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数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。
不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。
025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。
小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。
0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。
1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。
用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布 。
)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。
用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X为子样均值，而01.0)(=>λX P ， 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。
数理统计试题库-----填空题（每题3分）第一章1. 设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为12,n n ，则()Var X Y -= 。
2. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。
3．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,3)N 的简单随机样本，221234(2)()X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。
4. 设总体()2Xk χ，12,,,n X X X 是取自该总体的一个样本，则1ni i X =∑服从2χ分布，且自由度为 。
5.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，2212()X a X X =+，则a = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为 。
6.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X =，则a = 时，统计量X 服从t 分布，其自由度为 。
7．X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则11ni i X X n ==∑服从的分布为 。
8. 设随机变量 X 服从正态分布2(0,3)N , 而 129,,,X X X 是来自X 的样本，则统计量()22212919U X X X =+++服从 。
9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N , 而129,,,X X X 和 129,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U ++++++=服从 。
10. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知(1,2,3,4)k k EX k α== 则当n 充分大时，随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，其分布参数为____________11. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，X 服从参数为λ的指数分布，则∑=ni i X 12λ服从____________分布.12. 设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2,μσ均为未知， 则2.DS =____________ 13. 设11,,,,,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，统计量1n iX Y =__________。
数理统计常用公式1.样本均值的公式：样本均值（x̄）是在一组样本数据中，所有数据的总和除以样本数量的结果。
即：x̄=(x₁+x₂+x₃+...+x̄)/n其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，n为样本数量。
2.总体均值的公式：总体均值（μ）是在一个总体中，所有数据的总和除以总体数量的结果。
在样本数据无法覆盖总体数据的情况下，可以通过样本均值来估计总体均值。
即：μ=(x₁+x₂+x₃+...+x̄)/N其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，N为总体数量。
3.样本方差的公式：样本方差（s²）是一组样本数据与其均值之差的平方和除以样本数量减一的结果。
即：s²=((x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+(x₃-x̄)²+...+(x̄-x̄)²)/(n-1)其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，x̄为样本均值，n为样本数量。
4.总体方差的公式：总体方差（σ²）是一组数据与其均值之差的平方和除以总体数量的结果。
在样本数据无法覆盖总体数据的情况下，可以通过样本方差来估计总体方差。
即：σ²=((x₁-μ)²+(x₂-μ)²+(x₃-μ)²+...+(x̄-μ)²)/N其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，μ为总体均值，N为总体数量。
5.样本标准差的公式：样本标准差（s）是样本方差的平方根。
即：s=√(s²)其中，s²为样本方差。
6.总体标准差的公式：总体标准差（σ）是总体方差的平方根。
即：σ=√(σ²)其中，σ²为总体方差。
7.相关系数的公式：相关系数（r）衡量了两个变量之间线性关系的强度和方向。
其计算公式为：r=Σ((x-x̄)*(y-ȳ))/(√(Σ(x-x̄)²)*√(Σ(y-ȳ)²))其中，x、y为两个变量的取值，x̄、ȳ分别为两个变量的均值，Σ表示求和。
第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解：*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i j i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n sn n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX D x Dx n nn ==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iXN μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200ny n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ （4）因为()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故()242000yY y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ 使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第 二 章 1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1x λ∧= 2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii in i i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。
数理统计符号
数理统计符号是数学中用于描述统计概念和方法的符号。
以下是一些常见的数理统计符号及其含义：
1. 总体和样本：总体是研究对象的全体数据，样本是从总体中选取的一部分数据。
通常用大写字母X表示总体，小写字母x表示样本。
2. 概率：描述随机事件发生的可能性大小的量。
通常用P(X)表示随机事件X的概率。
3. 分布函数：描述随机变量取值的概率规律的函数。
通常用F(x)表示随机变量X的分布函数。
4. 概率密度函数：描述连续型随机变量概率分布规律的函数。
通常用f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
5. 期望值：描述随机变量取值的平均水平的量。
通常用E(X)表示随机变量X的期望值。
6. 方差：描述随机变量取值离散程度的量。
通常用Var(X)表示随机变量X的方差。
7. 协方差：描述两个随机变量之间相关性的量。
通常用Cov(X,Y)表示随机变量X和Y的协方差。
8. 相关性系数：用于描述两个随机变量之间线性关系的量。
通常用ρxy表示随机变量X和Y的相关系数。
9. 假设检验：用于检验某个假设是否成立的统计方法。
通常用H0表示原假设，H1表示备择假设。
10. 置信区间：用于估计某个参数的取值范围的统计方法。
通常用θ表示未知参数，θ^表示参数的估计值，θ_low 和θ_high分别表示参数的置信下限和置信上限。
以上是一些常见的数理统计符号，当然还有许多其他的符号和概念，具体可以参考相关的统计学书籍或教材。
专业数理统计综合练习一、单项选择题（每题3分） 第一章1.设总体 X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ未知，2σ已知，123,,X X X 是取自总体 X的一个样本，则以下不是统计量的为( )3)()(321X X X A ++ ()()X B μ-()321,,max )(X X X C 2321)()(σX X X D ++2．设总体X 服从二项分布(,)B n p ，其中n 已知，p 未知，1X ，2X ，3X 是取自总体的一个样本，则下列选项中不是统计量的是（ ）（A ）3113ii X=∑ （B ）()123min ,,X X X（C ）12X p + （D ）321()ii XX =-∑3. 设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是（ ）. （A ）415X X +； （B ）41ii Xμ=-∑；（C ）σ-1X ； （D ）∑=412i iX4. 设12n X X X ，，，是来自总体X 的样本，则()2111ni i X X n =--∑是（ ）. (A ) 样本矩 (B ) 二阶原点矩 (C ) 二阶中心矩(D ) 统计量5.设12,,,n X X X 为总体X 的样本，期望μ、方差σ2未知，X 、s 2分别为样本均值和样本方差，则下列样本函数为统计量的是（ ）.(A ) 211()ni i X X n =-∑(B ) 11n i i X n μσ=-∑(C )22(1)n s σ- (DX6.设总体X 服从()223N ，，1210X X X ，，，是X 的样本，则有（ ）.(A ) ()20.9X N 服从， (B ) ()29X N 服从， (C ) ()209X N 服从，(D ) ()2090X N 服从，7.设X 服从()2N σ0，，则服从自由度为()1n -的t 分布的随机变量是（ ）.(A )nXS (B(C ) 2nX S(D 8.设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为1n ，2n ，则有（ ） （A ）()221212Var X Y n n σσ-=- （B ）()1212Var X Y n n σσ-=+（C ）()1212Var X Y n n σσ-=-（D ）()221212Var X Y n n σσ-=+9．设12,,,n X X X 是来自正态总体~(0,1)X N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有（ ） （A ）~(0,1)XN （B ）~(0,1)nX N（C ）~(1)nXt n S - （D ）2122~(1,1)n ii X F n X =-∑ 10. 设总体()2~,XN μσ，12,,,n X X X 为其一个样本，则下列选项正确的是( )（A ）(~(0,1)N X Sμ- （B ）(()~1X t n μσ--（C ）(()~X t n Sμ- （D ）(~(0,1)N X μσ-11. 设128,,,X X X 和1210,,,Y Y Y 分别是取自两个正态总体2(1,2)N -和2(2,5)N 的简单随机样本且相互独立，21S 和22S 分别是两个样本的样本方差，则统计量2122254S S 服从的分布是（ ）（A ）(9,7)F （B ）(7,9)F（C ）(7,7)F （D ）(9,9)F12. 设n X X X ,,,21 是总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值，记=21S∑∑∑===--=-=--n i n i n i i i i X n S X X n S X X n 1112232222)(11,)(1,)(11μ，∑=-=ni i X n S 1224)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）.（A ）1/1--=n S X T μ； （B ）1/2--=n S X T μ；（C ）nS X T /3μ-=； （D ）n S X T /4μ-=13. X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则11ni i X X n ==∑服从的分布为（ ）。
数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。
不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。
025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。
小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。
0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。
7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。
用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布 。
)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。
用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X为子样均值，而01.0)(=>λX P ， 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X和y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：A．X＝YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)＝φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得1－∫－∞＋∞φ(χ)dχ＝2∫0＋∞φ(χ)dχ，∴∫0＋∞φ(χ)dχ＝而F(－a)＝∫－∞－aφ(χ)dχ∫＋∞aφ(－t)(－dt)＝∫a＋∞φ(t)dt ＝∫0＋∞φ(χ)dχ－∫0aφ(χ)dχ＝－∫0aφ(χ)dχ故选B．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X～N(／μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ)A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ2)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝Ф(1)－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计4．设两个随机变量X与Y相互独立且同分布。
P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝．P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是A．P(X＝Y)＝B．P(X＝Y)＝1C．P(X＋Y＝0)＝D．P(XY＝1)＝正确答案：A解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计5．设F1(χ)与F2(χ)分别为随机变量X1与X2的分布函数．为使F(χ)＝a1F1(χ)－bF2(χ)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取A．B．C．D．正确答案：A解析：∵F1(χ)和F2(χ)均为分布函数，∴F1(＋∞)＝F2(＋∞)＝1 要使F(χ)为分布函数，也有F(＋∞)＝1．对该式令χ→＋∞，即得a－b＝1，只有A符合．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量Xi～(i＝1，2)，且满足P{X1X2＝0}＝1，则P{X1＝X2}等于A．0B．C．D．1正确答案：A解析：由P(X1X2＝0)＝1 可知P(X1＝－1，X2＝－1)＝P(X1＝－1，X2＝1)＝P(X1＝1，X2＝－1)＝P(X1＝1，X2＝1)＝0 由联合、边缘分布列(多维离散型)的性质和关系得(X1，X2)的联合、边缘分布列如下表．得：P(X1＝X2)＝P(X1＝－1，X2＝－1)＋P(X1＝0，X2＝0)＋P(X1＝1，X2＝1)＝0＋0＋0＝0 故选A．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数ua满足P{X＞ua}＝α，若P{｜X｜＜χ}＝α，则χ等于A．B．C．D．u1-α正确答案：C解析：设Ф(χ)＝P(X≤χ)为服从标准正态分布的X的分布函数，有结果：Ф(χ)＋Ф(－χ)＝1．χ∈(－∞，＋∞) (1) 又由α＝P(｜X｜＜χ)＝P(－χ＜X＜χ)＝Ф(χ)－Ф(－χ) (显然χ＞0) (2) 由(1)、(2)式得2Ф(－χ)＝1－α．得＝Ф(－χ)＝1－Ф(χ)＝1－P(X≤χ)＝P(X＞χ) 与题目中α＝P(X＞uα)比较，注意Ф(χ)为严格单调增函数(∵Ф(χ)＝＞0，χ∈R′)，这时P(X＞χ)＝P(X＞)，故χ＝，选C．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P{｜X－μ1｜＜1}＞P{｜Y－μ2｜＜1} 则必有A．σ1＜σ2．B．σ1＞σ2．C．μ1＜μ2．D．μ1＞μ2．正确答案：A解析：P{｜X－μ1｜＜1}＝＝2Ф()－1．同理：P{｜Y－μ2｜＜1}＝2Ф()－1．由已知得：由分布函数的非降性得：．故σ1＜σ2．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(χ)，则Z＝max{X，Y}的分布函数为A．F2(χ)B．F(χ)F(y)C．1－[1－F(χ)]2D．[1－F(χ)][1－F(y)]正确答案：A解析：Z的分布函数FZ(χ)＝P{Z≤χ}＝P{max(X，Y)≤χ}＝P{X≤X，Y ≤χ}＝P{X≤χ}.P{Y≤χ}＝F2(χ)，故选A．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1}＝．记FZ(z)为随机变量Z＝XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：B解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(XY≤z) ＝P(XY≤z｜Y＝0)P{Y＝0}＋P{XY ≤z｜Y＝1}P{Y＝1} ＝P{0≤z｜Y＝0}＋P{X≤z｜Y＝1} 而P{0≤z｜Y＝0}＝P{0≤z}＝P{X≤z｜Y＝1}＝P{X≤z}＝故FZ(z)＝在z＜0和z＞0上，FZ(z)显然连续；在z＝0上，可见FZ(z)只有1个间断点(z＝0处，∵)，故选B．知识模块：概率论与数理统计11．设随机变量X的分布函数F(χ)＝，则P{X＝1}＝A．0．B．．C．－e-1．D．1－e-1．正确答案：C解析：P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝(1－e-1)－e-1，故选C．知识模块：概率论与数理统计12．设f1(χ)为标准正态分布的概率密度，f2(χ)为[－1，3]上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足A．2a＋3b＝4．B．3a＋2b＝4．C．a＋b＝1．D．a＋b＝2．正确答案：A解析：由题意知：f1(χ)＝，－∞＜χ＜＋∞所以2a＋3b＝4，故选A．知识模块：概率论与数理统计13．设F1(χ)与F2(χ)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(χ)与F2(χ)是连续函数，则必为概率密度的是A．f1(χ)，f2(χ)．B．2f2(χ)F1(χ)．C．f1(χ)F2(χ)．D．f1(χ)F2(χ)＋f2(χ)F1(χ)．正确答案：D解析：由题意知′1(χ)＝f1(χ)，F′2(χ)＝f2(χ)，且F1(χ)F2(χ)为分布函数，那么[F1(χ)F2(χ)]′＝f1(χ)F2(χ)＋F1(χ)f2(χ)为概率密度，故选D．知识模块：概率论与数理统计填空题14．连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于6．_______(填“是”或“不是”)正确答案：是涉及知识点：概率论与数理统计15．设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；．解析：分布函数是右连续的，故得1＝Asin∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计16．设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X－3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计17．设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中故P{Y＝2}＝知识模块：概率论与数理统计18．设随机变量X的概率密度为若忌使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X≥k)＝∫k6(6－k) 若1≤k≤3，则P≥k)＝知识模块：概率论与数理统计19．从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得P{Y－2}＝P{X＝i}P{Y＝2｜X＝i}＝．知识模块：概率论与数理统计20．设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y ＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：a＝0．4，b＝0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P(X＝0，Y＝1}＋P(X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0}P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计21．设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______。
