿到学士学位后三年内去读研 该生三年内未去读研
GPA=第i个学生本科平均成绩 INCOME=第i个学生家庭年收入（单位：千美元）
设回归结果如下（所有系数值均在10%水平统计上显著）：
ˆ Yi 0.7 0.4GPAi 0.002 INCOMEi
yi 0 yi 1
函数可以简化为：
L (1 F ( X ))1 yi F ( X ) yi
yi 1
对方程左右取对数我们便得到：
ln L [ yi ln F ( X ) (1 yi ) ln(1 F ( X ))]
i 1
n
似然函数为
fi ln L n yi fi [ (1 yi ) ]xi 0 Fi 1 Fi i 1
Pr ob(Y 1 X ) X F ( X ) f ( X ) X
因此我们在遇到二元响应模型时，估计出参数我们不能盲目的 将其解释为：解释变量变动一个单位，相对应的因变量变化参 数个单位。
为了解决偏效应的问题我们引入调整因子的概念。 在上式中的 f ( X ) 我们 便称为比例因子或调整因子，它与全部 的解释变量有关，为了方便起见，我们要找一个适用于模型所有 斜率的调整因子。有两种方法可以解决： （1）用解释变量的观测值计算偏效应的表达式，调整因子为：
四、二元选择模型的估计
1.除了LPM模型以外，二元选择模型的估计都是以极大似然法为基础 的 。由前面的讨论我们知道：
P(Y 1 X ) F ( X )
由此我们可以得到模型的似然函数为：
P(Y1 y1 ,Yn yn X ) (1 F ( X )) F ( X )