必修5 第一章 解三角形
一、正弦定理
1.定理
2.sin sin sin a b c
R A B C
=== 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径.
变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C
二、余弦定理
1.定理
a 2=
b 2+
c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222
cos 2a b c C ab
+-=
2.可解决的问题
①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边.
三、三角形面积公式
（1）111
222
a b c S ah bh ch ∆===.
其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高.
（3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式.
（4）一个重要公式：对任何数列，总有
111,
(2).
n n n a S a S S n -⎧⎪⎨
⎪⎩==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化.
二、等差数列
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差.
（2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22
n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质：
①若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ； ②若m +n =2p ，则a m +a n =2a p ； ③a n =a m +(n -m )d . （6）等差中项：
①若m +n =p +q ，则a m a n =a p a q ； ②若m +n =2p ，则a m a n =a 2p ； ③a n =a m q n -m . （6）等比中项：
a ，
b 的等比中项G ab =±
a ，
b ，
c 成等比数列2(,,0).a b c b ac ≠⇔=
注：①a 1和q 叫做等比数列的基本元素，把S n 和a n 都用a 1和q 表示往往能使问题简化.②注意方程思想的应用，在a 1，q ，n ，S n ，a n 五个数中，知道三个可求剩下的两个.③使用求和公式时，要注意q ≠1的条件.
四、数列求和
主要求和方法有：
（1）公式法：主要用于等差数列与等比数列，这是首先应该考虑的方法.
（2）分组求和法：将数列的每一项拆分成几项，然后重新组合成几组，使每一组都能求和.如数列{n +2n }.
（3）并项求和法：将相邻几项合并，使合并后有规律，便于求和.如12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2.
（4）裂项相消法：将每项分成两项的差，并且正负能抵消.如求
111
....1223(1)
n n +++⋅⋅+ （5）错位相减法：设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求S n =a 1b 1+a 2b 2+⋅⋅⋅+a n b n 时用错位相消法.做法：将上式两端乘以{b n }的公比，错一位相减，中间n －1项构成等比数列，可以求和.注意将n =1，2，3代入检验.
性质8 a >b >0，n ∈N ，1.n n n a b >⇒
二、一元二次不等式
1.一元二次不等式的标准形式 ax 2+bx +c >0(a >0) ax 2+bx +c <0(a >0) ax 2+bx +c ≥0(a >0) ax 2+bx +c ≤0(a >0)
2.一元二次不等式的解集 不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax 2+bx +c >0 (-∞ , x 1)∪(x 2 , +∞)
{x |x ≠ x 1}
R
ax 2+bx +c <0 (x 1，x 2) ∅
∅
ax 2+bx +c ≥0
(-∞ , x 1]∪[x 2 , +∞)
R
R
ax2+bx+c≤0[x1 , x2]{x1}∅
说明：①表中内容不需死记硬背，可结合二次函数图象灵活掌握.
②表中x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的根，且x1③当Δ＞0时，解集有口诀：大于0取两边，小于0取中间.
三、二元一次不等式和线性规划
1.直线划分平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C >0(＜0)表示直线Ax+By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线，以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C
先画出直线ax+by=0作为参考直线，然后向上或下平移参考直线，使其与可行域有公共点且到达最上（或最下）的位置，此时z即取得最大或最小值.当b>0时，最上方的为最大值，最下方的最小值；当b<0时则相反.
四、基本不等式
1.基本不等式
（1）a2+b2≥2ab(a，b∈R). （2）a b ab
+≥a>0，b>0).
变式：（3）
22
(,R).
2
a b
ab a b
+
≤∈（4）
2
(,R).
2
a b
ab a b
+
⎛⎫
≤∈
⎪
⎝⎭
以上各不等式当且a=b时等号成立.
2.用基本不等式求最值
