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精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_学员编号： 年 级：高一 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：课 题 正、余切函数的图像和性质授课日期及时段教学目的熟练掌握正、余切函数的图像及其性质（单调性、奇偶性、周期性）；能灵活利用他们的性质解题。
教学内容一、知识梳理1、正切函数的图像2、正切函数的性质 （1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， （2）值域：R ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ,2时0<y（3）周期性：π=T说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω=求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。
（4）奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈ 特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图像与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-2,2ππππ内，函数单调递增。
但要注意在整个定义域上不具有单调性。
余切函数的图像和性质：二、例题解析例1 函数y ＝x tan log 21的定义域是( )A ｛x ｜0＜x ≤4π） B ｛x ｜2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }C ｛x ｜k π＜x ≤k π＋4π，k ∈Z }D ｛x ｜k π－2π＜x ≤k π＋4π，k ∈Z }巩固训练1、函数1tan y x =-的定义域是_______2、函数)1(cot log 2-x 的定义域是________2、函数tan 2()tan xf x x=的定义域为（ ） A ．{|x x R ∈ 且,4k x k Z π⎫≠∈⎬⎭B ．{|x x R ∈ 且,2x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭C ．{|x x R ∈ 且,4x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭D ．{|x x R ∈ 且,4k x k k Z ππ⎫≠-∈⎬⎭4、函数tan()4y x π=-的定义域是（ ）A ．|,4x x x R π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,4x x x R π⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭C ．|,,4x x k k R x R ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭ D ．3|,,4x x k k Z x R ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭例2 函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（ ）.A ．2a π B ．2aπ C ．a π D ．a π 例3 比较大小：（1）125tan 与137tan ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-34tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-511tan π。
正切函数与三角函数图像的变换一、知识梳理1、正切函数2、三角函数的图像变换sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>（1）x ϕ对函数图像的影响在于轴上的平移量，称为平移变换； （2）x ω对函数图像的影响在于轴上的伸缩量，称为周期变换； （3）A y 对函数图像的影响在于轴上的伸缩量，称为振幅变换。
三角函数的图像变换有两种变换过程，一是先平移后伸缩，而是先伸缩后平移，注意会前后平移量的变化，第一种过程平移量是||ϕ，第二种过程平移量是||ϕω，主要是深刻理解变换过程均是针对的x 。
3、一般的我们把sin sin()(0,0)y x y A x A ωϕω==+>>变换到的过程可以叙述为：函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像可以看作是先把sin y x =的图像上所有的点向左(ϕ>0)或向右(ϕ>1)平移|ϕ|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(0<w<1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍，(横坐标不变)。
即：平移变换→周期变换→振幅变换。
二、例题讲解1、 正切函数的图像和性质例1、求下列函数的定义域:()1()f x =； ()2 ()tan 1f x x =+例2、探讨函数()2tan(2)3f x x π=-的定义域、周期性及单调区间。
变式训练1：1函数tan cos y x x = 的部分图象是2、 函数1()tan()23f x x π=+的周期为_________3、函数()lg(1tan )f x x =-的定义域为____________2、三角函数图像的基本变换例3、把y =sin x 的图象向左平移3π个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.例4、将正弦曲线如何变换可以得到到函数)32sin(2π+=x y 的图像，请写出变换过程，并画出一个周期的闭区间的函数简图。
§1.4.3正切函数的性质与图象编著：王西田 审核：高一数学组 【学习目标 】1、掌握正切函数的图象和性质.2、能正确应用正切函数的图象和性质解决有关问题.3、重点：正切函数的图象及其主要性质。
难点：利用正切线画出函数y=tanx （2π-<x<2π+）的图象，对直线x= 2π±是y=tanx 的两条渐近线的理解。
关键：对正切曲线特点的理解。
【知识探究】1、正切函数t a n y x =的定义域为____________；正切函数t a n y x = 的最小正周期为____________；tan()y x ωϕ=+的最小正周期为_____________.2、正切函数tan y x =为___________函数.（填：奇或偶）3、正切函数tan y x =在每一个开区间__________内为增函数.4、正切函数tan y x =的值域为_____________.5、利用正切线画出正切函数y=tanx （2π-<x<2π）的图像根据正切函数的周期性，只要把上述图像向左、右扩展，就可以得到正切函数的图像，我们把它叫做正切曲线。
【例题分析】例1、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围①tan 0x >②tan 0x =③tan 0x <④tan x >例2、与函数tan(2)4y x π=+的图象不相交的一条直线是（ ）.A ．2x π= B ．2y π= C ．8x π= D ．8y π=例3、函数tan()3y x π=+的定义域（ ）.A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭例4、函数4tan(3)4y x π=+的周期是（）.A ．23π B ．2πC ．3πD ．6π【基础训练】A1 1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2、下列各式正确的是（ ）. A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->-C ．1317tan()tan()45ππ-=-D ．大小关系不确定A2 3、若tan 0x ≤,则（ ）. A ．22,2k x k k Zπππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Zπππ+≤<+∈C ．,2k x k k Zπππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈ B1 4、函数tan 2()tan x f x x=的定义域为（ ）.A ．{|x x R ∈ 且,4k x k Z π⎫≠∈⎬⎭B ．{|x x R ∈ 且,2x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭C ．{|x x R ∈且,4x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭D ．{|x x R ∈且,4k x k k Z ππ⎫≠-∈⎬⎭B2 5、函数y = ）. A ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭{}C.|22,|2,2x k x k k x x k k Z ππππππ⎧⎫≤<+∈⋃=+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|222x k x k πππ⎧≤<+⎨⎩且}2,x k k Zππ≠+∈C1 6、直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ）. A ．π B ．2πω C ．πωD ．与a 值有关7、函数tan()4y x π=-的定义域是（）.A ．|,4x x x R π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B ．|,4x x x R π⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭C ．|,,4x x k k R x R ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭D ．3|,,4x x k k Z x R ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭C2 8、函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（ ）.A ．2aπ B ．2aπ C ．aπ D ．aπ9、下列函数不等式中正确的是（ ）.A ．43tan tan 77ππ> B ．23tan tan 55ππ<C ． 1315tan()tan()78ππ-<-D ．1312tan()tan()45ππ-<-D1 10、在下列函数中，同时满足：①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（ ）.A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan 2x y = D ．tan y x =-【能力拓展】D2 1、求函数tan ||y x =的定义域与值域，并作图象.2、求函数tan()26xy π=-的单调区间.【感悟反思】熟练掌握正切函数性质，同时要注意数形结合，借助单位圆或正切函数的图象对问题，直观迅速作业解答.。
正切函数的性质与图象
【学习目标】
1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】
要点一：正切函数的图象 正切函数R x x
y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”
（1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2
,2(π
π-
的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π
-的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8
π
）.分别在单位圆中作出
正切线；
③把横坐标从2π-到2
π
也分成8份
④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2
,2(π
π-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2
π
）的图象.
要点二：正切函数的性质 1．定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， 2．值域：R
由正切函数的图象可知，当()2
x k k z π
π<
+∈且无限接近于2
k π
π+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞
（tan x 趋向于正无穷大）；当()2
x k k z π
π>-
+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷
大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线
,2
x k k z π
π=+
∈为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：
观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正
切函数图象没有对称轴
5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：
正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-
ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．
要点三：正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质 1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2
x k k z π
ωϕπ+≠+∈解得x ．
2． 值域：(),-∞+∞ 3．单调区间：（1）把“
x ωϕ+”视为一个“整体”
；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与t a n (,)
2y x x k k z π
π=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围． 要点诠释：
若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2
k k z π
ϕ=
∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||
T πω=
． 【典型例题】
类型一：正切函数的定义域 例1．求下列函数的定义域． （1）1
lg(tan )y x =；（2）y =
举一反三：
【变式1】（2016 宁夏期中）已知函数()tan()23
f x x π
π
=+
（1）求f （x ）的最小正周期．
（2）求f （x ）的定义域和单调区间．
（3）求方程()f x =
类型二：正切函数的图象 例2．函数1
tan 2
3y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭在一个周期内的图象是下图中的（ ）
【变式1】（2015秋 安徽舒城县期末）如图所示，函数3cos |tan |(02y x x x π=≤≤且)2
x π
≠的图象是（ ）
类型三：正切函数的周期性
例3．求下列函数的周期 （1）y=3tan(2x+3π) （2）y=7tan(3x －6
π
)
举一反三：
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）2
tan y x =； （2）|tan |y x =； （3）tan ||y x =．
类型四：正切函数的单调性
例4．（2015秋 新疆阿勒泰市月考）已知函数()3tan(2)3
f x x π
=-．
（1）求f （x ）的定义域与单调区间 （2）比较()2
f π与()8
f π
-
的大小．
举一反三：
【变式1】求函数1
tan 2
4y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间．
【变式2】求函数|tan(2-)|3
y x =π
的单调增区间.。
