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不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较： 0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<． 二、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >； ⑧)0,1n n a b a b n n >>>∈N >． 三、基本不等式定理
1、整式形式：①()2
2
2,a b ab a b R +≥∈；②()22
,2
a b ab a b R +≤∈；
③()20,02a b ab a b +⎛⎫
≤>> ⎪⎝⎭
；④()2
22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭
2、根式形式：①
2a b
ab +≥（0a >，0b >）②a+b ≤)a 222b +（ 3、分式形式：a b +b
a
≥2（a 、b 同号）
4、倒数形式：a>0⇒a+a 1≥2 ；a<0⇒a+a
1
≤-2
四、公式：b
1a 12
+≤ab ≤2b
a +≤
2
2
2b a + 五、极值定理：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．
⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ． 六、解不等式
1、一元一次不等式： ax>b （a ≠0）的解：当a>0时，x>
a b ；当a<0时，x b ； 2、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式2 4b ac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2 y ax bx c =++ ()0a >的图象 一元二次方程2 0ax bx c ++= ()0a >的根 有两个相异实数根 1,22b x a -∆= ()12x x < 有两个相等实数根 122b x x a ==- 没有实数根 一元二次不等式的解集 20ax bx c ++> ()0a > {} 1 2 x x x x x <>或 2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩ ⎭ R 20ax bx c ++< ()0a > {}1 2x x x x << ∅ ∅ 4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数 二判：判断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像写出不等式的解集 5、解分式不等式： )()(f x g x >0⇔f(x)g(x)>0 ; )() (f x g x ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0 )(0)()(f x g x g x 6、解高次不等式：(x-1a )(x-2a )…（x-n a ）>0 7、解含参数的不等式：解形如a 2x +bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：（1）讨论a 与0的大小（2）讨论∆与0的大小（3）讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题： 方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解。 1、1x <2x ⎪⎨⎧>∆<->0 20 )(k a b k f 2、k <1x <2x ⇔⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧>∆>->0 20)(k a b k f 3、1x 4、1k <1x <2x <2k ⇔⎪⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪⎪⎨⎧<-<>∆>>2121200 )(0 )k k a b k k f f （ 5、、1x <1k <2k <2x ⇔⎩⎨ ⎧>>0 )(0 )k 21k f f （ 6、1k <1x <2k <2x <3k ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧><>0 )(0)(0)k 321k f k f f （ 八、线性规划问题 1、定义： 线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式． 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合． 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、区域判断 在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=． ①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线 0x y C A +B +=下方的区域． ②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线 0x y C A +B +=上方的区域．
