2018北京师大附中高三(上)期中数学(文)

北京市第十三中学2017-2018学年度高三数学（文）期中测试一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合{|1M x x =<-或}2x >，{}|13N x x =<<，则M N 等于（ ）．A ．{|1x x <-或}1x >B ．{}|23x x <<C ．{}|13x x -<<D ．{|1x x <-或}3x > 【答案】B 【解析】{}|23M N x x =<<．故选B ．2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是（ ）．A ．2y x =B ．2x y =C ．cos y x =D ．ln y x =【答案】C【解析】BD 不是偶函数 A 在(0,1)内单调递增，C 项符合要求．故选C ．3．已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ）． A ．0a b +>B ．11a b> C ．2ab b <D ．330a b -<【答案】D【解析】A 项错，如取2a =-，1b =-，0a b +<，B 项错，11b a a b ab--=， a ，b 正负无法判断，故1a 与1b大小无法判断， C 项错，2()ab b b a b -=-，无法判断正负，D 项对，3322()()a b a b a b ab -=-++恒为正．故选D ．4．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，ππω-<<）的部分图象，如图所示，那么()f x 的解析式为（ ）．A ．π()sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π()sin 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C．π()sin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】周期2ππ42π2T ω==⨯=， ∴1ω=，()sin(4)f x x =+， ∵(0)sin 1f ϕ==，π2ϕ=， ∴π()sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．5．一个四棱锥的三视图如图所示，这个四棱锥的体积为（ ）．正视图侧视图俯视图A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】B【解析】四棱锥底面积3412S =⨯=， 高为2h =，体积11122833V Sh ==⨯⨯=．故选B ．6．实数x ，y 满足101020x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤，则4y x -的取值范围是（ ）．A ．(],4-∞B ．(],7-∞C ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,72⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】如图阴影部分，设4z y x =-，设阴影部分交点为A ，B ，C ， 设(1,3)A -，13,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,0)C -， 在A 处，z 取得最大值，max 34(1)7z =-⨯-=， 在B 处，z 取得最小值，min 3114222z =-⨯=-， ∴1,72z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选D ．7．已知直线m ，n 和平面α，且m α⊥．则“n m ⊥”是“n α∥”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由m α⊥，若n m ⊥，则直线n 可能在平面α内，可能n α∥， 但当m α⊥，n α∥时，可得n m ⊥， 故“n m ⊥”是“n α∥”的必要不充分条件．故选B ．8．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M 、N 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，π3POM ∠=，PON α∠=，[)0,πα∈，()f OM ON α=⋅，则()f α的范围为（ ）．A ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】设(cos ,sin )N αα，12M ⎛ ⎝⎭，1cos 2OM ON αα⋅=+， πsin 6α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵0πα<≤，∴ππ7π666α+<≤， 1πsin 126α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤， ∴1,12OM ON ⎛⎤⋅∈- ⎥⎝⎦．故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．复数21iz =-，则复数z 的模等于__________．【解析】222(1i)1i 1i 1i z +===+--，||z ．10．直线60x --=的倾斜角是__________． 【答案】π6【解析】直线为y =+倾斜角:tan θθ=π6θ=．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为__________．【答案】30【解析】3i =时，0236S =+⨯=，继续，5i =时，62516S =+⨯=，继续， 7i =时，162730S =+⨯=，停止，输出30S =．12．函数y =的定义域是__________；最小值是__________．【答案】(0,)+∞【解析】x0≠，②0x ≥， 解出0x >．13．直线210ax y +-=与直线2(1)0x a y a +-+=平行，则a 的值为__________． 【答案】2【解析】两直线平行，则有(1)12a a -=⨯， 解出2a =或1-，当2a =时，两直线为2210x y +-=和40x y ++=，当1a =-时，两直线为210x y -+-=和210x y -+=重合（舍）， 故舍去1a =-则2a =．14．设函数3,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >． ①若3a =，则[(9)]f f =__________．②若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是__________．②[)4,9【解析】①当3a =时，23(9)log 32f =-，(2)f =，∴[(9)]f f = ②()2f x =有2个解，∵函数y =与3log y x =2=，233log 3log 92==． 由题可得[)4,9a ∈．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题共13分） 已知直线l 经过点(2,1)P -．（I ）点(1,2)Q --到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．（II ）直线l 在坐标轴上截距相等，求直线l 的方程．【答案】（I ）2x =-或3450y x ++= （II ）20y x +=或10x y ++= 【解析】（I ）当直线斜率不存在时，即2x =-符合要求，当直线斜率存在时，设直线为1(2)y k x -=+， 整理得210kx y k -++=， (1,2)Q --到直线l 的距离：1d ===，解出43k =-，整理得3450y x ++=．（II ）由题知，直线斜率一定存在且0k ≠， 直线210kx y k -++=， 当0x =时，21y k =+， 当0y =时，21k x k+=-， ∴2121k k k ++=-， 解出1k =-或12-，即直线为20y x +=或10x y ++=． 16．（本小题共13分）已知函数π()2sin sin 22f x x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭．（I ）求()f x 的最小正周期．（II ）求()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（I ）最小正周期为π （II ）最大值为2，最小值为1【解析】（I ）()2cos sin f x x x x =，sin 2x x =+，12sin 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴min 2ππ2T ==． （II ）∵ππ126x -≤≤，ππ263x -≤≤， ππ22π633x +≤≤， π12sin 223x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，最小值为1，最大值为2． 17．（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项的等比数列，且112a b ==，514a =，33b a =． （I ）求{}n a 、{}n b 的通项公式．（II ）求数列{}n a 中满足46n b a b <<的各项的和． 【答案】（I ）31n a n =-，2n n b =（II ）632【解析】（I ）∵在等差数列{}n a 中，5134a a d -==， 1(1)23(1)n a a d n n =+-=+-， 31n =-，又∵在等比数列{}n b 中，2q =， ∴112n n n b b q -==．（II ）∵46n b a b <<即461232n -<<， 解出176533n <<，即6n =，7，821，()n +∈N ，即为求6721a a a +++，2112121()6722S a a =+=， 5155()402S a a =+=，∴6721a a a +++，215632S S =-=．18．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c >>2sin 0b C -=． （I ）求角B 的大小．（II ）若b 1c =，求a 和ABC △的面积．【答案】（I ）60B ∠=︒（II ）2a =，ABC S =△【解析】（I 2sin 0b C -=，2sin sin C B C =， ∵sin 0C ≠，∴sin B =， ∴π3B =． （II ）∵222π1cos cos 322a c b B ac +-===，b =1c =，解得2a =或1-（舍），∴1sin 2ABC S ac B =△，1212=⨯⨯=19．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC PD ∥，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==．沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （I ）求证：CD ⊥平面P AC '． （II ）求三棱锥A P BC '-的体积．（III ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '，若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1DACP图2P'D ABC【答案】（I ）见解析 （II ）16（III ）存在M ，M 为P A '中点【解析】（I ）∵90P AD '∠=︒，故P A AD '⊥， ∵在等腰梯形中，AB AP ⊥， ∴在四棱锥中，AB AP '⊥， 又∵AD AB A =， ∴P A '⊥平面ABCD ， ∵CD ⊂平面ABCD ， ∴P A CD '⊥， ∵等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==，∴AC =CD =2AD =， ∴222AC CD AD +=， ∴AC CD ⊥， ∵P AAC A '=，∴CD ⊥平面P AC '． （II ）11||||22ABC S AB BC =⋅=△， ∵P A '⊥平面ABCD ，∴1||3ABC A P BC P ABC V V S P A ''--'==⨯△，16=． （III ）存在点M ，M 为P A '中点， 使得BM ∥平面P CD '，证明：取P A '，P D '中点为M ，N ， 连接BM ，MN ，NC ， ∵M ，N 是P A '，P D '中点，∴12MN AD ∥，∵12BC AD ∥，∴MN BC ∥，∴BCNM 是平行四边形， ∴BM CN ∥， ∵BM ⊄面P CD '，CN ⊂面P CD '，∴BM ∥平面P CD '．M NCBA DP'20．（本小题满分14分）已知函数()ln (0)f x x mx m =->．（I ）若1m =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（II ）求函数()f x 的最大值()g m ，并求使()2g m m >-成立的m 取值范围． 【答案】（I ）1y =-（II ）()ln 1g m m =--，(0,1)m ∈【解析】（I ）∵1m =，()ln f x x x =-，∴1()1(0)f x x x '=->，(1)0f '=，(1)1f =-， ∴曲线()y f x =在(1,1)-处， 切线方程为1y =-． （II ）∵1()(0)f x m x x=->， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴max 1()()f x g m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，ln 1m =--，()2g m m >-，设()()(2)h m g m m =--，ln 1m m =--+，1()10h m m'=--<， ∴()h m 在(0,)+∞上单调递减， ∵(1)0h =，∴当01m <<时，()(1)0h m h >=． ∴(0,1)m ∈．。

2018北京师大附中高二（上）期中数学一、选择题，本大题共10小题，共40分，从列出的四个选项中，选出符合要求的一项。

1.在数列中，，且，则等于A. 8B. 6C. 9D. 72.在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.3.在等比数列中，，且，则这个数列的公比为A. 3B.C. 9D.4.在正方体中，向量和的夹角是A. B. 60° C. 45° D. 135°5.某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最小，则m值为A. 5B. 4C. 3D. 26.若数列是公比为q的递增等比数列，则A. B.C. D.7.在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则（）A. 0B.C.D.8.已知平面ABC，点O是空间任意一点，点M满足条件，则A. 直线AM与平面ABC平行B. 直线AM是平面ABC的斜线C. 直线AM是平面ABC的垂线D. 直线AM在平面ABC内9.已知两个不共线的向量，与平面共面，向量v是直线l的一个方向向量，则“存在两个实数x,y，使”是“l//”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为A. B.C. D. 1二、填空题，本大题共6小题，共30分。

11.与共线且满足的向量b=__________。

12.已知数列满足：，，，则数列的前2n项和_______________。

13.如图，在正四面体V－ABC中，直线VA与BC所成角的大小为______________；二面角V－BC－A的余弦值为____________。

14.设数列满足“，”，则的通项公式可以为_________。

15.已知等比数列的前n项和为，则常数C=________16.有一条珍珠项链，上面共有33颗珍珠，最下面中央的那颗珍珠最大，也最有价值，由这颗珍珠往右，越往上的珍珠越小，且价值依次递减100元；同样的，由这颗珍珠往左，越往上方的珍珠也越小，且价值依次递减150元，假设整条珍珠项链的总价值是65000元，则最大的那颗珍珠的价值是_________元。

2018-2019学年北京师大附中高一上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合M ={0,1,2,3,4}，N ={−2,0,2}，则 A ．N ⊆M B ．M ∪N =M C ．M ∩N ={2} D ．M ∩N ={0,2}2．若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则关于实数a 的下列说法中正确的是A ．1a =-或3B ．1a =-C ．3a >或1a <-D ．13a -<< 3．下列函数中，在区间(0,+∞)上是增函数的是 A ．f (x )=√x B ．g (x )=−2x C ．ℎ(x )=−3x +1 D ．s (x )=1x4．给定四个函数：①y =x 3+√x 3；②y =1x (x >0)；③y =x 3+1；④y =x 2+1x，其中是奇函数的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数y =f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(−m +9)，则实数m 的取值范围是 A ．(−∞,−3) B ．(0,+∞)C ．(3,+∞)D ．(−∞,−3)∪(3,+∞)6．函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．7．函数的定义域是 A ． B ． C ． D ．8．f(x)是区间(−∞,+∞)上的偶函数并且在区间(0,+∞)上是减函数，则下列关系中正确的是A ．f(3)<f(−1)B ．f(3)>f(−1)C ．f(3)=f(−1)D ．二者无法比较9．设13<(13)b <(13)a <1，则A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a二、解答题10．已知函数f(x)=√x +1+1√2−x的定义域为A ，g(x)=x 2+1的值域为B 。

2018-2019学年北京师大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题 1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为，，所以，，故选D.【考点】1.集合间的基本关系；2.集合的交集运算2．若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则关于实数a 的下列说法中正确的是 A ．1a =-或3 B ．1a =- C ．3a >或1a <- D ．13a -<< 【答案】B【解析】若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则2230a a --=.解得1a =-或3.当1a =-时， ()41f x x =-+，满足题意； 当3a =时， ()1f x =，值域为{1}，不满足题意. 故选B.3．下列函数中，在区间上是增函数的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】已知函数为上的增函数，，为R 上的减函数；在和上单调递减.故选A.4．给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】①函数的定义域为R ,则,则函数f (x )是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称,则函数f (x )为非奇非偶函数； ③函数的定义域为R ,f (0)=0+1=1≠0,则函数f (x )为非奇非偶函数；④函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),,则函数f (x )是奇函数，故选B. 5．函数在R 上为增函数，且，则实数m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3. 故选C.6．函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】显然函数2y ax bx =+过原点，故排除A,二次函数函数的零点为0x =和b x a =-，一次函数的零点为b x a=-. 两函数图象在x 轴上有一个公共点，故排除B,C. D.由一次函数图象可得a ＜0,b>0, 函数函数开口向下，零点0ba->,此选项正确. 故选D.点睛：二次函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a≠0)图象与系数的关系 (1)a 决定开口方向及开口大小,当a ＞0时,开口向上;当a ＜0时,开口向下;(2)c 决定二次函数与y 轴交点的位置.当x=0时,y=c,所以二次函数与y 轴有且只有一个交点(0,c).①当c=0时,抛物线经过原点;②当c ＞0时,抛物线与y 轴交于正半轴; ③当c ＜0时,抛物线与y 轴交于负半轴. 2、一次函数y=kx+b 图象跨越的象限: k ＞0,b ＞0,则函数经过一、二、三象限; k ＞0,b ＜0,函数经过一、三、四象限; k ＜0,b ＞0时,函数经过一、二、四象限; k ＜0,b ＜0时,函数经过二、三、四象限.7．函数2()23f x x x =-++ ） A ．[1,3)- B ．[1,3]- C ．(1,3)- D ． (,1][3,)-∞-+∞ 【答案】B【解析】试题分析：由题意，和2230x x -++≥，解得13x -≤≤，所以函数()f x 的定义域为[1,3]-，故选B ． 【考点】函数的定义域．8．是区间上的偶函数并且在区间上是减函数，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．二者无法比较【答案】A【解析】由函数为偶函数可知，再利用函数的单调性比较大小即可.【详解】因为是区间上的偶函数，所以，又在区间上是减函数，所以,即.故选A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.9．设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】借助于指数函数函数的单调性可得，再分别借助于和的单调性比较大小即可.【详解】由于函数为减函数，由，可知.所以有.由于函数为减函数，且，所以；由于函数为增函数，且，所以.综上有：.故选C.【点睛】本题主要考查了比较大小，利用到了指数函数和幂函数的单调性，属于常考题型.二、填空题10．已知，则＝___________。