典题精讲例1 解关于x 的不等式（a ∈R ）：x 2-（a+a 2）x+a 3＞0.思路分析：首先考虑是否可以因式分解,分解之后可知作为方程的根是a,a 2,需要对两根进行比较大小,所以要进行讨论.解：将不等式x 2-（a+a 2）x+a 3＞0变形为（x-a ）（x-a 2）＞0. 当a ＜0时，有a ＜a 2,解集为｛x ｜x ＜a 或x ＞a 2｝； 当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，解集为｛x ｜x ＜a 2或x ＞a ｝； 当a ＞1时，有a ＜a 2，解集为｛x ｜x ＜a 或x ＞a 2｝； 当a=0时，解集为｛x ｜x≠0｝； 当a=1时，解集为｛x ｜x ≠1｝. 绿色通道：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对含变量系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要注意不重、不漏.黑色陷阱：本题最易出现的问题是分类不全，关键是标准把握不好，没有以a 和a 2的大小为标准讨论，应分大于、等于、小于三类讨论. 变式训练 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a≠1).思路分析：解分式不等式一般按照移项、通分、分解因式、转化为整式不等式的模式进行.含参不等式要对参变量的范围进行讨论，本题要对x 的系数a-1分情形讨论，同时又要考虑两根的大小. 解：原不等式可化为2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a-1)x+(2-a)］(x-2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x-12--a a )(x-2)＞0同解. 若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时,原不等式的解为(-∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a );若a=0时,解集为∅.综上所述,当a ＞1时,解集为(-∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a=0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.例2 若不等式（a-2）x 2+2（a-2）x-4＜0恒成立，求a 的取值范围.思路分析：要使一个二次函数恒小于0,只需使二次项系数小于0,并且恒在x 轴下方.注意二次项系数为0的情况. 解：（1）当a-2=0，即a=2时，-4＜0,恒成立.（2）当a-2≠0时，由（a-2）x 2+2（a-2）x-4＜0恒成立,得⎩⎨⎧<-+-<-.0)2(16)2(4,022a a a ∴-2＜a ＜2.由（1）（2）,知-2＜a≤2.∴a 的取值范围是（-2，2］.黑色陷阱：忽视对x 2项的系数为零的情形的讨论，直接由（a-2）x 2+2（a-2）x-4＜0恒成立,得a-2＜0,4(a-2)2+16(a-2)＜0来求解. 变式训练 设f(x)=ax 2+bx+c ，若f(1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式x 2+21≤f(x)≤2x 2+2x+23对一切实数x 都成立，证明你的结论. 思路分析：本题主要应用判别式法解决二次函数恒成立问题，同时尽量寻找等量关系减少变量的个数.解：由f(1)=27,得a+b+c=27. 令x 2+21=2x 2+2x+23⇒x=-1，由f(x)≤2x 2+2x+23,推得f(-1)≤23.由f(x)≥x 2+21,推得f(-1)≥23，∴f(-1)=23.∴a-b+c=23.故2(a+c)=5，a+c=25且b=1.∴f(x)=ax 2+x+(25-a).依题意,知ax 2+x+(25-a)≥x 2+21对一切x ∈R 成立，∴a≠1且Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0，得(2a-3)2≤0.∴a=23.∴f(x)= 23x 2+x+1. 易验证23x 2+x+1≤2x 2+2x+23对x ∈R 都成立.∴存在实数a=23，b=1，c=1，使得不等式x 2+21≤f(x)≤2x 2+2x+23对一切x ∈R 都成立.例3 解不等式222322xx x x -+-+＜x. 思路分析：解分式不等式要向整式不等式转化，可分分母大于零、小于零两种情形化去分母；也可移项、通分、分解因式再转化，往往移项后转化为整式不等式的方法较简单.高次不等式一般利用数轴标根法(也叫穿根法).解：移项整理，将原不等式化为.0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x由于x 2+x+1＞0恒成立，知原不等式等价于0)1)(3(2>+--x x x ,即(x+1)(x-2)(x-3)＞0,把方程(x+1)(x-2)(x-3)=0的三个根x 1=-1,x 2=2,x 3=3顺次标在数轴上,然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如图3-3-1的阴影部分.图3-3-1所以原不等式的解集为{x|-1＜x ＜2或x ＞3}.绿色通道：通过本题要很好地总结分式不等式、高次不等式的解法，注意同解变形.使用标根法，要先化为标准形式，即各因式x 的系数为正数，然后按照自右而左，自上而下，穿奇不穿偶的方法进行.黑色陷阱：此题易出现去分母得x 2+2x-2＜x(3+2x-x 2)的错误解法.另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理.变式训练 (2005江西高考卷,17)已知函数f(x)=bax x +2（a ，b 为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3,x 2=4. （1）求函数f(x)的解析式；（2）设k ＞1，解关于x 的不等式f(x)＜xkx k --+2)1(.思路分析：本题（2）是典型的含参不等式，需就k 的情形分开讨论，又是分式、高次不等式，要注意等价转化，熟练应用标根法等基本方法.解：（1）将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0,得⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.2,1,8416,939b a ba ba 解得 所以f(x)=xx -22(x≠2).（2）不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22＜x k x k --+2)1(,可化为xkx k x -++-2)1(2＜0,即(x-2)(x-1)(x-k)＞0.①当1＜k ＜2时,解集为x ∈（1,k ）∪(2,+∞);②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)＞0,解集为x ∈(1,2)∪(2,+∞); ③当k ＞2时,解集为x ∈(1,2)∪(k,+∞).例4 已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.思路分析：根据二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后利用函数性质用不等式将所要求的条件加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出示意图，得图3-3-2⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=,65,21,,21056)2(024)1(02)1(012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组212101212121211000)1(0)0(-<<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>m m m m m m m f f 或. 〔0＜-m ＜1是因为对称轴x=-m 应在区间(0，1)内〕 绿色通道：二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0的实根分布及条件:(1)方程f(x)=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a·f(r)＜0.(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∙>->-=∆⇔.0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∙>∙<-<>-=∆⇔.0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b 黑色陷阱：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点.应结合图形，应用性质，从判别式、对称轴、端点值等几个方面考虑. 变式训练1 设不等式x 2-2ax+a+2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围. 思路分析：M ⊆［1，4］有两种情况：其一是M=∅，此时Δ＜0；其二是M≠∅，此时Δ≥0，分两种情况计算a 的取值范围.解:设f(x)=x 2-2ax+a+2，有Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a 2-a-2). (1)当Δ＜0时，-1＜a ＜2，M=∅⊆［1，4］. (2)当Δ=0时，a=-1或2.当a=-1时,M={-1}［1，4］；当a=2时，m={2}⊆［1，4］.(3)当Δ＞0时，a ＜-1或a ＞2.设方程f(x)=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M=［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤≥≥⇔,041,0)4(0)1(且且a f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>≥-≥+-.21,0,0718,03a a a a a 或解之,得2＜a≤718.∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(-1，718］. 变式训练2 己知三个不等式：①|2x-4|＜5-x;②2322+-+x x x ≥1;③2x 2+mx-1＜0. (1)若同时满足①②的x 值也满足③，求m 的取值范围；(2)若满足的③的x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围. 解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C. 解①得A=（-1，3）；解②得B=［0,1）∪（2,4］, ∴A∩B=［0,1）∪(2,3).(1)因同时满足①②的x 值也满足③，∴A∩B ⊆C.设f(x)=2x 2+mx+1，由f(x)的图象可知方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足A∩B ⊆C.∴⎩⎨⎧≤+<-⎩⎨⎧≤<.0173,01,0)3(,0)0(m f f 即∴m≤317-. (2)因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，∴C ⊆A ∪B,而A ∪B=（-1,4］,因此C ⊆（-1,4］.∴方程2x 2+mx-1=0的小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-≥+=≥-=-,441,0314)4(,01)1(m m f m f解之,得431-≤m≤1. 问题探究问题 怎样解高次不等式及分式不等式,解题时应注意什么问题?导思：解决这类题要根据不等式的性质，进行同解变形，向一次、二次的整式不等式转化. 探究：高次不等式也是一种很常见的不等式,在许多问题中都牵涉到解高次不等式.另外,许多分式不等式也可以转化为高次不等式,解高次不等式主要使用以下两种方法.以不等式(x+3)(x-2)(x-4)＞0为例.方法一：原不等式可化为几个不等式(组)进行求解.此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法. 方法二：不等式（或方程）有三个零点:-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了4个区间(如图3-3-3).图3-3-3针对这些区间，逐一讨论各因式的符号情况,列表如下：从上表可看出(x+3)(x-2)(x-4)＞0的解集为{x|-3＜x ＜2或x ＞4}. 方法三：先在数轴上标出零点（标出根）.图3-3-4根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式（x+3）(x-2)(x-4)的正负号,再根据题目要求，直接写出解集{x|-3＜x ＜2或x ＞4}. 这种方法常称为“数轴标根法”，也可称为“穿根法”.这种方法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼.这样的“线”也可看成是函数y=(x+3)(x-2)(x-4)的图象草图(y 轴未画).利用数轴标根法要先把x 的系数化为正数，最好是1，否则很容易写错结论. 对分式不等式要根据0)()(>x g x f ⇔f(x)g(x)＞0等同解变形转化，一般不要先去分母，可先移项、通分，把)()(x g x f ＞k 型不等式化为)()(x g x f ＞0的形式.。
