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】中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.【思路点拨】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【答案与解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．（1）画出△DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，∴BG=CE=3，BG∥CE，∵CE⊥BD，∴BG⊥BD．在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，∴DG==3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，∴AG=D G﹣AD=3﹣2=．2．如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆. （1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解． 【答案与解析】（1）由平移的性质得 AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ∴四边形AFBC 为平行四边形 S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形 ∴BF ∥AC ，且BF=AC 又∵AE=CA∴BF ∥AE 且BF=AE∴四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA 为菱形 ∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ∵∠BEC=15°，AE=AB ∴∠EBA=∠BEC=15° ∴∠BAC=2∠BEC=30°BCA （'C ）E∴在Rt△BAD中，AB=2BD 设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=3∴AC=23．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．类型二、轴对称变换3（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【答案与解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．举一反三：【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.【答案】∵∠CPR=12∠B=12×120°=60°，∠CRP=12∠D=12×50°=25°，∴∠C=180°－60°－25°=95°．4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P 在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM•所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．【答案与解析】（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．∴∠AMP=∠MPC．由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=12∠MPC，∠NMP=∠AMN=12∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥BC，∴所有的PM都是相等的．又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM是矩形．∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，∴矩形C′QDM的周长为2a．同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定．类型三、旋转变换【高清课堂图形的变换例4】5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.∵△ABC是等边三角形∴∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)∵ BC=AC，OC=CD∴△BCO≌△ACD (SAS)∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC又∵OC=OD∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形∵∠AOB=110°, ∠BOC=135°∴∠AOC=115°∴∠AOD=115°-60°=55°∵∠ADC=135°∴∠ADO=135°-60°=75°∴∠OAD=180°-55°-75°=50°∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°∴∠AOD+∠ADO=130°∴∠OAD=50°当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，∴OE1＝OF1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900，∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，1111OE OFE OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.∵∠AOD＝900，α＝30°，∴ ∠E1OA＝900－α＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将△ABP 绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a，.在△PQC中，∵，.∴.∴.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中，.∴正方形ABCD的面积.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
广东省各市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题5：图形的变换问题1. （2015年广东梅州3分）下图所示几何体的左视图为【】A. B. C. D.【答案】A.【考点】简单组合体的三视图．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定，从物体左面看，共三层，三层各有1个正方形．故选 A.2. （2015年广东佛山3分）下图所示的几何体是由若干个大小相同的小立方块搭成，则这个几何体的左视．．图．是【】A. B. C. D.【答案】D.【考点】简单组合体的三视图.【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得有两层，上层左边有1个正方形，下层有2个正方形. 故选D.3. （2015年广东广州3分）将图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是【】A. B. C. D.【答案】D.【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的性质，将图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案与原图形中心对称，它是.故选D.4. （2015年广东广州3分）如图是一个几何体的三视图，则这几何体的展开图可以是【】A. B. C. D.【答案】A.【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图.【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为矩形可得此几何体为圆柱.圆柱的展开图是一个矩形两个圆形.故选A.5. （2015年广东深圳3分）下列主视图正确的是【】A. B. C. D.【答案】A.【考点】简单组合体的三视图.【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得有两层，上层中间有1个正方形，下层有3个正方形. 故选A.6. （2015年广东深圳3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG FDG ≌；②2GBAG ；③GDE BEF ∽；④725BEFS .在以上4个结论中，正确的有【】A. 1B. 2C.3D. 4【答案】C.【考点】折叠问题；正方形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理.【分析】由折叠和正方形的性质可知，,90DF DC DA DFC C ，∴90DFG A .又∵DG DG ，∴ADG FDG HL ≌. 故结论①正确.∵正方形ABCD 的边长为12，BE=EC ，∴6BE EC EF .设AGFG x ，则6,12EG x BG x ，在Rt BEG 中，由勾股定理，得222EGBEBG ，即222662xx，解得，4x . ∴4,8AG GF BG .∴2GBAG . 故结论②正确.∵6BE EF，∴BEF 是等腰三角形.易知GDE 不是等腰三角形，∴GDE 和BEF 不相似. 故结论③错误.∵11682422BEGS BE BG ，∴67224105BEFBEGEFSSEG.故结论④正确.综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个.故选C.7. （2015年广东3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为【】A.6B.7C. 8D. 9【答案】D.【考点】正方形的性质；扇形的计算.【分析】∵扇形DAB的弧长?DB等于正方形两边长的和6BC CD，扇形DAB的半径为正方形的边长3，∴16392扇形DABS.或由变形前后面积不变得：339正方形扇形ABCDDABS S.故选D.8. （2015年广东汕尾4分）下图所示几何体的左视图为【】A. B. C. D.【答案】A.【考点】简单组合体的三视图．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定，从物体左面看，共三层，三层各有1个正方形．故选 A.9. （2015年广东汕尾4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为【】A. 25B. 5C. 455D.255【答案】B.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接,AF CE ，设AC 与EF 相交于点O .则根据折叠和矩形的性质得，四边形AECF 是菱形，∴AECE .∵04290AB BC B ，，，∴222425AC.∴5AO .设AE CEx ，则4BEx . ∵222CEBEBC ，∴22242x x，得52x.∴在Rt AOE 中，222255522OE AEAO.∴5EF .故选B.1. （2015年广东梅州3分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB=4，BC=2，那么线段EF 的长为▲ ..【答案】5.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接,AF CE ，设AC 与EF 相交于点O .则根据折叠和矩形的性质得，四边形AECF 是菱形，∴AECE .∵04290AB BC B ，，，∴222425AC.∴5AO .设AE CEx ，则4BEx . ∵222CEBEBC ，∴22242x x，得52x.∴在Rt AOE 中，222255522OEAEAO.∴5EF .2. （2015年广东广州3分）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，33AB，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为▲ .【答案】3.【考点】双动点问题；三角形中位线定理；勾股定理.【分析】如答图，连接DN，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴12EF DN.∴要使EF最大，只要DN最大即可.根据题意，知当点N到达点B与B重合时，DN最大. ∵∠A=90°，33AB，AD=3，∴223336DN DB，此时，132EF DN.3. （2015年广东深圳3分）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有▲ 个太阳.【答案】21.【考点】探索规律题（图形的变化类）.【分析】观察图形可知，上面一排按序号1，2，3，4，,排列，第5个图形有5个太阳；下面一排按012342,2,2,2,2,排列，第5个图形有4216个太阳；∴第5个图形共有21个太阳.4. （2015年广东珠海4分）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为▲ cm ．【答案】3．【考点】圆锥和扇形的计算．【分析】根据题意，得扇形的弧长为：90126180鬃=，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据圆的周长公式，得26r =，解得3r =．∴圆锥的底面半径为3cm ．1. （2015年广东梅州10分）在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P.（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于▲ ，线段CE 1的长等于▲ ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】解：（1）25，25.（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB =E 1AC = 135°. 又∵AB=AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1且∠D 1BA = ∠E 1CA.设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BFA=∠CFP . ∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13.【考点】面动旋转问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等、相似三角形的判定和性质.【分析】（1）如题图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225ABAE；线段CE 1的长等于222214225ACAE .（2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 . （3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB，，∵1ABD PBH ∽，∴1AD AB PHPB.∴24223PH.∴13PH .∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13.2. （2015年广东深圳9分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB 开始的时候BD=1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动.（1）当B 与O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC 与半圆相切时，求AD ；（3）如图3，当AB 和DE 重合时，求证：2CFCG CE .【答案】解：（1）∵开始时，4BO cm ，三角板以2cm/s 的速度向右移动，∴当B 与O 重合的时候，三角板运动的时间为422/cm s cm s. （2）如答图1，设AC 与半圆相切于点H ，连接OH ，则OHAC .∵,90AB BC ABC ，∴45A .又∵3OH OD cm ，∴232AO OH .∴323ADAODOcm .（3）如答图2，连接EF ，∵OD OF，∴ODF OFD.∵DF是直径，∴090DFE. ∴090ODF DEF. 又∵090DEC DEF CEF.∴ODF CEF. ∴CFG OFD ODF CEF.又∵FCG ECF，∴CFG CEF∽.∴CF CECG CF，即2CF CG CE.【考点】面动平移问题；等腰（直角）三角形的判定和性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）直接根据“路程时间速度”计算即可.（2）作辅助线“连接O与切点H”，构成等腰直角三角形求出AO的长，从而由AO DO求出AD 的长.（3）作辅助线“连接EF”，构成相似三角形CFG CEF∽,得比例式即可得解.3.（2015年广东7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB.由折叠的性质可知，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF.∴∠AFG=∠B.又∵AG=AG，∴△ABG≌△AFG（HL）.（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG.设BG=FG=x，则GC=6x,∵E为CD的中点，∴CF=EF=DE=3，∴EG=3x，在Rt CEG 中，由勾股定理，得2223(6)(3)x x ，解得2x，∴BG=2.【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据正方形和折叠对称的性质，应用HL 即可证明△ABG ≌△AFG （HL ）.（2）根据全等三角形的性质，得到BG=FG ，设BG=FG =x ，将GC 和EG 用x 的代数式表示，从而在Rt CEG 中应用勾股定理列方程求解即可.4. （2015年广东汕尾11分）在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P.（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于▲ ，线段CE 1的长等于▲ ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】解：（1）25，25.（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB =E 1AC = 135°. 又∵AB=AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1且∠D 1BA = ∠E 1CA.设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BFA=∠CFP . ∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13.【考点】面动旋转问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等、相似三角形的判定和性质.【分析】（1）如题图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225ABAE；线段CE 1的长等于222214225AC AE .（2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 .（3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB ，，∵1ABD PBH ∽，∴1AD ABPH PB .∴24223PH .∴13PH .∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13.5. （2015年广东珠海7分）已知,ABC AB AC D =，将ABC D 沿BC 方向平移得到DEF D ．（1）如图1，连接,BD AF ，则BD ▲ AF （填“>”，“<”或“=”号）；（2）如图2，M 为AB 边上一点，过M 作BC 的平行线MN 分别交边,,AC DE DF 于点,,G H N ，连接,BH GF ．求证：BH GF =．【答案】解：（1）=.（2）证明：∵将ABC D 沿BC 方向平移得到DEF D ，MN ∥AB ，∴根据平移的性质，得,,MG HN GC NF MGC HNF ==?.∵AB AC =，∴ABC ACB ?.又∵MN ∥AB ，∴四边形BCGM 是等腰梯形.∴,MB GC GMB MGC =?.∴,MB MF GMB HNF =?.又∵MG HN =，∴MH GN =.在BMH D 和FNG D 中，∵,,MB MF HMB GNF MH NG =??，∴BMH D ≌()FNG SAS D .∴BH GF =．【考点】面动平移问题；平移的性质，平行的性质；等腰梯形的判定和性质；全等三角形的判定和性质. 【分析】（1）根据平移的性质，应用SAS 证明ABF D ≌DFB D 即可得出BD AF =的结论.（2）根据平移的性质，结合等腰梯形的判定和性质，应用SAS 证明BMH D ≌FNG D 即可得出BH GF =的结论.。
图形的变换基础1. 熟练掌握平移、轴对称和旋转的性质，并能够进行相关的计算；2. 能够在坐标系内进行平移、轴对称和旋转的坐标变换；3. 熟练掌握平移、轴对称和旋转在几何证明中的应用技巧；4. 会处理最短路径及变型问题.1. 平移、轴对称和旋转的相关计算和证明；2.最短路径及变型问题.平移1.生活中的平移现象（1）平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．（2）平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有的点移动的方向一致，并且移动的距离相等．（3）确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点的平移的方向和距离．（4）利用平移设计图案：确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．2.平移的性质（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离.（2）平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．3.坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）（3）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．例 1.在图示的四个汽车标志图案中，能用平移交换来分析其形成过程的图案是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：根据平移的概念，观察图形可知图案C通过平移后可以得到．故选：C．练习1.下列图案可以通过一个“基本图形”平移得到的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：A、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项错误；B、可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项正确；C、是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项错误．故选B．练习2.下列运动属于平移的是（）A．空中放飞的风筝B．飞机的机身在跑道上滑行至停止C．运动员投出的篮球D．乒乓球比赛中高抛发球后，乒乓球的运动方式【答案】B【解析】解：A、空中放飞的风筝翅膀和飞行的角度，不断变化，不是平移，故本选项错误；B、飞机在跑道上滑行到停止的运动，是平移，故本选项正确；C、篮球是在旋转中前进，不是平移，故本选项错误；D、乒乓球是在旋转中前进，不是平移，故本选项错误．故选B．平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移是图形变换的一种基本形式，平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的．例2.如图，△DEF是由△ABC通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上．若BF=14，EC=6．则BE的长度是（）A．2 B．4 C．5 D．3【答案】B【解析】解：∵△DEF是由△ABC通过平移得到，∴BE=CF，∴BE=（BF﹣EC），∵BF=14，EC=6，∴BE=（14﹣6）=4．故选B．练习1.如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF．如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．21 cm【答案】C【解析】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴DF=AE，∴四边形ABFD的周长=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF，∵平移距离为2cm，∴AD=EF=2cm，∵△ABE的周长是16cm，∴四边形ABFD的周长=16+2+2=20cm．故选C．练习2.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．24 B．40 C．42 D．48【答案】D【解析】解：∵△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，平移距离为6，∴S△ABC=S△DEF，BE=6，DE=AB=10，∴OE=DE﹣DO=6，∵S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC，∴S阴影部分=S梯形ABEO=×（6+10）×6=48．故选D．练习3.如图1，把△ABC沿直线BC方向平移到△DEF，则下列结论错误的是（）A．∠A=∠D B．BE=CF C．AC=DE D．AB∥DE【答案】C【解析】解：∵△ABC沿直线BC方向平移到△DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，故A选项结论正确，∵BC=EF，∴BC﹣EC=EF﹣EC，即BE=CF，故B选项结论正确，∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE，故D选项结论正确，而AC=DF，DE与DF不相等，综上所述，结论错误的是AC=DE．故选C．根据平移的基本性质可知：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．例3.如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1）．30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（）A．Q′（2，3），R′（4，1）B．Q′（2，3），R′（2，1）C．Q′（2，2），R′（4，1）D．Q′（3，3），R′（3，1）【答案】A【解析】解：由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，∴点Q（﹣3，1）的对应点Q′坐标为（2，3），点R（﹣1，﹣1）的对应点R′（4，1），故选：A．练习1.如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中A、B的对应点分别为A1、B1，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A1B1上的对应点P1的坐标为（）A．（a﹣4，b+2）B．（a﹣4，b﹣2）C．（a+4，b+2）D．（a+4，b﹣2）【答案】A【解析】解：由题意可得，线段AB向左平移4个单位，向上平移了2个单位，故点P（a，b）向左平移4个单位，向上平移了2个单位，可得P1（a﹣4，b+2），故选：A．练习2.已知：△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图．（1）分别写出下列各点的坐标：A'；B'；C'；（2）说明△A'B'C'由△ABC经过怎样的平移得到？．（3）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内的对应点P'的坐标为；（4）求△ABC的面积．【答案】解：（1）如图所示：A'（﹣3，1），B′（﹣2，﹣2），C′（﹣1，﹣1）；故答案为：（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）；（2）△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A'B'C'；故答案为：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；（3）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内的对应点P'的坐标为：（a﹣4，b﹣2）．故答案为：（a﹣4，b﹣2）；（4）△ABC的面积为：S△ABC=6﹣×2×2﹣×1×3﹣×1×1=2．练习3.如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P （a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．（1）直接写出点C1的坐标；（2）在图中画出△A1B1C1；（3）求△AOA1的面积．【答案】解：（1）∵点P（a，b）的对应点为P1（a+6，b﹣2），∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位，∴C（﹣2，0）的对应点C1的坐标为（4，﹣2）；（2）△A1B1C1如图所示；（3）△AOA1的面积=6×3﹣×3×3﹣×3×1﹣×6×2=18﹣﹣﹣6=18﹣12=6．根据平移前后点的坐标的变化特点可知：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．而平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．例4.现有一副三角板，如图①中，∠B=90°，∠A=30°；图②中，∠D=90°，∠F=45°；图③中，将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动（移动开始时点D与点A重合）．（1）△DEF在移动的过程中，若D、E两点始终在AC边上，①F、C两点间的距离逐渐；连接FC，∠FCE的度数逐渐．（填“不变”、“变大”或“变小”）②∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；（2）△DEF在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么∠FCE与∠CFE之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？求出∠CFE的度数．【答案】解：（1）①F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大；故答案为：变小，变大；②∠FCE与∠CFE度数之和为定值；理由：∵∠D=90°，∠DFE=45°，又∵∠D+∠DFE+∠FED=180°，∴∠FED=45°，∵∠FED是△FEC的外角，∴∠FCE+∠CFE=∠FED=45°，即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；（2）如图，∠FCE与∠CFE度数之和为定值；理由：∵∠FDE=90°，∠F=45°，又∵∠FDE+∠F+∠FED=180°，∴∠FED=45°，∵∠FEG是△FEC的外角，∴∠FCE+∠CFE=∠FEG=135°，即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；（3）要使FC⊥BC，则需∠FCE=∠A=30°，又∵∠CFE+∠FCE=45°，∴∠CFE=45°﹣30°=15°．【解析】（1）①利用图形的变化得出F、C两点间的距离变化和，∠FCE的度数变化规律；②利用外角的性质得出∠FCE+∠CFE=∠FED=45°，即可得出答案；（2）利用外角的性质得出∠FCE+∠CFE=∠FEG=135°，即可得出答案；（3）要使FC⊥BC，则需∠FCE=∠A=30°，进而得出∠CFE的度数．练习1.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于．【答案】解：△BDE的面积等于1．（1）如图，以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP．（2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF=PE，∴四边形AFEP为平行四边形，∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点，又∵AP∥FN，F为AB的中点，∴N为PC的中点，∴E为△PFC各边中线的交点，∴△PEC的面积为△PFC面积的连接DE，可知DE与PE在一条直线上，∴△EDC的面积是△ABC面积的，所以△PFC的面积是1××3=，∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．【解析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积．（1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形．（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的．根据平移的基本性质可知：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．在几何综合问题中，平移能够提供边相等、角相等的条件，平移前后的图形大小完全相同，且对应边是互相平行的.轴对称（翻折）1.轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等．2.生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．3.镜面对称（1）镜面对称的定义：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．（2）镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．（3）关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．4.利用轴对称设计图案：利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．5.轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；（3）如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．6.平面直角坐标系中的轴对称变换（1）关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称：①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）7.轴对称变换的作图几何图形都可看做是有点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．8.翻折变换（折叠问题）（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9.最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．【注意】最短距离的问题是一类问题，其变型问题除了和最短问题外，还包括差最大问题，其本质都是对三点共线问题的应用．例1.将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由题意可得，展开后的图形呈轴对称，故选C．练习1.如图，成轴对称的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：只有（3）沿直线对折，直线两旁部分能完全重合，故两图形成轴对称．故选：A．练习2.下列六个图形：①直线；②有两个内角相等的三角形；③等边三角形；④直角三角形；⑤平行四边形；⑥等腰直角三角形．其中一定是轴对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】解：①直线；②有两个内角相等的三角形；③等边三角形；⑥等腰直角三角形都是轴对称图形，而直角三角形和平行四边形不一定是轴对称图形，故轴对称图形共4个．故选C．练习3.如图所示的轴对称图形中，只有一条对称轴的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A、有2条对称轴，故此选项错误；B、有2条对称轴，故此选项错误C、有2条对称轴，故此选项错误；D、有1条对称轴，故此选项正确．故选：D．练习4.如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（）A．M9017102 B．M2017109 C．W5017109 D．M2017106【答案】C【解析】解：根据镜面反射对称性质，可知图中所示车牌号应为W5017109．故选：C．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，而这条直线就是对称轴；若两个图形沿着某条直线折叠后能够重合，则这两个图形成轴对称.例2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（）（1）△ABC≌△A′B′C′（2）∠BAC=∠B′A′C′（3）直线L垂直平分CC′（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】解：（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．故选B．练习1.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=105°，∠C′=30°，则∠B=（）A．25°B．45°C．30°D．20°【答案】B【解析】解：∠C=∠C'=30°，则△ABC中，∠B=180°﹣105°﹣30°=45°．故选B．练习2.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B【解析】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．练习3.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，P1P2=15，则△PMN的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】解：如图，∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴P1M=PM，P2N=PN，△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，∵P1P2=15，∴△PMN的周长为15．故选B．根据轴对称的性质可知：①成轴对称的两个图形是全等形；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段或者平行，或者重合，或者相交．如果相交，那么交点一定在对称轴上；④对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．例3.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【答案】B【解析】解：∵A的坐标为（﹣3，2），∴A关于y轴的对应点的坐标为（3，2）．故选B．练习1.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC 沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）【答案】A【解析】解：由A点坐标，得C（﹣3，1）．由翻折得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）．故选：A．练习2.已知：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．（3）求△ABC的面积．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；点C1的坐标（3，﹣2）.（2）如图，△A2B2C2即为所求；点C2的坐标（﹣3，2）．（3）S△ABC=2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3=2.5．【解析】（1）分别作出△ABC三顶点关于x轴的对称点，再顺次连接即可得；（2）分别作出△ABC三顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；（3）割补法求解可得．根据平面直角坐标系中的点的对称的特点可知：如果两点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数；如果两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数.例4.如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B 3），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，的坐标为（0，3则点D的坐标为（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23323，B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2332， C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23233， D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-233323， 【答案】A【解析】解：∵四边形AOBC 是矩形，∠ABO=30°，点B 的坐标为（0，3）， ∴AC=OB=3，∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°=3×=3，∵将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，∴∠BAD=30°，AD=3， 过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=，∴AM=3×cos30°=，∴MO=﹣3=，∴点D 的坐标为（，）．故选：A ．练习1.如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD 、BC 上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEG=∠EGF ， ∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF 是等边三角形， ∵EF=6，∴△GEF 的周长=18，故选C ．练习2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（ ）A ．53B ．35C ．37 D ．45 【答案】B【解析】解：∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置， ∴AE=AB ，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD ，∴AE=DC ， 而∠AFE=∠DFC ， ∵在△AEF 与△CDF 中，，∴△AEF ≌△CDF （AAS ），∴EF=DF ；∵四边形ABCD 为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，∴FC=FA ， 设FA=x ，则FC=x ，FD=6﹣x ，在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6﹣x ）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B ．根据折叠的性质可知：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．例 5.如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC=2km ，BD=3km ，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处【答案】B【解析】解：作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA+PB=PE+PB=EB ． 根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短． 根据△PCE ∽△PDB ，设PC=x ，则PD=5﹣x ， 根据相似三角形的性质，得=，即=，解得x=2．故供水站应建在距C 点2千米处．故选B ．练习1.已知两点M （3，2），N （﹣1，3），点P 是x 轴上一动点，若使PM+PN 最短，则点P 的坐标应为（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-470， B ．⎪⎭⎫⎝⎛047，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛023， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛057，【答案】D【解析】解：作M 点关于x 轴的对称点M′， ∵M （3，2），∴M′（3，﹣2）， 设直线M′N 的解析式为y=kx+b ，∴，解得，∴直线M′N的解析式为y=﹣x+，∵P的纵坐标为0，∴﹣x+=0，解得x=，∴P（，0）．故选D．练习2.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为．【答案】8【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB 于N，则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△OP1P2是等边三角形．△PMN的周长=P1P2，∴P1P2=OP1=OP2=OP=8．故答案为：8．练习3.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是边BC的中点，点G，H分别是边CD，AB 上的动点，连接GH交AE于F，且使GH⊥AE，连接AG，EH，则EH+AG的最小值是（）A ．8B ．54C ．102D ．28【答案】C【解析】解：如图，由题意易证AE=GH=2，设FH=x ，EF=y ，则有HE+AG=+，欲求HE+AG 的最小值，相当于在平面直角坐标系内找一点（x ，y ），使得这个点到O （0，0），P （2，2）的距离和最小，显然这个点在线段OP 上，满足x=y 时，HE+AG 的值最小，由此可知FH=EF 时，HE+AG 的值最小，如图连接BD 交AE 于F ，作FM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，易证△FMH ≌△FNE ， ∴FH=EF ，此时HE+AG 的值最小，易证四边形BNFM 是正方形，设边长为a ，则有=， ∴=，∴a=，∴EF=FH==，∴x=y=，∴HE+AG 的最小值=2，故选C ．解法二：作GK ⊥AB 于K ，作EM ∥AG ，GM ∥AE ，则四边形AEGM 是平行四边形． ∵AE ⊥HG ，∴∠B=∠GKH=∠AFH=90°，∴∠BAE+∠AHF=90°，∠AHF+∠KGH=90°，∴∠BAE=∠KGH ， ∵KG=BC=AB ，∴△KGH ≌△BAE ， ∴GH=AG ，∴AE=GM=HG ，AG=EM ， ∴△GHM 是等腰直角三角形，GH=GM=AE=2，∵AG+HE=EM+EG ，∴当H、E、M共线时，AG+HE的值最小，最小值=HG=2．故选C．最短距离的问题是一类问题，其变型问题除了和最短问题外，还包括差最大问题，其本质都是对三点共线问题的应用．旋转1.旋转的认识（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．【注意】①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键；②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．2.旋转对称图形（1）旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．3.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．4.中心对称（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．5.中心对称图形（1）中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【注意】中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形：平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．6.平面直角坐标系中的旋转变换（1）关于原点对称的点的坐标：P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．7.旋转变换的作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．8.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．【注意】三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．例1.将图形按顺时针方向旋转90°后的图形是（）。
中考数学复习考点知识专题讲解利用几何变换解题全日制义务教育数学新课程标准顺应几何推理要求发生的变化，将以往的“几何”拓广到“空间与图形”，增加了图形与变换的内容，让学生的思维从静态的图形转向动态的变化，图形与变换的内容主要包括图形的轴对称变换、平移变换、旋转变换以及图形的相似变换．前三种变换本质是保持两点间的距离不变，从而使变换图形的大小和形状不改变；而相似变换会改变图形的大小，但不改变形状利用变换解决问题，关键就是利用变换的不变性优化问题隐含的条件，给问题的求解带来机遇，本文举例说明，希望对同学们的学习有启迪作用．一、旋转变换例1 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB 边上，连CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连结AE．(1)求证：AE⊥AB；(2)若BC＝AD．AB，求证：四边形ADCE为正方形．解 (1)由∠ACB＝90°，AC＝BC，知∠CAB＝∠CBA＝45°，且线段BC绕点C顺时针旋转90°至AC；又CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，故△BCD绕点C顺时针旋转90°得△ACE，∠CAE＝∠CBA＝45°．∴∠CAB＋∠CAE＝45°＋45°＝90°，即AE⊥AB．(2)略．点评对题设中含有等腰三角形、正方形的几何问题，常采用旋转变换考察，本题第(1)小题也可以用全等三角形论证，但论述不如从变换的角度考察问题来得方便．例2 探究如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．拓展如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为_______．解探究因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以Rt△AED绕点A顺时针旋转90°得△AFB，AF＝AE，∠EAF＝90°，∠AFB＝∠AED＝90°．又∠ABF＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABC＝180°．得点F在CB的延长线上，所以，四边形AECF为正方形．∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝102＝100．拓展将△ACD绕点A顺时针旋转∠BAC得△AFB，则∠ABF＝∠ADC．由∠ABC＋∠ADC＝180°，得∠ABF＋∠ABC＝180°．点F在CB的延长线上，∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ABF＋S△ABC×(10＋6)×19＝S△ACF＝12＝152．点评例1是在题设中给出变换，探究生成图形的性质；例2则需要我们根据问题的特征主动出击，创造性地设计和利用适当的变换解决问题，难度有所提升．二、平移变换例3 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝3，AC＝3，BD＝6，求此梯形的面积．解将BD沿BC方向平移到CE，则四边形BCED为平行四边形，且由AD∥BC知，点E在AD的延长线上，于是，CE＝BD＝6，AE＝AD＋DE＝AD＋BC＝3．又AC＝3，有AC2＋CE2＝AE2，∴AC⊥CE．设点C到直线AD的距离为h，则例4 如图5，△ABC三条中线AD、BE、CF交于点G，且AD＝15，BE ＝9，CF＝12，求BC边的长．解将BC沿GC平移到HC，则四边形BGCH为平行四边形．连HD，由D是BC的中点，知G、D、H三点共线，且DH＝DG．由G为△ABC的重心，可得CD＝13AD＝5，BC＝23BE＝6，CG＝23CF＝8，于是，GH＝2DC＝10．CG＝8，CH＝BC＝6．从而GH2＝CG2＋CH2，得CG⊥CH．由CD为Rt△GCH斜边上的中线，得CD＝12GH＝5，BC＝2CD＝10．点评平移变换常与平行线、中线等问题有关，例3、例4都是利用平移变换将已知条件适当集中，使隐含条件得到充分展示，方便了问题的解决；例4还利用了三角形重心的基本性质，具有一定的综合性．三、轴对称变换例5 如图6，在等腰Rt△ABC中，D、E是斜边AC上两点，满足∠DBE＝45°，求证：DE2＝AD2＋CE2．分析结论提醒AD、CE、DE首尾相连可构成直角三角形，我们可通过变换达到证明的目的．证明如图6，作AB关于AD的对称线段BF，连DF、EF，则∠DFB＝∠DAB＝45°，OF＝AD．BF＝BA＝BC．又∠EBF＝45°－∠DBF＝45°－∠DBA＝∠DBC．BE＝BE．∴△BEF≌△BEC，∵EF＝EC，∠BFE＝∠BCE＝45°．∠BFE＋∠BFD＝90°．∴DE2＝DF2＋EF2．即DE 2＝AD 2＋CE 2，得证．点评 本题亦可用旋转变换来证明，具体过程请读者自己考虑， 例6 如图7，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，D 是BC 的中点，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，且DF ∥AE ．试求CF 的长．分析 由AE 为∠BAC 的角平分线，可考虑用轴对称变换优化条件，降低问题处理的难度．解 作C 关于AE 的对称点G ，则由AE 平分∠BAC ，知点G 在AB 的延长线上，连CB 、CG ，并延长AE 、FD 交CG 于点H 、Q ，作BP ∥AE 交CG 于点P由于GB ＝AB ＝1，GH ＝HC ，GP ＝PH ，PQ ＝QC ，设GC ＝4a ，则 PC ＝3a ，HC ＝2a ．QC ＝12PC ＝32a ． 由平行线的性质，得34CF CQ CA CH ==， ∴CF ＝34CA ＝32． 三、相似变换例7如图8，P是等腰Rt△ABC内一点，已知∠B＝90°，∠APB ＝135°，PA：PC＝1：3，则PA：PB＝( )(A)1：2(B)1：2(C)3：2 (D)1：3解如图8，作△ACQ∽△ABP，连PQ，则故选B．综上可见，利用几何变换解决平面几何问题，是初中几何问题中一种重要的思想和方法，也是近年来中考命题的热点问题．各种变换都有其自身的优点和局限性，解题时需要我们根据问题的特征，选用合适的方法．。
