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离散选择模型HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第五章离散选择模型在初级计量经济学里，我们已经学习了解释变量是虚拟变量的情况，除此之外，在实际问题中，存在需要人们对决策与选择行为的分析与研究，这就是被解释变量为虚拟变量的情况。
我们把被解释变量是虚拟变量的线性回归模型称为离散选择模型，本章主要介绍这一类模型的估计与应用。
本章主要介绍以下内容：1、为什么会有离散选择模型。
2、二元离散选择模型的表示。
3、线性概率模型估计的缺陷。
4、Logit模型和Probit模型的建立与应用。
第一节模型的基础与对应的现象一、问题的提出在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某种限制的数据。
1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。
例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。
由离散数据建立的模型称为离散选择模型。
2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。
例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。
这种类型的数据成为审查数据。
再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种数据称为截断数据。
这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。
有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置，就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。
下面是几个离散数据的例子。
例研究家庭是否购买住房。
由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、人们的购买心理等，所以人们购买住房的心理价位很难观测到，但我们可以观察到是否购买了住房，即我们希望研究买房的可能性，即概率(1)P Y =的大小。
离散选择模型和连续选择模型的比较分析一、引言选择模型是指通过研究个体选择行为来预测市场需求的一种模型。
根据选择的属性是否可测，选择模型可以分为离散选择模型和连续选择模型。
离散选择模型是指选择行为的结果是分类的，例如选择是A、B还是C。
而连续选择模型是指选择行为的结果是连续的，例如选择的数量是多少。
本文将对离散选择模型和连续选择模型进行比较分析。
二、离散选择模型离散选择模型常用于解释市场需求中的离散选择行为，包括二项选择模型、多项选择模型、有序多项选择模型等。
1、二项选择模型二项选择模型常用来解释个体在两个选项之间进行选择的概率。
其模型设定为，在两个选项中，个体选择第一个选项1的概率为P，选择第二个选项2的概率为1-P，二者之和为1。
该模型假设个体根据其效用（utility）差异进行选择，即个体会选择能够获得最大效用的选项。
2、多项选择模型多项选择模型常用来解释个体在多个选项之间进行选择的概率。
其模型设定为，对于N个选项，个体选择第i个选项的概率为Pi，所有选项的概率之和为1。
该模型假设个体会选择能够获得最大效用的项，效用函数通常采用对数线性模型（Logit Model）。
3、有序多项选择模型有序多项选择模型常用来解释个体在多个选项之间进行有序选择的概率。
例如，当个体面对三个不同价格的产品时，个体有可能在选择第一价格区间的产品、第二价格区间的产品或者第三价格区间的产品。
该模型假设选择的概率是对价值的一次函数，因此需要先对选项进行排序以确定选择的顺序，然后再推导选择的概率。
三、连续选择模型连续选择模型常用于解释市场需求中的连续选择行为，包括对数线性模型、线性规划模型等。
1、对数线性模型对数线性模型是一种常用的连续选择模型。
它假设个体的效用函数是一个对数线性函数，其中因变量是一个连续变量，例如价格、数量等。
对数函数可以将效用函数转化为线性形式，从而便于分析。
2、线性规划模型线性规划模型是一种常用的数学优化模型，用于解决连续选择问题。
第五周：离散选择模型分析技术——每周一讲多变量分析离散选择模型（Discrete Choice Model），也叫做基于选择的结合分析模型（Choice-Based Conjoint Analysis,CBC），是一种非常有效且实用的市场研究技术。
该模型是在实验设计的基础上，通过模拟所要研究产品/服务的市场竞争环境，来测量消费者的购买行为，从而获知消费者如何在不同产品/服务属性水平和价格条件下进行选择。
这种技术可广泛应用于新产品开发、市场占有率分析、品牌竞争分析、市场细分和价格策略等市场营销领域。
同时离散选择模型也是一种处理离散的、非线性的定性数据的复杂高级多元统计分析技术，它采用Multinomial Logit Model进行数据统计分析。
根据Sawtootch公司调查显示：在市场研究中，CBC方法正在快速增长，应用比传统的结合分析（联合分析）应用更多！离散选择模型主要用于测量消费者在实际或模拟的市场竞争环境下如何在不同产品/服务中进行选择。
通常是在正交实验设计的基础上，构造一定数量的产品/服务选择集（Choice Set），每个选择集包括多个产品/服务的轮廓（Profile），每一个轮廓是由能够描述产品/服务重要特征的属性(Attributes)以及赋予每一个属性的不同水平（Level）组合构成。
例如消费者购买手机的重要属性和水平可能包括：品牌（A，B，C）、价格（1500元，1750万元，2000元）、功能（短信，短信语音，图片短信）等，离散选择模型是测量消费者在给出不同的产品价格、功能条件下是选择购买品牌A，还是品牌B或者品牌C，还是什么都不选择。
离散选择模型的一个重要的假定是：消费者是根据构成产品/服务的多个属性来进行理解和作选择判断；另一个基本假定是：消费者的选择行为要比偏好行为更接近现实情况。
它与传统的全轮廓结合分析（Full Profiles Conjoint Analysis）都是在全轮廓的基础上采用分解的方法测量消费者对某一轮廓（产品）的选择与偏好，对构成该轮廓的多个属性和水平的选择与偏好，用效用值（Utilities）来描述。
一．二元离散选择模型1．二元响应模型(Binary response model)我们往往关心响应概率()()()()z G x x G x y x y k k =+++=E ==P βββ...1110，其中x 表示各种影响因素（各种解释变量，包括虚拟变量）。
根据不同的函数形式可以分为下面三类模型：线性概率模型（Linear probability model ，LPM ）、对数单位模型（logit ）、概率单位模型(probit)：三种模型估计的系数大约有以下的关系：LPM probit probit it ββββ5.2,6.1log ==2．偏效应（1）如果解释变量是一个连续型变量，那么他对p(x)=p(y=1|x)的偏效应可以通过求下面的偏导数得出来：()()()()dzz dG z g x g x x p j j =+=∂∂,0βββ，偏效应的符号和该解释变量对应的系数的符号一致；两个解释变量偏效应之比等于它们各自的估计系数之比。
（2）如果解释变量是一个离散性变量，则k x 从k c 变化到k c +1时对概率的影响大小为：()()()k k k k c x G c x G ββββββ+++-++++...1 (110110)上面的其他解释变量的取值往往取其平均值。
3．估计方法与约束检验极大似然估计；三种常见的大样本检验：拉格朗日乘数检验、wald 检验、似然比检验。
4．Stata 程序语法（以Probit 为例）probit depvar [indepvars] [weight] [if exp] [in range] [, level(#) nocoef noconstant robust cluster(varname) score(newvar) asis offset(varname) maximize_options ] predict [type] newvarname [if exp] [in range] [, statistic rules asif nooffset ] where statistic isp predicted probability of a positive outcome; the default xb linear predictionstdp standard error of the prediction二．具体的例子1．数据：美国1988年的CPS 数据2．模型：估计成为工会成员的可能性，模型形式如下：参加工会的概率=F(潜在经验potexp 、经验的平方项potexp2、受教育年限grade 、婚否married 、工会化程度high)；解释变量：Potexp=年龄-受教育年限-5； grade=完成的受教育年限； married ：1表示婚，0未婚；high ：1表示高度工会化的行业，否则为0。
离散选择模型解释离散选择模型，听起来是不是有点高大上，有点让人摸不着头脑？其实啊，它没那么神秘！咱们先来说说啥是离散选择模型。
就好比你去逛街买衣服，面对一排五颜六色、款式各异的衣服，你只能选一件。
这时候你的选择就是离散的，要么选这件，要么选那件，不可能同时选好几件穿在身上。
离散选择模型就是研究像这样的选择行为的。
比如说，你要出门旅游，有几个目的地可以选：海边、山区、城市。
那影响你最终决定的因素可能有很多，比如海边风景美但可能人多；山区空气好但交通不太方便；城市热闹但消费高。
离散选择模型就能帮我们分析这些因素是怎么影响你的最终决定的。
这就好像是一场内心的拔河比赛。
各种因素在你心里较着劲，有的使劲把你往海边拉，有的拼命把你往山区拽，还有的用力把你往城市推。
最后哪个因素的力量大，你就选择了对应的地方。
再举个例子，你每天早上纠结吃包子还是油条。
包子馅种类多，油条口感酥脆。
价格、营养、喜好等等都会影响你的选择。
离散选择模型就是要搞清楚这些因素到底谁占了上风，让你做出了决定。
你想想，要是商家能搞懂消费者在他们的产品里是怎么做出离散选择的，那他们不就能更好地迎合消费者的需求，赚更多的钱啦？反过来，政府也能通过这个模型了解大家对公共服务的选择偏好，从而提供更合大家心意的服务。
离散选择模型可不只是在经济领域有用哦。
比如说交通规划，是修地铁还是建公交专线？教育方面，是选择传统教学还是在线课程？甚至在医疗领域，选择哪种治疗方案，都能通过这个模型来分析。
所以说，离散选择模型就像是一个神奇的透视镜，能让我们看清那些看似随机的选择背后隐藏的规律和影响因素。
它能帮助我们做出更明智的决策，无论是个人生活中的小选择，还是社会发展中的大决策。
你说，这么有用的模型，咱能不好好研究研究，好好利用利用吗？。
离散选择模型步骤离散选择模型是一种决策分析方法，用于在给定的有限选项中选择最佳决策。
它在经济学、管理学、工程学等领域得到广泛应用。
本文将介绍离散选择模型的主要步骤。
1. 确定决策问题：首先，需要明确决策问题的目标和限制条件。
决策问题可以是各种各样的，比如选择投资项目、确定市场定价策略等。
明确问题是为了确保模型的设计和应用是有针对性的。
2. 收集决策信息：在进行决策分析之前，需要收集相关的信息和数据。
这些信息可以来自于市场调研、历史数据、专家意见等。
信息的准确性和全面性对于模型的建立和分析至关重要。
3. 确定决策变量：决策变量是指影响决策结果的因素。
在离散选择模型中，决策变量通常是一组有限的选项。
例如，在选择投资项目时，决策变量可以是不同的项目选项。
4. 制定决策准则：决策准则是指用于评估和比较不同选项的标准。
决策准则可以是单一的，也可以是多个综合考虑的因素。
常见的决策准则包括效益、成本、风险等。
5. 构建数学模型：离散选择模型可以使用多种数学方法进行建模，例如概率论、决策树、多属性决策等。
根据具体情况选择合适的方法，并建立相应的数学模型。
6. 分析决策结果：通过对模型进行求解，得到不同选项的决策结果。
分析决策结果可以包括对每个选项的评估、比较不同选项的优劣等。
还可以进行灵敏度分析，研究模型对参数变化的敏感性。
7. 做出最佳决策：根据分析结果，选择最佳决策。
最佳决策应该是在给定目标和限制条件下，使得决策准则达到最优的选项。
8. 验证和调整模型：一旦做出决策，需要验证模型的有效性，并根据实际情况对模型进行调整。
如果模型的预测结果和实际结果存在较大差异，可能需要重新收集数据或重新制定决策准则。
总结起来，离散选择模型的步骤包括确定决策问题、收集决策信息、确定决策变量、制定决策准则、构建数学模型、分析决策结果、做出最佳决策以及验证和调整模型。
通过这些步骤，可以帮助决策者更好地理解问题、分析选项，并做出科学合理的决策。
离散选择模型集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]第五章离散选择模型在初级计量经济学里，我们已经学习了解释变量是虚拟变量的情况，除此之外，在实际问题中，存在需要人们对决策与选择行为的分析与研究，这就是被解释变量为虚拟变量的情况。
我们把被解释变量是虚拟变量的线性回归模型称为离散选择模型，本章主要介绍这一类模型的估计与应用。
本章主要介绍以下内容：1、为什么会有离散选择模型。
2、二元离散选择模型的表示。
3、线性概率模型估计的缺陷。
4、Logit模型和Probit模型的建立与应用。
第一节模型的基础与对应的现象一、问题的提出在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某种限制的数据。
1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。
例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。
由离散数据建立的模型称为离散选择模型。
2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。
例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。
这种类型的数据成为审查数据。
再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种数据称为截断数据。
这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。
有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置，就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。
下面是几个离散数据的例子。
例研究家庭是否购买住房。
由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、人们的购买心理等，所以人们购买住房的心理价位很难观测到，但我们可以观察到是否购买了住房，即我们希望研究买房的可能性，即概率(1)P Y =的大小。
例 分析公司员工的跳槽行为。
员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪资、发展潜力等诸多因素的权衡。
员工跳槽的成本与收益是多少，我们无法知道，但我们可以观察到员工是否跳槽，即例 对某项建议进行投票。
建议对投票者的利益影响是无法知道的，但可以观察到投票者的行为只有三种，即研究投票者投什么票的可能性，即(),1,2,3P Y j j ==。
从上述被解释变量所取的离散数据看，如果变量只有两个选择，则建立的模型为二元离散选择模型，又称二元型响应模型；如果变量有多于二个的选择，则为多元选择模型。
本章主要介绍二元离散选择模型。
离散选择模型起源于Fechner 于1860年进行的动物条件二元反射研究。
1962年，Warner 首次将它应用于经济研究领域，用于研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。
70-80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业选点、交通问题、就业问题、购买行为等经济决策领域的研究。
模型的估计方法主要发展于20世纪80年代初期。
（参见李子奈，高等计量经济学，清华大学出版社，2000年，第155页-第156页）二、线性概率模型对于二元选择问题，可以建立如下计量经济模型。
1、线性概率模型的概念设家庭购买住房的选择主要受到家庭的收入水平，则用如下模型表示其中，i X 为家庭的收入水平，i Y 为家庭购买住房的选择，即由于Y 是取值为0和1的随机变量，并定义取Y 值为1的概率是p ，则Y 的分布为 即随机变量Y 服从两点分布。
根据两点分布，可得Y 的数学期望为显然从而12(|)i i E Y X X p ββ=+= （5-1）上述数学模型的经济学解释是，因为选择购买住房变量取值是1，其概率是p ，并且这时对应p 的表示是一线性关系，因此，Y 在给定i X 下的条件期望()i E Y X 可解释为在给定i X 下，事件（家庭购买住房）将发生的条件概率为(1)i i P Y X =，亦即家庭选择购买住房的概率是家庭收入的一个线性函数。
我们称这一关系式为线性概率函数。
由于，Y 服从两点分布，所以，Y 的方差为 2、线性概率函数的估计及存在的问题 对线性概率函数直接运用OLS估计，会存在以下困难。
（1）随机误差项的非正态性表现表明i u 服从两点分布。
而在经典计量经济学中，假定i u 服从正态分布。
（2）i u 的异方差性。
事实上，根据i u 服从两点分布则i u 的方差为()(1)i i i Var u p p =-。
表明i p 随着i 的变动是一个变量，则i u 的方差不是一个固定常数。
（3）利用加权最小二乘法修正异方差取权数为具有同方差。
在具体估计线性概率模型时，用ˆiY 作为p 的估计来计算权数w 的估计wˆ。
3、可决系数2R 的非真实性。
由于，被解释变量Y 只取值1或0，不可能有估计的线性概率模型能很好地拟合这些点，所以，这时计算的2R 会比1小许多，在大多数例子中，2R 介于与之间。
4、0≤()i i E Y X ≤1不成立。
克服这一问题可直接从对线性概率模型的估计，求出ˆi Y ，用人工的方法定义当ˆi Y >1时，取ˆi Y =1；当ˆi Y <0时，取ˆiY =0。
但要比较好地解决这类问题，只能考虑采用新的估计方法，这就是将要介绍的Logit 模型和Probit 模型。
第二节 Logit 模型一、Logit 模型的产生1、产生Logit 模型的背景由上述介绍可知，对于线性概率模型来说，存在一些问题，有的问题尽管可以用适当的方法加以弥补，但并不完善和理想。
（1）古典假定不再成立，如存在异方差性，可用加权OLS 方法加以弥补。
（2）在线性概率模型中，对于不满足0≤()i i E Y X ≤1的情况，用人工的方法处理，即当ˆi Y >1时，取ˆiY =1 当ˆi Y <0时，取ˆiY =0 虽然能够弥补不足，但仍然具有较强的主观因素。
（3）经济意义也不能很好地得到体现。
在线性概率模型12(|)i i E Y X X p ββ=+=中，概率(1)P Y =会随着i X 的变化而线性变化，但这与实际情况通常不符。
例如购买住房，通常收入很高或很低，对于购买住房的可能性都不会有太大的影响，而当收入增加很快时，对购买住房的影响将会很大。
所以，购买住房的可能性与收入之间并不是线性关系，有可能是一种非线性关系。
2、Logit 模型的含义综合上述讨论，我们所需要的是具有如下二分性质的模型。
（1）随着i X 的减小，i p 趋近0的速度会越来越慢；反过来随着i X 的增大，i p 接近1的速度也越来越慢，而当i X 增加很快时，i p 的变化会比较快。
故i p 与i X 之间应呈非线性关系。
（2）并且由概率的属性，i p 的变化应始终在0和1之间。
因此，一个很自然的想法是采用随机变量的分布函数来表示i p 与i X 的这种非线性关系。
从几何图形看，所需要的模型有点像图那样，概率位于0与1之间，并随着i X 非线性地变化。
图 一个累积分布函数的图形形如图所示的S 型曲线，就是随机变量的一个累积分布函数（CDF ）。
因此，当回归中的被解释变量是取0和1的二分变量时，并且概率值的变化与解释变量i X 之间有上述变化特征，则可用CDF 去建立回归模型。
在二分被解释变量的研究中可使用多种分布函数（Cox ，1970）来表示。
但最常用的是Logistic 分布函数和标准正态分布函数，前者导出Logit 模型，后者导出Probit 模型。
（3）Logistic 分布函数设 12()11()11i i i i z X p F z e e ββ--+===++ （5-2） 式中，12i i Z X ββ=+。
并且在该表达式中，有如下变动规律，当i Z →+∞时，1i p →；当i Z →-∞时，0i p →；当0i Z =时，12i p =。
称（5-2）式为Logistic 分布函数，它具有明显的S 型分布特征。
（4）Logit 模型以下是由Logistic 分布函数导出Logit 模型。
其中，1i ip p -为机会概率比（简称机会比，下同），即事件发生与不发生所对应的概率之比。
称（5-3）式为Logit 模型。
3、Logit 模型的特点（1）随着P 从0变到1，ln()1p p-从-∞变到∞（亦即i Z 从-∞变到∞）。
可以看出，在LPM 中概率必须在0与1之间，但对Logit 模型并不受此约束。
（2）ln()1p p-对i X 为线性函数。
（3）当ln()1p p-为正的时候，意味着随着i X 的增加，选择1的可能性也增大了。
当ln()1p p-为负的时候，随着i X 的增加，选择1的可能性将减小。
换言之，当机会比由1变到0时，ln()1p p -会变负并且在幅度上越来越大；当机会比由1变到无穷时，ln()1p p-为正，并且也会越来越大。
4、Logit 模型与线性回归模型的区别（1）Logit 模型为非线性模型，尽管等式右端看上去是线性形式，而普通回归模型是线性模型。
（2）线性回归模型研究被解释变量Y 的均值(|)i E Y X 与解释变量i X 之间的依存关系，而Logistic 分布函数研究的是事件发生的概率(1|)i P Y X =与解释变量i X 的依存关系。
（3）线性回归模型中包含随机误差项i u ，对i u 的要求是要满足基本假定，而Logistic 分布函数没有出现随机误差项，对模型没有这样的要求。
（4）在估计Logit 模型时，要求数据必须来自于随机样本，即各观测值相互独立，或者说要求样本分布与总体分布具有同一性，而对线性回归模型一般情况下并无这样严格的要求。
此外，Logit 模型与线性回归模型的一个相同的要求是，解释变量之间要无多重共线性，否则，会导致参数估计的方差变大和不稳定。
二、Logit 模型的估计为了估计Logit 模型，除了i X 外，我们还应有ln()1p p-的数值。
由于i p 只取值为1和0（即事件发生或不发生，如买房或不买房），使得ln()1p p -无意义，通常情况下，i p 没有具体的数据，所以直接对Logit 模型进行估计有困难。
这时，可有以下估计方法。
1、根据数据类型选用OLS 方法 可通过市场调查获得分组或重复数据资料，用相对频数ˆi i ir p n =作为i p 的估计。
以购买住房为例，将购买住房的情况分组，假设第i 组共有i n 个家庭，收入为i X ，其中有i r 个家庭已购买住房，其余未购买。
则收入为i X 的家庭，购买住房的频率为 将其作为i p 的估计，并代入对数机会比，有于是，样本回归函数为对上式可直接运用OLS 法估计未知参数了。
