随机过程_汪荣鑫第二版_第四章和第二节标准课后答案

第二章Markov 过程习题完整答案，请搜淘宝1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。

不是的话，请说明理由。

2、 天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。

如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。

试求此马氏链的转移概率矩阵。

3、 设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为}2,1,0{=S ，它的初始状态的概率分布为：4/1}0{0==X P ，2/1}1{0==X P ，4/1}2{0==X P ，它的一步转移转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4341031313104341P （1） 计算概率：}1,1,0{210===X X X P ； （2） 计算)3(12)2(01,p p 。

4、 独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以n ξ表示前n 次抛掷出的最大点数，试证明}1;{≥n n ξ是一马氏链，并求其n 步转移概率矩阵。

5、 设有一个三个状态}2,1,0{=S 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33221100p q q p q p P 试求：（1） )3(01)2(01)1(01)3(00)2(00)1(00,,,,,f f f f f f ； （2） 确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。

X (t3 ) X (t2 ), ..., X (tm ) X (tm1 ) 相互独立。
需要指出，这个定义并不要求随机过程的状态空间是离 散的。在本节关于电话交换站的例1中, X(t) 显然是平稳独 立增量过程。
第4章 马尔科夫过程
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定理3 若 { X (t ), t [0, )} 是状态离散的平稳独立增量过程， 则它是时齐马尔科夫过程。 证 往证“无后效性”成立。
P{ X ( t t ) X ( t ) 2} o( t )
(4.3)
这两种定义中的条件 (1) 是相同的，所不同的是条件 (2) .
前者给出增量的具体概率分布，后者给出在小时间间隔 t 内引起增量分布的极限性质。 可以说，前者从宏观上给出增量的概率分布，后者从 微观上给出增量的分布。 泊松过程是独立增量过程，由上节定理3可以判断它是 马尔科夫过程，且 X (0) 0 。
其中 0 .如果从零时刻起算， X 1 理解为第一个“事件” 的发生时刻，X 2 理解为第一个“事件”发生与第二个“事件” 发生的相隔时间， X 3 理解为第二个“事件”发生与第三个 “事件”发生的相隔时间，……。
第4章 马尔科夫过程
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X 一般地， n 理解为第 n-1 个“事件”发生与第 n 个“事件” 发生的相隔时间。见上图。令 Sn X1 X 2 ... X n , n 1, 2, ... 它表示第 n 个 “事件”发生的时刻。在 [0, t] 时间 内发生的事件数记为 X(t) ，即
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内容 回顾
P{ X a x | X a } 1 e
x
P{ X x}
遍历性 lim pij ( t ) p j , i , j E 与 i 无关。 t

M e = X n2+1 = X (7) = 0
R = X(n) − X(1) = 3.21− (−4) = 7.21
Me
=
X
n 2
+1
=
X (8)
= 1.2
9 解：
∑ ∑ 1
x = n1 n1
n1 i =1
xi
+
n2
1 n2
n1 + n2
n2
xj
j =1
= n1 x1 + n2 x2 n1 + n2
所以
X1 + X 2 + X3 N (0,1)
3
X1
+
X2 3
+
X3
2
χ 2 (1)
同理
X4
+
X5 3
+
X
6
2
χ 2 (1)
由于 χ2 分布的可加性，故
D X1 + X2 + X3 =1 3
1Y 3
=
X1
+
X2 3
+
X3
2
+
X4
+
X5 3
+
X6
2
可知
C=1
3
16. 解：（1）因为 ( ) Xi N 0,σ 2
yi -2
4
2
4
3
3
4 -3
5
3
2
0
2
∑ ∑ y
=
1 n
n i =1
yi
=1 13
13 i =1
yi
= 1 [−2 + 4 + 2 + 4 + 3 + 3 + 4 − 3 + 5 + 3 + 2 + 0 + 2]

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。