四川省成都市高中数学第二章点线面的位置关系第8课时空间几何中的角度计算与距离计算同步练习新人教A版必
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第 8课时 空间几何中的角度计算
与距离计算
基础达标(水平一)
1.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为 2的正方形,高为 4,则点 A1到截面 AB1D1的距离为
( ).
8 3 4 3
A. B. C. D.
3 8 3 4
1 1 4
【解析】由等体积法得푉퐴 = ,则 ×6h= ×2×4,解得 h= .
1 - A퐵1퐷1
푉
퐴 - 퐴
1퐵1퐷1
3 3 3
【答案】C
2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( ).
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
【解析】如图,平面 EFDG⊥平面 ABC,平面 HDG⊥平面 BCD,当平面 HDG 绕 DG 转动时,平面 HDG
始终与平面 BCD 垂直,所以两个二面角的大小关系不确定.
【答案】D
3.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则直线 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦
值等于( ).
6 10 2 A. B. C. D. 4 4 2 3
2
【解析】如图所示,取 A1C1的中点 D,连接 AD,B1D,可知 B1D⊥平面 ACC1A1,
∴∠DAB1即为直线 AB1与平面 ACC1A1所成的角.
퐵1D 3
6
不妨设正三棱柱的棱长为 2,∴在 Rt△AB1D 中,sin∠DAB1= = = ,故选 A.
퐴퐵
1
2 2
4
【答案】A
4.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1=2,AC= 2,过 BC 的中点 D 作平面 ACB1的垂线,
交平面 ACC1A1于点 E,则 BE 与平面 ABB1A1所成角的正切值为( ).
5 5
A. B.
5 10
10 C. D. 10 10
5
【解析】连接 A1C及 AC1交点为 O,连接 OD,A1B,由图形易知 A1B⊥平面 AB1C,OD∥A1B,故 OD⊥
平面 AB1C,故点 E与点 O重合.取 AA1的中点 F,连接 EF和 BF,易判断∠EBF为 BE与平面 ABB1A1
2
1 2 10
2
所成角,EF= AC= ,BF= 퐴퐵2 + A퐹2= 4 + 1= 5,故 tan∠EBF= = ,选 C.
2 2 5 10
【答案】C
4 3
5.已知矩形 ABCD的两边 AB=3,AD=4,PA⊥平面 ABCD,且 PA= ,则二面角 A-BD-P的大小
5
为
.
【解析】过点 A作 AE⊥BD,连接 PE,则∠AEP为二面角 A-BD-P的平面角
.
由 AB=3,AD=4知 BD=5
.
12
∵AB·AD=BD·AE,∴AE=
.
5
4 3
퐴푃 3
5
∴tan∠AEP= = = .∴∠AEP=30°
.
퐴퐸 12 3
5
【答案】30°
6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 C1D与平面 B1CD所成的角为
.
【解析】如图,连接 C1B交 B1C于点 O,由直线 C1B⊥平面 B1CD可得直线 C1D与平面
B1CD所 成的角为∠ODC1.在 Rt△ODC1中,由 DC1=2OC1可得∠ODC1=30°,因此直线 C1D
与
平面 B1CD所成
的角为 30°
.
【答案】30°
7.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面
ABCD,PA= 3.
(1)求证:平面 PBE⊥平面 PAB.
(2)求二面角 A-BE-P 的大小.
【解析】(1)如图,连接 BD,
由底面 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知△BCD 是等边三角形.
因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD.
又 AB∥CD,所以 BE⊥AB.
又 PA⊥平面 ABCD,BE⊂平面 ABCD,
所以 PA⊥BE.
又 PA∩AB=A,
所以 BE⊥平面 PAB.
又 BE⊂平面 PBE,
所以平面 PBE⊥平面 PAB.
(2)由(1)知 BE⊥平面 PAB,PB⊂平面 PAB,
所以 PB⊥BE.
又 AB⊥BE,
所以∠PBA 即为二面角 A-BE-P 的一个平面角.
푃퐴
在 Rt△PAB 中,tan∠PBA= = ,
퐴퐵
3
所以∠PBA=60°,
故二面角 A-BE-P 的大小是 60°.
拓展提升(水平二)
8.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,则二面角 B-PA-C 的大小为( ).
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】∵PA⊥平面 ABC,BA,CA⊂平面 ABC,∴BA⊥PA,CA⊥PA,∴∠BAC 即为二面角 B-PA-C
的平面角.又∠BAC=90°,故选 A.
【答案】A
9.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,各侧棱和底面的边长均为 a,点 D 是 CC1上任意一点,连接
A1B,BD,A1D,AD,则三棱锥 A-A1BD 的体积为( ).
푎3 3푎3 3푎3 푎
3
A. B. C. D.
6 12 6 12
1 1 3a
푎
2 3푎3
【解析】푉퐴 - 퐴1BD=푉퐷 - 퐴 = Sh= × × = .
1
BA
3 3 2 2 12
【答案】B
10.已知在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 是 A1B1的中点,则直线 AE 与平面 ABC1D1所成
的角的正弦值为 .
【解析】如图,取 CD 的中点 F,连接 EF 交平面 ABC1D1于点 O,连接 AO,B1C.
- 3 -
由题意知 B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC1∩D1C1=C1,∴B1C⊥平面 ABC1D1.
∵E,F 分别为 A1B1,CD 的中点,∴EF∥B1C.
∴EF⊥平面 ABC1D1,即∠EAO 为所求角.
1 2 10
1 5 퐸푂
2 + A퐴12
在 Rt△EOA 中,EO= EF= B1C= ,AE= 퐴1퐸 = ,∴sin∠EAO= = .
2 2 2 2 퐴퐸 5
【答案】
10
5
11.如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D 为 AB 的中点,且△PDB 是正三角
形,PA⊥PC.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 ABC.
(2)求二面角 D-AP-C 的正弦值.
(3)若 M 为 PB 的中点,求三棱锥 M-BCD 的体积.
【解析】(1)∵D 是 AB 的中点,△PDB 是正三角形,AB=20,
1
∴PD= AB=10,∴AP⊥PB.
2
又 AP⊥PC,PB∩PC=P,∴AP⊥平面 PBC.
又 BC⊂平面 PBC,∴AP⊥BC.
又 AC⊥BC,AP∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC.
又 BC⊂平面 ABC,∴平面 PAC⊥平面 ABC.
(2)∵PA⊥PC,且 PA⊥PB,∴∠BPC 是二面角 D-AP-C 的平面角.
퐵퐶 2
由(1)知,BC⊥平面 PAC,则 BC⊥PC,∴sin∠BPC= = .
푃퐵 5
1
(3)∵D 为 AB 的中点,M 为 PB 的中点,∴DM PA,且 DM=5 3,
2
由(1)知,PA⊥平面 PBC,∴DM⊥平面 PBC,
1
∵S△BCM= S△PBC=
2 ,
21
2
1
∴VM-BCD=VD-BCM= ×5 3×2 21=10 7.
3
