数理统计答案 第四章 汪荣鑫

3. 设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为f (x )=b 。

迅 χ>6 (0, X ≤ 0.求 E(X).+ ooX 2解:E(X) =匸]xf(x)dx =齐J)Oo X∙ e ≡^dx = 14. 设X 1, X 2,…Xn 独立同分布,均值为U,且设Y =Xi,求E(Y).解:E(Y) = EGJXIXi) = ^E(∑jl 1Xj) = nμ = μ5. 设(X,Y)的概率密度为(e^y ,0 ≤x ≤ l,y > 0,f(X ^y) =I 0,其他求 E(X+Y).解:E(X + Y)=亡 U (X + y)f(x, y)dxdy = Jm(X + y)Qdxdy =V Oo J , θ^y + Y * θ^yd Y = \习题4・11.设随机变量X 的概率密度为(2×, O ≤ X ≤ 1,I .(l)f(x) = I O 其他(2)f(x) =-e lx,, -oo<%< +求 E(X)X 3 1- 0解:(I)E(X) = J 二 xf(x)dx X ∙ 2xdx = 2 ・却⑵ E(X) = J 二 Xf(X)dx = D ∙∣e^lxl = 02.设连续型随机变量X 的分布函数为( O 1 X < -1,F(X) = ]a + b ∙ arcsinx l -1 ≤ x < 1,( 1, X > 1.试确定常数a,b,并求E(X). 解：:arcsinx 的导数为「;:√ΓΣX Σ ；； 1!:arctanx 的导数为 T ;•2 :(1) f(×) = F'(x)=7⅛,-ι≤xvi0,其他+8Γ1 bf(x)dx = r dx = b ∙ arcsinx g λ1√1^21=bπ= 1,即 b = ^ —1 π 又因当一 ISXV 1时F(X) = ∫ f(x)dx =⑵ E(X) = J 二 Xf(X)dx = £ J ・ √⅛ = 0Γx 1 1 1----- dx = 一 ∙ arcsinx -ι∏ √1 -x 2 HXI =ZarCSinX + M即 a=；—1 R 226.设随机变量X b X 2相互独立,且X IZ X 2的概率密度分别为且E(X)=O.75,求常数C 和α.解:E(X)=仁7 Xf(X)血= JOI X ∙ CXadX = 0.75fι W = {2e"2x , X > 0, 0, X ≤ 0,f 2(χ) = {3e"3x, 0,X > 0, X ≤ O 1;该题服从描数分布"I I求：(1)E(2X 1 + 3X 2); (2)E(2X 1 - 3X 22); (3)E(X 1X 2). 解：(1) E(2X 1 + 3X 2) = 2E(X 1) + 3E(X 2) = 2*i÷3*i=223(2) E(2X 1 - 3X 22)==2E(X I )-3E(X 22)r +8 I X 2 3e^3x dx 0r +xI X 2 d(e~3x )] JO= 1-3*=1 - 3 * [-=1 - 3 * [-X 2 ∙ e"3x=1 - 3 * [0 +r+o ° 'e -3x 0+ oo 0 + 8e -3x ∙ 2x dx] r O=1 — 3 * [∣ J e -3x ∙ 3x dx]2 1=1 — 3 * — * —3 3(3) E(X 1X 2) = E(X 1)E(X 2) = ∣*i = ⅛ XO 1 2 1 0.1 0.2 0.1 20.30.10.2解:E(X) = ∑i ∑j X i P ij = 0 * 0.1 ÷ 0 * 0.3 ÷ 1 * 0.2 + 1 * 0.1 +*0.1÷2* 0.2 = 0.98.设随机变量X 的概率密度为7.己知二维随机变量(X,Y)的分布律为求E(X).0 ≤ X ≤ 1,其他.习题4・21.设离散型随机变最X 的分布律为X -1 0 0.5 1 2 P0.10.50.10.10.2求 E(X), E(X 2)1 D(X)・解：E(X) = (-1) *0.1 + 0* 0.5 ÷ 0.5 *0.1+ 1*0.1+2 * 0.2 = 0.45E(X 2) = (-1)2 *0.1 + 0* 0.5 + (0.5)2 * 0.1 + I 2 * 0.1 + 22 * 0.2 = 1.025D(X) = (一1 一 0.45)2 * 0.1 + (0 - 0.45)2 * 0.5 + (0.5 一 0.45)2 * 0.1 + (1 - 0.45)2 * 0.1 + (2 - 0.45)2 *0.2 = 0.82252. 盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X 的期望和方差. 解:X 的可能取值为0,1,2注总此处不可以用二项分布式：IP{X =k} = C⅛k q n ^k ；E(X) = 0 * 0.1 + 1 * 0.6 + 2 * 0.3 = 1.2D(X) = (O- 1.2)2 * 0.1 + (1 - 1.2)2 * 0.6 + (2 — 1.2)2 * 0.3 = 0.144 + 0.024 + 0.192 = 0.363. 设随机变量X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为求 D(X+Y).1(-—0)249解:D(X + Y) = D(X) + D(Y)=亦 + 旨=涪4. 设随机变量X 的概率密度为且 E(X)=O.5F D(X)=0.15.求常数 a f b,c. 解：P{x = o} = I = 0.12e"2x f X > 0, O 1 X ≤ O 1fγ(y) = P<y≤^0,其他，fχ(x) = ie^∣x ∣,-∞ < X < +∞,求 D(X)解:E(X) =-IXIdX = 0；此为奇函数,故=OE(X 2)=^e-W dX = 2 Γ ^e -X -8 2 Loo 2打二夕小正负无:+∞2 —X I■x e=:穷带入结果都一样,故： •8ID(X)=E(X 2)- [E(X)]2 = 2 设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X)JD(Yr2,求D(X-Y).解：D(X -Y) = D(X) + D(Y) =1 + 2 = 36.若连续型随机变量X 的概率密度为ax 2 + bx + c l 0 < X < 1, 0, 其他，5. f(x)=I =2∫+°∙^e -×J —OO 2P{X=2} = ∣∣ =1E(XY) = J [J *(x + y)dy]dx = J 47 71Cov(X, Y) = E(XY) 一 E(X)E(Y) =—3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为Cf 、 fye^(X+y), x>0,y>0, 3珂0,其他求X 与Y 的相关系数pxy∙ 解：r+o ° r+o °=I ( I χyθ^(χ+y)dy)dx =Jo 丿OE(Y)y 2e^(χ+Y) dx)dyE(X) f 1 7 a=I x(ax ÷ bx ÷ c) dx = - ÷ 丿0b C尹厂0・51 a b C E(X 2) = I x 2(ax 2 + bx + c)dx = -÷-÷- = 0.15 + (0.5)2= 0.4 丿 O S 4β dr+∞r i a b I f(x)cix = I (ax 2÷ bx ÷ c)dx = ^∙÷^∙÷ c = 1 J-∞ JO 3 / 解得 a=12,b=-12,c=3.习题4・31. 设两个随机变最X Z Y 相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y 的方差是 _ A. 8B. 16C. 28D. 442. 设二维随机变S(X z Y)的概率密度为1§(X + y), 0 ≤ X ≤ 2,0 ≤ y0,其他 求 COV(X,Y). 解：+ 8(a + b + cx)dx -8E(X) = JQq ∣(χ + y)dy]dx =r 2 X 2 __'0⅛∙y + 8,E(Y) =[Q 》x + y)dx|dy =右E(X)=(a∙x + b∙x+c∙e_y ∙ y dy = 2r+ o ° r + o °E(XY) = I (I xy 2e _(x+y)dy)dx = 2 JO 丿OCOV(X l Y) = E(XY) 一 E(X)E(Y) = 2-2*1 =04. 设二维随机变M(X z Y)HK 从二维正态分布卫 E(X)=O j E(Y)=O, D(X)=I6, D(Y)=25, COV(X Z Y)=12,求(X”)的联合概 率密度函数f(x,y).解：--------- 1e ~Ξ(I⅛{⅛^2πσιθ2√ 1—p 2∙∙∙ E(X) = O l E(Y) = 0 ∙*∙ AI = 0,旳=θ*・・・ D(X) = 16, D(Y) = 25 ・•・ σ1 = 4, σ2 = 5 ・・・ COV(X l Y) = 12Cov(X, Y) 12 3：■ P = --------------------- = ----------- =—√D(X)√D(Y)4*5 51 _25比_3Xy 丄 y2、:∙ f(x,y) = R—e 宓 16一 50 十刃J32π5. 证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X z Y).y 2e"x e"y cix)dyy 2 d(e"y )运用分部积分法.:^o °e-×∙ydy 服从入“的指数分布:所以PXy =Cov(X l Y) √D(χ)√oσ)2 (X -^I)(y-^2⅜ I (y~μz)21H σi∏2O22'f(χ,y)=证：D(X - Y) = E[X-Y - E(X 一Y)]2= E[(X-E(X))-(Y-E(Y))]2=E [(X - E(X))2] -2E[X- E(X)] ∙ E[Y 一E(Y)] ÷ E [(Y - E(Y))2]= D(X) +D(Y)-2Cov(X,Y)6. 设(X,Y)的协方差矩阵为C = (J43；),求X与Y的相矢系数P×y. 解:・・・c=c V)・•・ Cov(X, Y) = -3, D(X) = 4, D(Y) = 9Cov(X, Y) -3 1:∙ PXV = —一―= ----------- =———√D(X)√D(Y) 2*3 2自测题4一、选择题1.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是_A. E(X)=O.5, D(X)=O.25B. E(X)=2z D(X)=4C. E(X)=O.5, D(X)=4D. E(X)=2, D(X)=O.25解：指数分布的E(X)=?D(X) = W2. 设随机变最X Z Y相互独立,且X~B(16,0.5),Y服从参数为9的泊松分布,则D(X-2Y÷1)= C A.-14 B. 13C. 40D. 41解:D(X) = npq = 16 * 0.5 * 0.5 = 4f D(Y) = λ= 9D(X - 2Y + 1) = D(X)十4D(Y)十D(I) = 4 + 4*9 + 0 = 403. 己知D(X)=25,D(Y)=1, PXy=O.4, WlJ D(X-Y)= BA.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y)为二维连续随机变量,则X与Y不相关的充分必要条件是_.A. X 与Y 相互独立B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)C. E(XV)= E(X)E(Y)D. (X Z YrN(μ1, μ2, σ12,022,0)解：・・・X与Y不相关:、PXy = 0,・•・ COV(X l Y) = 0・・・ E(XY) = E(X)E(Y)5. 设二维随机变量(X,Y)~N(1,1,4,9,)则COV(X,Y)= B .A.iB. 3C. 18D. 36解：・・• PXy = J =-COV(X J Y) — COV(X#Y) . QCv∖— Q JD(X)JD(Y) 2»3 ,CθV(X, Y) 3已知随机变最X 与Y 相互独立,且它们分别在区间卜1,3］利2,4］上服从均匀分布,则E(XY)= A A. 3 B. 6C. 10D. 12解:・・・X~U(73),Y 〜U(2,4)a+b —1+32+4・・・ E(X) = 丁 == 1, E(Y) = 丁 = 3E(XY) = E(X)E(Y) =1*3 = 3设二维随机变M(X z YrN(0,0,1,1,0),0(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .A. X 与Y 都服从N(0,l)正态分布B. X 与Y 相互独立C. COV(X z Y)=ID. (X,Y)的分布函数是O)(X) ∙ Φ(y)填空题若二维随机变M(X Z YrN(μr μ2, σ12, σ22,0),且X 与Y 相互独立,则P=_0令 Y=2X+1,则 E(Y)=解：E(2X+l)=(2*-l+l)*0.1+(2*0+l)*0.2+(2*l+l)*0.3+(2*2+l)*0.4=3 己知随机变最X 服从泊松分布,且D(X)=I z 则P{X=l}=-e-1-.解：・・・D(X) = λ= 1λ1e"λ IΛP{X=l} = ^r =e -1设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X)= D(Y)=I z 则D(X-Y) = 2己知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,ECX 2)= 6解：・・・ E(X) = λ = 2, D(X) =λ = 2,・•・ E(X 2) = E 2(X) + D(X) = 4 + 2 = 6设X 为随机变量,且E(X)=2, D(X)=4,则E(X2)= 8 .己知随机变量X 的分布函数为0, X < 0 X-,0< X < 41, x≥4则 E(X) = 2 .(X=0≤x<4 4.0,其他 r 4 XE(X) = JO ξdx = 0 设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X)=乙D(Y)=I,则D(X-2Y+3)≡_6 设随机变量X 的概率密度函数为O l 其他6. 7.二 1. 2. 3. 4.5.6.7. 8. 三、F(X) =解:f(X )= F 〃”'(X )=f(x)=IX 2, -1 ≤x≤ 1, 3解:VCOV(X Z Y)=O设随机变量X 的分布律为3试求:(I)E(XL D(X); (2)P{∣X 一 E(X)I < 2D(X)}. 解：(1) E(X) = U ∣x 3 dx = Orl β 3 χ5 ] 13D(X)= E(XZ) -E2(X) = L I 2χ4^2'T ∣-1^5(2) P{∣x 一 E(X)I < 2D(X)} = P {∣X ∣ <∣} = Gf(X)dx = ∫J l 1∣x 2dx= 1四.设随机变量X 的概率密度为X O ≤x ≤ 12 -X, 1 ≤ x< 20,其他试求:(I)E(XL D(X); (2)E(X n )Z 其中n 为正整数. 解：⑴ E(X) = ∫o 1χ2dx + ∫12χ(2-x)dx = i÷i= 1r 1「2] /]4 15\ 1D(X) = E(χ2) — E2(X) = J X 3 dx + J X “(2 — x) — 1 = & + ( -------------------------------- —J -I =—⑵ E(X n ) = £ x n+1 dx +『x n (2 -X) =设随机变量X l 与X2相互独立,且XrN(μ, σ2L X 2~N(μl 亍).令X = x 1+x 2/ Y = χr χ2. 求:(I)D(X), D(Y); (2)X 与 Y 的相关系数 pxy.解：(1) D(X) = D(X I + X 2) = D(X l ) + D(X 2) = σ2 + σ2 = 2σ2 D(Y) = D(X I 一 X 2) = D(X I ) + D(X 2) = 2σ2⑵ Cov(X,Y) = E(XY) 一 E(X)E(Y) = 0Cov(KY) nPXy = J , ------- = 0(1) 求 E(X),D(X); (2) 令Y =求Y 的概率密度f γ(y).解:(1) E(X)= J o FoO 2xe-¾ =f +∞ IIIID(X) = E(X 2) - E 2(X) = I 2x 2e^2x dx ------------------------- ----------------JQ 4 2 4 4!2(2口+1_1)(n+l)(n+2) 五、六. 设随机变量X 的概率密度为f(x)=2e"2x l X > O 1 0, X ≤ 0由Y=2X-1得X =马岂X ,=i2 2七、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(2, 0 ≤ X ≤ l l 0 ≤ y ≤ %,f(X ^) =I0,其他求：(I)E(X+Y); (2)E(XY); (3) P{X + Y ≤ 1}.解：(1) E(X+Y) = &dxj ；2(x + y)dy = Jθl 2x 2 ÷ x 2dx = 1 (2) E(XY) = J O I dx∫^2xydy = ∫θx 3dx = J(3) P{X + Y≤1} = U x+ysl ‰y)dxdy = ⅛(^"y 2dx)dy = J^2-4ydy = |八.设随机变最X 的分布律为X •10 1P111亍3 3i≡ Y=X 2,求：(I)D(XL D(Y);(2) pxy.解：⑴ E(X) = (― 1)*J ÷0*^∙+1*J = 0/、 7 1 9 1 9 1 2D(X) = (-1 - O)2 * 2 + (0 - O)2 * 2 ÷ (1 - O)2 * J = J1 1 1 2E(Y) = (-1)2*^ + 0*3 + 12*3 = 32 1 2 1 2 12D(Y) = (I-3)2*3 +(°-3)2*3 +(I -3)2*3 = 9Y = X Z E(X) =√θ(X)-(y+气 y > -1 O, y ≤ -1(2)(X,Y)的分布律为1 2 12 12E(XY) = (O -1).^÷(1 ・一l)-g + (0∙0)∙^+(0∙l) ^+(l∙0)∙g + (l∙l)∙5 = 02 CCOV(X l Y)= =E(XY) 一E(X)E(Y) =0-0*^=0COV(X I Y)√D(X)√D(Y)。

第4章练习题1、一组数据中岀现频数最多的变量值称为（）A. 众数B.中位数C.四分位数D.平均数2、下列关于众数的叙述，不正确的是（）A. —组数据可能存在多个众数B.众数主要适用于分类数据C. 一组数据的众数是唯一的D. 众数不受极端值的影响3、一组数据排序后处于中间位置上的变量值称为（）A.众数B.,中位数C.四分位数D.平均数4、一组数据排序后处于25%和75%位置上的值称为（）A.众数B.中位数C.四分位数D.平均数5、非众数组的频数占总频数的比例称为（）A.异众比率B.离散系数C.平均差D.标准差6、四分位差是（）A. 上四分位数减下四分位数的结果|B. 下四分位数减上四分位数的结果C.下四分位数加上四分位数D. 下四分位数与上四分位数的中间值7、一组数据的最大值与最小值之差称为（）A.平均差B.标准差C.极差D.四分位差8、各变量值与其平均数离差平方的平均数称为（）A.极差B. 平均差C.,方差D.标准差9、变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为（）A.标准分数B.离散系数C.方差D.标准差10、如果一个数据的标准分数-2，表明该数据（）A.比平均数高出2个标准差B. ■比平均数低2个标准差C.等于2倍的平均数D. 等于2倍的标准差11、经验法则表明，当一组数据对称分布时，在平均数加减2个标准差的范围之内大约有（）A.68%的数据B.95% 的数据C.99% 的数据D.100%勺数据12、如果一组数据不是对称分布的，根据切比雪夫不等式，对于k=4，其意义是（）A. 至少有75%勺数据落在平均数加减4个标准差的范围之内B. 至少有89%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内C. 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内D. 至少有99%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内13、离散系数的主要用途是（）A.反映一组数据的离散程度B.反映一组数据的平均水平C.比较多组数据的离散程度D.比较多组数据的平均水平14、比较两组数据离散程度最适合的统计量是（）A.极差B.平均差C.标准差D.离散系数15、偏态系数测度了数据分布的非对称性程度。

第四章一、单项选择题1.由反映总体单位某一数量特征的标志值汇总得到的指标是（）A.总体单位总量B.质量指标C.总体标志总量D.相对指标2.各部分所占比重之和等于1或100%的相对数（）A．比例相对数 B．比较相对数 C．结构相对数 D．动态相对数3.某企业工人劳动生产率计划提高5%，实际提高了10%，则提高劳动生产率的计划完成程度为（）A.104.76%B.95.45%C.200%D.4.76%4.某企业计划规定产品成本比上年度降低10%实际产品成本比上年降低了14.5%，则产品成本计划完成程度（）A.14.5%B.95%C.5%D.114.5%5.在一个特定总体内,下列说法正确的是( )A.只存在一个单位总量，但可以同时存在多个标志总量B.可以存在多个单位总量，但必须只有一个标志总量C.只能存在一个单位总量和一个标志总量D.可以存在多个单位总量和多个标志总量6.计算平均指标的基本要求是所要计算的平均指标的总体单位应是（）A.大量的B.同质的C.有差异的D.不同总体的7.几何平均数的计算适用于求（）A.平均速度和平均比率B.平均增长水平C.平均发展水平D.序时平均数8.一组样本数据为3、3、1、5、13、12、11、9、7这组数据的中位数是（）A.3B.13C.7.1D.79.某班学生的统计学平均成绩是70分，最高分是96分，最低分是62分，根据这些信息，可以计算的测度离散程度的统计量是（）A.方差B.极差C.标准差D.变异系数10.用标准差比较分析两个同类总体平均指标的代表性大小时，其基本的前提条件是( )A.两个总体的标准差应相等B.两个总体的平均数应相等C.两个总体的单位数应相等D.两个总体的离差之和应相等11.已知4个水果商店苹果的单价和销售额，要求计算4个商店苹果的平均单价，应采用（）A.简单算术平均数B.加权算术平均数C.加权调和平均数D.几何平均数12.算术平均数、众数和中位数之间的数量关系决定于总体次数的分布状况。

第四章一.思考题1、一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度？答：可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的形状，反映数据分布的偏态和峰态。

2、怎样理解平均数在统计学中的地位？答：平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。

从统计学思想上看，平均数是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然结果。

3、简述四分位数的计算方法。

答：四分位数是一组数据排序后处于25%和75%位子上的值。

四分位数是通过3个点将全部数据等分成4分，其中每部分包含25%的数据。

中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在25%位置上的数值和处在75%位置上的数值。

它是根据为分组数据计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确定四分位数所在的位置，该位置上的数据就是四分位数。

4、对于比率数据的平均数为什么采用几何平均？答：几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，主要适用于计算平均比率。

当所掌握的变量值本身是比率的形式时，采用几何平均法计算平均比率更为合理。

5、简述众数、中位数、平均数的特点和应用场合。

答：众数是数据中出现次数次数最多的变量值。

主要应用于分类数据。

中位数是一组数据排序后处于中间位置的变量值，其适用于顺序数据。

平均数也称均值，它是一组数据相加后除以数据个数的结果，是集中去世的主要测量值，它适用于数值型数据。

6、简述异众比率、四分位差、方差、标准差的使用场合。

答：异众比率主要适合测度分类数据的离散程度，对于顺序数据以及数值型数据也可以计算异众比率。

四分位差主要用于测度顺序数据的离散程度。

方差和标准差适用于测度数值型数据的离散程度。

7、标准分数有哪些用途？答：首先是比较不同单位和不同质数据的位置。

其次是和正态分布结合起来，求得概率和标准分值之间的对应关系。

还有就是在假设检验和估计中应用。