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P1682解：假设01234:H μμμμ=== 11234:H μμμμ不全为零1234454562024.52r n n n n n X =======经计算可得下列反差分析表：查表得0.05(3,16) 3.24F =0.0517.88370.4745(3,16)37.6887F F ==<故接受0H 即可认为四个干电池寿命无显着差异 3 解：假设0123:H μμμ==1123:H μμμ不全相等12336140.9278r n n n X =====经计算可得下列方差分析表：0.050.05(2,15) 3.684.373 3.68(2,15)F F F ==>=∴拒绝0H 故可认为该地区三所小学五年级男生平均身高有显着差异。
4 解： 假设01234:H μμμμ===11234:H μμμμ不全相等123445100.535r n n n n X ======0.05(3,16) 3.24F = 0.05(3,16) 3.24F F >=∴拒绝0H 故可认为这几支伏特计之间有显着差异。
5 解：假设012345:H μμμμμ====112345:H μμμμμ不全相等60 123455389.6r n n n n n X =======0.050.05(4,10) 3.4815.18(4,10)F F F ==>∴拒绝0H 故可认为温度对得率有显着影响215151511(,())X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知：()T t n r =-给定的置信概率为10.95α-=0.025{()}0.95P T t n r <-=故15μμ-的置信概率为的置信区间为150.025150.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+-2.236E S === 0.025(10) 2.2281t =由上面的数据代入计算可得：150.025150.0259084 2.2281 2.236 1.932210.0678E E X X t X X t --=--⨯=-+=故15μμ-的置信区间为（ , ）234343411(,())X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知：()X X T t n r =-34μμ-的置信区间为：340.025340.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+-代入数据计算得：340.025340.02510 2.2281 2.236 5.932714.0678E E X X t X X t --=-⨯=-+=故34μμ-的置信区间为（ , ） 8 解：假设01123:0H ααα=== 假设021234:0H ββββ====r0.01(2,6)10.92F = 0.01(3,6)9.78F = 0.01(2,6)A F F < 0.01(3,6)B F F >故接受01H ，拒绝02H即可认为不同加压水平对纱支强度无显着差异；既可认为不同机器对纱支强度有显着差异。
数理统计习题答案第一章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11l i i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 2 4.32S S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a cy==+=+∑ 所以 x a cy =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x ys c s = 成立 ()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-i1 2 3 4 5 6 7 8 9 i x 1939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310 i y-61-303103042420909-1852031011n i i y y n ==∑()161303103042420909185203109240.444=--++++-++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247xyx y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 i x 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 i y-2424334-3532213111113n i i i i y y y n ====∑∑ []12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯ 6. 解：变换()1027i i y x =-*i x23.5 26.1 28.2 30.4 i y -35 -9 12 34 i m234111li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi i i s m y y n ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==7解：身高 154158 158162 162166 166170 170174 174178 178182 组中值 156 160 164 168 172 176180学生数101426281282*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11l i i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n xn n +=+()12221121n n i i s x x n n +==-+∑10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：环数 10 9 8 7 6 5 4 频数23942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。
数理统计习题答案第一 章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11li i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 4.32S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a c y n n a c y n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1ni i ca y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x y s c s = 成立()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-11n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444=--++++-++= ()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247x y x y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-13111113n i i i i y y y n ====∑∑[]12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211nyi i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi ii s m y y n ==-∑()()()()222212351.5391.54121.5341.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==162 *11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()22*11li i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦= 8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+ ()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n iji j x xn n x xn x n x n n n n n s x n s x n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++解：()200.1460.3670.75790.9910110x x F x x x x ⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩158 162 166 170 174 178 18212. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX Dx Dx n n n nλλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a bEx += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中 ()1,1ix U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni i i i E X E x Ex n n DX Dx Dx n n n==========∑∑∑∑14.解：因为 ()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以()0,1i X N μσ- 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 由2χ分布定义可知 ()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为 ()0,1i X N 1,2,,i n =⋅⋅⋅ ()1230,3X X X N ++0=1= 所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x d xσχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n y n n Y y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311ni Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故 ()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()X t n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ使X =()221U χ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑所以()1nniX Y t m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n m n mi ii n i n X m X n Y F n m X n X m σσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ= 查表得 0.012.33U =代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26χ=+= 20.解：因为 ()2X n χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P≤=≤22lim tnP dt-→∞-∞≤==Φ故{}P X c≤≈Φ第二章1.00,0()0,0()()1()111xxx xxe xf xxE x f x xdx xe dxxe e d xexλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1xλ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k kx xE x k p p p k pppp∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p＝X所以有1pX∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)nix i in X nniL P P p p p-=-=∑=-=-∏1ln()ln()ln(1)niiL P n p X n p==+--∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12n i i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=-⎪⎨⎪=+⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0n ni i i nii inii L x x i nL n x d L nxd θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。
吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。
（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。
解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。
解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。
解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。
4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。
A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
第一章随机过程的基本概念1．设随机过程X(t)=X cosω0t,-∞ <t< +∞，其中ω0是正常数，而X是标准正态变量。
试求X（t）的一维概率分布解：∵当cosω0t=0 即ω0 t =(k + 1)π 即t=1(k+1)π时2 ω0 2p{x(t)=0}=1若 c o ωs0t≠ 0 即t ≠1 (k+ 1 )π时2ω0F (x, t)= P{X (x)≤ x}= P{X cosω0t ≤ x} 当 c o ωs0t> 0 时此时若 c o ωs0t同理有⎧ x ⎫ 1 x - ξ 22F (x, t)= P⎨X ≤ ⎬ = cosω0t e dξ⎩ cosω0t ⎭ 2π⎰0∂F (x, t ) 1 - x2 1f (x, t)= = e 2 c o 2sω 0t⋅∂x c o sω0tπ< 0 时⎧ x ⎫ ⎧ x ⎫F (x, t)= P⎨X ≥ ⎬ = 1 -P⎨x< ⎬⎩ cosω0t⎭ ⎩ cosω0t⎭1 x e- ξ 2= 1 - cosω0t 2 dξ⎰0- x21f (x, t)= - 2 c o 2sω t ⋅c o ωs0t综上当：cosω0t≠0 即t ≠1 (k+ 1 )π时ω0 21 1 - x2f (x, t) e 2 cos2 ω0t| cosω0 t |π2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为⎧cos πt , 出现正面X (t ) = ⎨⎩ 2t , 出现反面1假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 1 2 。
试确定 X (t ) 的一维分布函数 F (x , 2)和 F (x ,1) ，以及二维分布函数 F (x 1 , x 2 ;12 ,1)解：（1）先求 F (x , 1 )2⎧ π 出现正面 ⎧0⎛ 1 ⎫ ⎪cos 2 , 出现正面显然 X⎪ = ⎨= ⎨1出现反面 ⎝ 2 ⎭ ⎪2 - , 出现反面 ⎩12⎩⎛ 1 ⎫随机变量 X ⎪ 的可能取值只有 0，1 两种可能，于是⎝ 2 ⎭⎧ ⎛ 1 ⎫ ⎫ 1⎧ ⎛ 1 ⎫⎫ 1 P ⎨X⎪ = 0⎬ =P ⎨X⎪ = 1⎬ =⎩ ⎝ 2 ⎭⎭ 2 ⎩ ⎝ 2 ⎭⎭ 2所以⎧ 0 x < 0⎛1 ⎫ ⎪ 1F x ,⎪ =⎨ 0 ≤ x < 1⎝2 ⎭ 2⎪1 x ≥ 1⎩再求 F （x ,1）⎧cos π 出现正面 ⎧-1 出现正面显然 X (1) = ⎨= ⎨⎩2出现反面 ⎩2出现反面p {X (1) = -1}= p {X (1) = 2}= 12所以⎧0x < -1⎪ 1F (x ,1) = ⎪-1 ≤ x < 2⎨ 2⎪⎪1x ≥ 2⎩1(2) 计算 F (x 1 , x 2 ; 2 ,1)1 0 出现正面-1 出现正面X () = ⎨出现反面, X (1) = ⎨出现反面2⎩1⎩2于是⎛ 1 ⎫⎧ ⎛ 1 ⎫ ⎫ F x x 1 , x 2 ; ,1⎪ =p ⎨X ⎪ ≤ x 1 ; X (1) ≤ x 2 ⎬⎝2 ⎭⎩⎝ 2 ⎭⎭⎧0 x 1 < 0- ∞ < x 2 < +∞⎪或 x 1 ≥ 0, x 2 < -1⎪⎪ 10 ≤ x 1 < 1, 2 ≤ x 2= ⎨2 ⎪ 或 x 1> 1,⎪ -1 ≤ x 2 < 2⎪⎩1x 1 > 1,x 2 ≥ 23．设随机过程 {X (t ),-∞ < t < +∞}共有三条样本曲线X (t,ϖ1 ) = 1, X (t,ϖ 2 ) = sin t , X (t,ϖ 3 ) = cos t且 p(ϖ1 ) = p(ϖ 2 ) = p(ϖ 3 ) = 1 , 试求随机过程 X (t ) 数学期望 EX(t) 和相关函数3 R x (t 1,t 2)。
n i 1n i 1n i 1第一章1•在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为 （单位：斤） ，求子样平均数和子样方差。
解： -1 nX x i 100n i 121 n2 —2SX i x 34n i 12•从母体中抽取容量为 60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。
s .18.67 4.322 2 2x a cy,s x c s y 。
解：由变换y inX ii 1X i a 即X icy i ,nxa cy ina cnycnai 1X a cy由2 1n _21 n2c 2 n_ 2 2 2而s xX i Xa cy i a cy yi y C解:—1l* .Xmi i X4n i 1 2 1* 2 — 2sm i x i x 18.67ni 192, 94, 103, 105， 1063•子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值 X i ,X 2, ,X n 的平均数为为x 。
作变换 y占一a ，得到y i , y 2,c,y n ，它的平均数为— 2y 和方差为S y X 和方差。
试证：ni 110得到它的子样的下列观测数据 （单位：磅/英寸2）： 1815, 2020, 2310后利用第3题中的公式获得X 和s 2的数值。
i*m i y i4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909,采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。
先作变换 y iX i2000，再计算y 与s ：，然解：作变换yX i2000，a 2000Y i2164 240.442240.444 2S X2Sy1 nn 2 — y iyi 12197032.2475.在冰的溶解热研究中， 测量从0.72 r 的冰变成 0c 的水所需热量，取作试验得到热量数据如下 :79.98， 80.04, 80.02,80.04,80.03,80.03, 80.04,79.97， 80.05， 80.03， 80.02, 80.00,80.02试用变换y i 100X i 80 简化计算法计算子样平均数和子样方差。
10011==∑=ni i x n x 3411222=-=∑=n i i x x n s第一章1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。
解：2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。
解：411*==∑=li i i x m n x67.181122*2=-=∑=li i i x x m n s32.467.18==s3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21⋯的平均数为x 和方差为2x ε。
作变换ca x y i i -=，得到n y y y ,,,21⋯，它的平均数为y 和方差为2y s 。
试证：222,y x s c s y c a x =+=。
解：由变换cax y i i -=，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x ni ini i +=+=∑∑==,11y c a x +=∴而()()()∑∑∑====-=--+=-=ni y in i i n i i xs c y y n c y c a cy a n x x n s 1222212122114.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）：1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。
先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。
解：作变换2000-=i i x y ，2000=a44.24021649111=⨯==∑=n i i y n y444.2240=+=y a x247.197032112222=-==∑=n i i yxy y n s s5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下：79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。
解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a22913111=⨯==∑=n i i y n y02.80100280=+=+=y c a x41222222103.5-=⨯=-==∑ni i yxy y nc s c s6.容量为10的子样频数分布为试用变换()2710-=i i x y 作简化计算，求x 与2x s 的数值。
解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a()5.11510111*-=-⨯==∑=l i i i y m n y85.2610)5.1(27=-+=+=y c a x4025.4122*2222=-==∑=li i i yxy y m nc s c s试计算子样平均数和子样方差（各组以组中值作为子样中的数值）解：16611*==∑=l i i i x m n x ，44.331122*2=-=∑=l i i i x x m n s8.若从某母体中抽取容量为13的子样：1.2-,3.2,0,1.0-,1.2,4-,2.22,2.01,1.2,1.0-, 3.21,1.2-,0。
试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。
如果再抽取一个样品为2.7构成一个容量为14的子样，求子样中位数。
解：顺序统计量为4-,1.2-,1.2-,1.0-,1.0-,0, 0，1.2，1.2，2.01,2.22，3.2, 3.210=me21.7)4(21.3=--=R添加2.7后，2.1=me9.从同一母体抽得的两个子样，其容量为1n 和2n ，已经分别算出这两个子样的平均数1X 和2X ，子样方差21s 和22s 。
现将两个子样合并在一起，问容量为21n n +的联合子样的平均数与方差分别是什么？解：∑∑====211211,n i in i ix x x x∑∑==-=-=21122222212121211,1n i i n i i x x n s x x n s()2211211x n x n n n x ++=()()()22221121221221211222121s n s n n n x x n n n n x x s n n i i +++-+=-=∑+=10.某射手进行20次独立、重复的设射击，击中靶子的环数如下表所示：试写出子样的频率分布，再写出经验分布函数并作出其图形。
解：频率分布；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=10,1109,9.097,75.076,3.064,1.04,0)(*20x x x x x x x F11.利用第7题中数据作出学生身高的子样直方图。
解：12.设n X X X ,,,21⋯是参数为λ的泊松分布的母体的一个子样，X 是子样平均数，试求X E 和X D 。
解：λλλ=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑--n n Ex n x n E X E p x ni i n i i 111),(~11n n n Dx n x n D X D ni i n i i λλ=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==212111113.设n X X X ,,,21⋯是区间)1,1(-上均匀分布的母体的一个子样，试求子样的平均数的均值和方差。
环数10987654 频数 2 3 0 9 4 0 2环数 10 9 8 7 6 5 4 频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.1解：31122,0211),1,1(~2===+-=-Dx Ex U x 01111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==Ex Ex n x n E x E ni i n i in Dx n x n D x D n i i 31111=•=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=14.设n X X X ,,,21⋯是分布为),(2σμN 的正态母体的一个子样，求()∑=-=ni i X Y 1221μσ的概率分布。
解：()2,~σμN X Θ，则)1,0(~N x yi iσμ-=，且n Y Y ,,1⋯之间相互独立()∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ni ni i i ni i y x x Y 11221221σμμσ由2χ分布定义)(~2n Y χ，Y 服从自由度为n 的2χ分布。
15.设母体X 具有正态分布)1,0(N ，从此母体中取一容量为6的子样),,,,,(654321X X X X X X 。
又设()()26542321X X X X X X Y +++++=。
试决定常数C ，使得随机变量CY 服从2χ分布。
解：)1,0(~N X ，)3,0(~3211N X X X Z ++=)1,0(~31N Z ，()1~32121χZ6542X X X Z ++=亦服从)3,0(N 且与1Z 相互独立，且2χ相互独立。
)1,0(~32N Z ，()1~3222χZ由2χ分布可加性()()2~313133222212221χY Z Z Z Z =+=+，31=∴c16.设()n X X X ,,,21⋯是分布为()2,0σN 的正态母体中的一个子样，试求下列统计量的分布密度：∑==ni i X Y 121)1(； ∑==n i i X n Y 1221)2(； 213)()3(∑==ni i X Y ；21)(1)4(∑=ni i X n 。
解：)1,0(~,),0(~2N X N X ii σσ)1,0(~1),,0(~121N Xn n N Xni ini i∑∑==σσ()()()()1~;1~~;~224223222221χσχσχσχσY n Y n nY n Y()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥Γ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥Γ=------0,00,21)4(0,00,21)3(0,00,)2(2)2(0,00,)2(2)1(2423222122221222212x x e x x f x x e x n x f x x e n x n x f x x e n x x f xY xY nx n n nn Y x n n n Y σπσσσσπσπσσ17.已知)(~n t X ，求证),1(~2n F X 。
证：令)(~2n t nUX χ=，其中)1,0(~N U)(~22n χχ，且U 与2χ独立，2U 亦与2χ独立 nU X 222χ=，由F 分布定义知),1(~2n F X18.设m n n n X X X X X ++⋯⋯,,,,,,121是分布为),0(2σN 的正态母体容量为m n +的子样，试求下列统计量的概率分布：∑∑++===mn n i ini iX nX m Y 1211)1(；∑∑++===mn n i ini i X n X m Y 12122)2(。
解：(1))1,0(~1N n X ni i ∑=σΘ， 且)(~212m m X mn n i i χσ∑++=⎪⎭⎫⎝⎛)(~)(1211m t mX n X Y mn n i i ni i ∑∑++==⎪⎭⎫⎝⎛=∴σσ(2))(~212n n X ni i χσ∑=⎪⎭⎫⎝⎛Θ)(~212m m X mn n i i χσ∑++=⎪⎭⎫ ⎝⎛),(~12122m n F m X n X Y mn n i i ni i ∑∑++==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴σσ19.利用2χ分布的性质3近似计算()90201.0χ。
解：26.12133.21809090290)90(01.0201.0=⨯+=⨯⨯+≈u χ20.设()n X 2~χ，试证：当n 很大时，对0>c 有{}⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤n n c c X P 2 其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数。
证： 当n 很大时，X 近似服从)2,(n n N ，于是)1,0(~2N nnX - {}⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤∴n n c n n c n n X P c X P 222。
