必修五 第三章 不等式知识点总结及练习

不等式知识点小结1.不等式的定义我们用数学符号“”“>”“<”“”“”连接两个数或代数式, 以表示它们之间的不等关系, 含有这些不等号的式子, 叫做。

2.两个实数的比较如果是正数, 那么, 如果等于零, 那么, 如果是负数, 那么。

反之亦对, 也可以表示为,, 。

3.不等式的基本性质性质1: 称为不等式的对称性。

性质2: 称为不等式的传递性。

性质3: 。

推论1: 称为不等式的移项法则。

推论2: （同向不等式可以相加）。

性质4: （不等式两边同乘非0数值）。

推论1: 。

推论2: 。

推论3: 。

4.均值不等式（1）对任意两个实数, 数叫做的。

数叫做的。

（2）如果, 那么, 当且仅当时, 式中等号成立。

均值定理用文字语言可表述为。

（3）在使用均值不等式时注意满足三个条件：一、二、三, 三个条件缺一不可。

5.重要不等式对于任意实数, 有, 则当且仅当时, 式中等号成立。

6.直线的相关知识（1）直线方程:点斜式: 已知直线过点, 斜率为, 则直线方程为；斜截式：已知直线的斜率为, 在轴上的截距为, 则直线方程为；两点式: 已知直线过点 （ ）则直线方程为 ；截距式：已知直线在 轴的截距为 , 在 轴的截距为 （ ）则直线方程为（2）已知直线的倾斜角为 , 则斜率 ； 已知直线过点 , 则斜率 。

（3）已知直线 , , 若 ∥ 则 ； 若 , 则 。

已知直线 , , 若 ∥ 则 ； 若 , 则 。

7、二次函数的相关知识已知二次函数2()f x ax bx c =++（0a ≠）（1）顶点坐标为 ；对称轴方程为 ；（2）函数 与 轴交点个数的判断方法: 当 时, 与 轴有两个交点；当时, 与 轴有一个交点；当 时, 与 轴没有交点。

（3）二次函数的单调性:当 时, 在 上为增函数；在 上为减函数。

当 时, 在 上为增函数；在 上为减函数。

（4）二次函数的奇偶性：当 时, 为偶函数；否则 为非奇非偶函数。

2
③画出不等式表示
1
的平面区域。
-1 O -1
12
x
x y 0 线定界
点定域
(3) 3x 2y 6 0
4y
3 3x+2y-6=0
2
3x+2y1-6 0
-1 O 1
x 2
-1
把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
4y
3x 2y 6 0
2x y 3 0
3
注：不等式组表示
复习回顾
y
1.二元一次方程的有关知识： o
x
含有两个未知数且未知数的 最高次数为一的整式方程.
(2)一般形式: Ax By C = 0
(A, B不同时为0)
(3)图象: 一条直线
（以二元一次方程的解为坐标的点构成的集合）
探索新知
二元一次不等式的定义：含有两个未知数，且未
知数的最高次数为1，这样的不等式为二元一
一个解，判断这个点在哪个区 域？
x y 1 0
y 5
4
1b1 0
(1,b) x y 1 0
3
2
(0,1)
1
a
(1,0)
0
1
0
x
O 1 01 1 20 (a,0)
-1
-2
x + y -1 = 0
结论:
直线l : Ax By C 0 同一侧的点的坐
标使得式子 Ax By C 的值具有相同的 符号,并且两侧的点的坐标使 Ax By C 的值符号相反. (同侧同号,异侧异号)
1. 点（0，0）在平面区域 x y 0内；（对）
2. 点（-1，0）在平面区域x y 1 0内；（错） 3. 点（2，3）在平面区域 y 2x内；（错） 4. 点（3，-1）在平面区域 x y 1 0 内；（对）

一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c <0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0，0<c <d ⇒a c ＞b d； (6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞b d. (3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞n b .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b. 如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法．解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式；②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解；③画出相应的二次函数的图象；④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0.②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点．③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值，若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P 的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＜0所表示的平面区域．也可把二元一次不等式改写成y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax ＋By ＋C ＞0表示在直线Ax ＋By ＋C ＝0(B >0)的上方，Ax ＋By ＋C ＜0表示在直线Ax ＋By ＋C ＝0(B >0)的下方．(3)设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，若Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab ≤a ＋b 2. (1)基本不等式：设a ，b 是任意两个正数，那么ab ≤a ＋b 2.当且仅当a ＝b 时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a ＋b 2看做是正数a ，b 的等差中项，ab 看做是正数a ，b 的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． ③基本不等式ab ≤a ＋b 2几何意义是“半径不小于半弦”． (2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a．当a＝b时等号成立的含意是：a＝b⇒a＋b2＝ab；b．仅当a＝b时等号成立的含意是：a＋b2＝ab⇒a＝b；综合起来，其含意是：a＋b2＝ab⇔a＝b.(3)设a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab⇔ab≤a2＋b22⇔ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22.(4)基本不等式的几种变式：设a＞0，b＞0，则a＋1a≥2，ba＋ab≥2，a2b≥2a－b.(5)常用的几个不等式：①a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a，b，c∈R，则a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时，取等号)；③真分数的性质：若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min ＞A ；(2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max ＜B.例 1 设函数f(x)＝x ，g(x) ＝x ＋a(a>0)，若x ∈[1，4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1恒成立，求a 的取值范围． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1⇔－1≤f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1，得0≤ag （x ）f （x ）≤2， 即ax ＋a 2x≤2在x ∈[1，4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1，4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1，2]上恒成立，设g(t) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎨⎧g （1）≤0，g （2）≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0，22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＞A 成立，则等价于在区间D 上的f(x)max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＜B 成立，则等价于在区间D 上的f(x)min ＜B.例2 若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a 的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值小于a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＞A 的解集为D ；(2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＜B 的解集为D.例4 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合． 解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，∴Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8，0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab(a ＞0，b ＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．例5 已知0＜x ＜2，求函数y ＝x(8－3x)的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，8－3x ＞0，∴y ＝x(8－3x)＝13·3x ·(8－3x) ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号， ∴当x ＝43时，y ＝x(8－3x)有最大值为163. 设函数f(x)＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)． 求函数f(x)的最小值．解析：f(x)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f(x)取最小值．此时f(x)min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．例6若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A .73B .37C .43D .34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx ＋43能平分平面区域，因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．例7 当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（4m ）2－4×2×（3m －1）≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13. ∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根． 题型7 不等式与函数的综合问题例8 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f(x)的定义域为(－1，1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f(1－a)＜－f(1－a 2)．由于f(x)为奇函数，有－f(1－a 2)＝f(a 2－1)，∴f(1－a)＜f(a 2－1)．又f(x)在(－1，1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.②由①②可得0＜a ＜1，∴a 的取值范围是(0，1)．题型8 求分式函数的最值例9 求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值． 解析：y ＝（x 4＋2x 2＋1）＋（x 2＋1）＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2（x 2＋1）·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．题型9 数轴标根法(1)将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积．(2)求出各因式为0的实数根，并在数轴上标出．(3)自最右端上方起，用曲线自右至左，依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．例10解不等式(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.分析：本题考查高次不等式的解法，应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．解析：设y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，则y＝0的根分别是－2，－1，1，2，将其分别标在数轴上，并画出示意图如下：∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．点评：利用数轴标根法解不等式，需注意：(1)要注意所标出的区间是否是方程根的取值范围，可取特殊值检验，以防不慎造成失误．(2)有些点是否要舍掉，要仔细检验．题型10变换主元法例11设f(x)＝mx2－mx－6＋m.(1)若对于m∈[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；分析：根据题意，f(x)可看作是m 的一次函数，也可以看作是x 的二次函数来解．解析：(1)依题意，设g(m)＝(x 2－x ＋1)m －6，则g(m)是关于m 的一次函数且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，∴g(m)在[－2，2]上递增． ∴欲使f(x)＜0恒成立．需g(m)max ＝g(2)＝2(x 2－x ＋1)－6＜0，解得－1＜x ＜2.∴实数x 取值范围是(－1，2)．(2)方法一 ∵f(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0， 在x ∈[1，3]上恒成立．∴⎩⎨⎧m ＞0，f （x ）max ＝f （3）＝7m －6＜0或⎩⎨⎧m ＝0，f （x ）＝－6＜0或 ⎩⎨⎧m ＜0，f （x ）max ＝f （1）＝m －6＜0.解得m ＜67. 方法二 要使f(x)＝m(x 2－x ＋1)－6＜0在[1，3]上恒成立，则有m ＜6x 2－x ＋1在x ∈[1，3]上恒成立． 而当x ∈[1，3]时，6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67.∴6x2－x＋1的最小值为67.∴m＜67.点评：若给出m的取值范围，则看作是m的一次函数，若给出x的取值范围，则看作是x的二次函数．。

高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（一）第一节不等关系与不等式[知识能否忆起]1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．高频考点1. 比较两个数(式)的大小[例1] 已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[自主解答] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5；当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5.由题悟法比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．以题试法1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 2. 不等式的性质(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a－c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C.由题悟法1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．以题试法2．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab解析：选B A 中，只有a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，才成立；B 中，由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2成立；C ，D 通过取a ＝－2，b ＝－1验证均不正确． 3. 不等式性质的应用典题导入[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [自主解答] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．以题试法3．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范围为[1,7]．第二节一元二次不等式及其解法[知识能否忆起]一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同高频考点1.一元二次不等式的解法典题导入[例1] 解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [自主解答] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a .由题悟法1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．以题试法1．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 2．一元二次不等式恒成立问题典题导入[例2] 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．[自主解答] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1 ≤a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3 ≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．本题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)”，求a 的取值范围．解：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1,1)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＞1，g (1)≥0.解得－3≤a ≤1，所求a 的取值范围是[－3,1] .由题悟法1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)(x ∈R ) 恒成立的充要条件是： a ＞0且b 2－4ac ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是： a ＜0且b 2－4ac ＜0.以题试法2．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：由Δ1<0，即a 2－4(－a )<0，得－4<a <0； 由Δ2≥0，即a 2－4(3－a )≥0，得a ≤－6或a ≥2. 答案：(－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞) 2. 一元二次不等式的应用典题导入[例3] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． [自主解答] (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.由题悟法解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．以题试法3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，公司B 收取的费用为x (35－x )20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少，则x (35－x )20＞1.5x (0＜x ＜17)， 整理得x 2－5x ＜0，解得0＜x ＜5，所以当一次上网时间在5小时内时，选择公司A 的费用少；超过5小时，选择公司B 的费用少．练习题[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题正确的是( ) A ．若ac ＞bc ⇒a ＞b B ．若a 2＞b 2⇒a ＞b C ．若1a ＞1b ⇒a ＜bD ．若a ＜b ⇒a ＜b答案：D2．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0D ．不确定解析：选A 由a <0，ay >0知y <0，又x ＋y >0，所以x >0.故x －y >0. 4.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③4．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此 ①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出 ②④成立． 答案：②④[小题能否全取]1．(教材习题改编)不等式x (1－2x )＞0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案：B2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13D ．R答案：B3．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2.4．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.解析：因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 15．不等式1x －1＜1的解集为________．解析：由1x －1＜1得1－1x －1＞0，即x －2x －1＞0，解得x ＜1，或x ＞2.答案：{x |x ＜1，或x ＞2}1．(2012·重庆高考)不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，故原不等式的解集为(－2,1)．2．(2013·湘潭月考)不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：选B ①当x －2＞0即x ＞2时，原不等式等价于(x －2)2≥4，解得x ≥4. ②当x －2＜0即x ＜2时，原不等式等价于(x －2)2≤4， 解得0≤x ＜2.3．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选C ①m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不合题意．②m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311.6．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：选C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1， Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.7．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________.解析：k －3x －3＞1，得1－k －3x －3＜0，即x －k x －3＜0，(x －k )(x －3)＜0，由题意得k ＝1.答案：18．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅， ∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0， 即a 2－2a －3＜0， 解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3)9．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________．解析：由已知得f (3)＝6－m ，①当m ≤3时，6－m ≥3，则f (f (3))＝2(6－m )－m ＝12－3m ＞6，解得m ＜2；②当m ＞3时，6－m ＜3，则f (f (3))＝6－m ＋5＞6，解得3＜m ＜5.综上知，m ＜2或3＜m ＜5.答案：(－∞，2)∪(3,5) 10．解下列不等式： (1)8x －1≤16x 2；(2)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)．解：(1)原不等式转化为16x 2－8x ＋1≥0， 即(4x －1)2 ≥0，则x ∈R ， 故原不等式的解集为R .(2)原不等式转化为(x ＋a )(x －3a )＜0， ∵a ＜0，∴3a ＜－a ，得3a ＜x ＜－a .故原不等式的解集为{x |3a ＜x ＜－a }．11．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意知，月利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500.由月利润不少于1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300. 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500 ＝－2⎝⎛⎭⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．解：由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .。