导学案002命题及其关系与充要条件

1.2.2充要条件1．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作□01p⇔q.此时，我们说，p是q 的□02充分必要条件，简称□03充要条件．2．常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件从集合角度看充分、必要条件和充要条件如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表．记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系A B B A A＝B A⊆/B且B⊆/A 图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p，q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)逻辑联结符号“⇔”具有传递性．()(3)若p⇒/q和q⇒/p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()答案(1)√(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2<1”的充要条件是_________________________________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是________．(4)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．答案(1)－1<x<1(2)充要(3)x＝0(4)2探究1充要条件的判断例1下列各小题中，p是q的充要条件的是()①p：m<－2或m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f(－x)f(x)＝1，q：y＝f(x)为偶函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.A．①②B．②③C．③④D．①④[解析]①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)>0⇔m<－2或m>6⇔p.②f(x)＝0时，q⇒/p.③若α，β＝kπ＋π2(k∈Z)，此时有cosα＝cosβ，但没有tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A⇔A⊆B⇔q：∁U A⊇∁U B，∴①④中，p是q的充要条件．[答案] D拓展提升判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．【跟踪训练1】 已知p 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件，也是s 的充分条件，r 是s 的必要条件，问：(1)p 是r 的什么条件？ (2)s 是q 的什么条件？(3)p ，q ，r ，s 中哪几对互为充要条件？ 解 作出“⇒”图，如右图所示，可知： p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件．(3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q . 探究2 充要条件的证明例2 设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .[证明] 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )；必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin Csin B ，即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B .综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .[结论探究] 如果把例2中问题改为“求证A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°”，怎样证明？证明 充分性：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°， 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴A ＋C ＝2B .∴A ，B ，C 成等差数列． 必要性：A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B . 又∵A ＋B ＋C ＝180°，即3B ＝180°， ∴B ＝60°.综上得A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°. 拓展提升充要条件的证明证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中前者是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了．一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”即q ⇒p ；证明必要性时则以p 为“已知条件”，即p ⇒q .【跟踪训练2】 求证：0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a ＞0对一切实数x 都成立的充要条件．证明 充分性：当0<a <45时，判别式Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0， 则ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．而当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立． 必要性：因为ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立， 所以a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a (1－a )＜0，解得0≤a <45.故0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．探究3 求充要条件例3 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] 当a ＝0时，符合要求．当a >1时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a <0；若方程有两个负实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0，1a>0，－2a <0，解得0<a ≤1.综上所述，若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根，则a ≤1. 反之，若a ≤1，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根．因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 拓展提升探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．【跟踪训练3】 圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________．答案 －3<k < 3解析当圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2有一个公共点时，有|2|k2＋1＝1，解得k＝±3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充要条件是－3<k< 3.1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，此时曲线过坐标原点；但曲线y ＝sin(2x＋φ)过坐标原点时，φ＝kπ(k∈Z)，∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．故选A.2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．3．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析 因为x ∈R ，“x >1”⇔“x 3>1”，所以“x >1”是“x 3>1”的充要条件． 4．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0与直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由两直线平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1；当a ＝－1时，两直线的方程分别为x －3y －3＝0和x －3y ＋1＝0，可知两直线平行．故“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0与直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的充要条件．5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0. 证明 证法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y . 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0. 因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0. 证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy <0. 由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy <0⇔xy >0. 所以1x <1y ⇔xy >0， 即1x <1y 的充要条件是xy >0.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q⇒綈p，但綈p⇒/q，其逆否命题为p⇒綈q，但綈q⇒/p，而原命题与其逆否命题是等价命题．故选A.3．已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析f(x)是奇函数时，φ＝π2＋kπ(k∈Z)；φ＝π2时，f(x)＝A cos⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π2＝－A sinωx，为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．故选B.4．已知直线l1：ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝－2”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析直线l1⊥l2的充要条件是a＋a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－2，所以“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．5．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 答案 B解析 由题易知不等式|x －m |<1的解集为{x |m －1<x <m ＋1}，从而有{x |m －1<x <m ＋1}⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>12，m －1<13，解得－12<m <43，而m ＋1＝12与m －1＝13不同时成立， ∴m ＝－12及m ＝43亦满足题意， ∴－12≤m ≤43.故选B.6．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件．选C.二、填空题7．设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b >0是f (x )>0在[0,1]上恒成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 必要不充分解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋b >0，∴a ＋2b >0.而仅有a ＋2b >0，无法推出f (0)>0和f (1)>0同时成立．8．已知a ，b 为两个非零向量，有以下命题：①a 2＝b 2；②a·b ＝b 2；③|a |＝|b |且a ∥b .其中可以作为a ＝b 的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)答案 ①②③解析 显然a ＝b 时①②③均成立，即必要性成立．当a 2＝b 2时，(a ＋b )·(a －b )＝0，不一定有a ＝b ；当a·b ＝b 2时，b ·(a －b )＝0，不一定有a ＝b ；|a |＝|b |且a ∥b 时，a ＝b 或a ＝－b ，即①②③都不能推出a ＝b .9．若函数f (x )＝2x －(k 2－3)·2－x ，则k ＝2是函数f (x )为奇函数的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 当k ＝2时，f (x )＝2x －(k 2－3)·2－x ＝2x －2－x ，此时函数f (x )为奇函数；反之，当函数f (x )为奇函数时，有f (x )＋f (－x )＝2x －(k 2－3)·2－x ＋2－x －(k 2－3)·2x ＝(4－k 2)(2x ＋2－x )＝0，则有k 2＝4，即k ＝±2；故k ＝2是函数f (x )为奇函数的充分不必要条件．三、解答题10．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：lg x 2＝0，q ：x ＝1；(2)p ：b ＝c ，q ：a ·b ＝a ·c (a ，b ，c ≠0)；(3)p ：x ≥1且y ≥1，q ：x ＋y ≥2；(4)p ：x ，y 不全为0，q ：x ＋y ≠0.解 (1)当lg x 2＝0时，x 2＝1，即x ＝±1，则p ⇒/ q ，q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)易知p ⇒q .而a ·b ＝a ·c (a ，b ，c ≠0)，即a ·(b －c )＝0，可得b ＝c 或a ⊥(b －c )，即q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，而q ⇒/ p ，∴p 是q 的充分不必要条件．(4)綈p ：x ＝0且y ＝0，綈q ：x ＋y ＝0，∵綈p ⇒綈q ，而綈q ⇒/ 綈p ，∴p ⇐q 且p ⇒/ q ，∴p 是q 的必要不充分条件．B 级：能力提升练1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |(x －m ＋1)·(x －m －1)≥0}．(1)当m ＝0时，求A ∩B ；(2)若p ：x 2－2x －3<0，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≥0，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 (1)当m ＝0时，B ＝{x |(x ＋1)(x －1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥1}，又A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <3}．(2)p ：x ∈(－1,3)，q ：x ∈(－∞，m －1]∪[m ＋1，＋∞)．因为q 是p 的必要不充分条件，所以m －1≥3或m ＋1≤－1，所以m ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．2．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明 必要性：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根ξ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ξ2＋2aξ＋b 2＝0ξ2＋2cξ－b 2＝0⇒ξ＝－b 2a －c ＝b 2c －a . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c －a 2＋2c ·b 2c －a－b 2＝0⇒a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A ＝90°.充分性：若∠A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2，易得x 0＝b 2c －a是方程的公共根． 综上，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.。

解：a＝2 时亦有 M⊆N.故填充分不必要．
类型一 四种命题及其相互关系
写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断
四种命题的真假．
(1)若 a＞b，则 ac2＞bc2； (2)在△ABC 中，若 AB＞AC，则∠C＞∠B； (3)若 x2－2x－3＞0，则 x＜－1 或 x＞3.
解：(1)因为当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以原命题为假命题． 逆命题：若 ac2＞bc2，则 a＞b.它为真命题． 否命题：若 a≤b，则 ac2≤bc2.它为真命题． 逆否命题：若 ac2≤bc2，则 a≤b.它为假命题．
比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦
一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命
题”．
(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是 大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其
中一个(或几个)作为大前提．
(2)逆命题：在△ABC 中，若∠C＞∠B，则 AB＞AC. 否命题：在△ABC 中，若 AB≤AC，则∠C≤∠B. 逆否命题：在△ABC 中，若∠C≤∠B，则 AB≤AC.
这里，四种命题都是真命题．
(3)逆命题：若 x＜－1 或 x＞3，则 x2－2x－3＞0. 否命题：若 x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3. 逆否命题：若－1≤x≤3，则 x2－2x－3≤0.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
π 解：在△ABC 中，若 sinB＝1，则 B＝ 2 ，所以△ABC 为直角三角形；
若△ABC 为直角三角形，则 sinB＝1 或 sinA＝1 或 sinC＝1．所以在△ABC

06
【例2】 若ab≠0，试证a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：先证必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0， 又ab≠0， ∴a2－ab＋b2＝ ≠0，因此a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 再证充分性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
变式3. 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． 求证：数列{Sn}不是等比数列； 数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 解答：(1)证明：证法一：(反证法)若{Sn}是等比数列， 则 ＝S1S3，即 ∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列
01
（了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意义/能正确地对含有一个量词的命题进行否定 ）
02
逻辑联结词全称量词与存在量词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． 用来判断复合命题的真假的真值表 真 假 假 假
至少 ∀ 全称 存在
01
02
5．命题的否定 (1)全称命题的否定是 命题；特称命题的否定是 命题． (2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
否则S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3.∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．
∵a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，∵q≠1，∴q＝0与q≠0矛盾.
【方法规律】
1．对命题正误的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式．在判断命题正误的过程中，要注意简单 命题与复合命题之间的真假关系；要注意命题四种形式之间的真假关系． 2．在充分条件、必要条件和充要条件的判断过程中，可利用图示这种数形结合的思想方法；在证明充要条件时，首先要弄清充分性和必要性． 3．特殊情况下如果命题以p：x∈A，q：x∈B的形式出现，则有：(1)若A⊆B，则p 是q的充分条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念导师提醒1．区别两个说法(1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B⇒/A.(2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A⇒/B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．2．掌握充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( )(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (5)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/q ”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 下列命题为真命题的是( )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2答案：A(教材习题改编)命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是 ( )A ．若a ＞b ，则a －1≤b －1B ．若a ＞b ，则a －1＜b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a ＜b ，则a －1＜b －1解析：选C.根据否命题的定义可知，命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”，故选C.设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x ≥0，则x ≤2，(x －1)2≤1，则－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，据此可知：“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的必要不充分条件．原命题“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.3．已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题． A ．①③ B ．② C ．②③D ．①②③解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．4．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题， 则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2018·高考北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝dc ，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝cd ，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A. (3)a ＞b 不能推出a 2＞b 2，例如a ＝－1，b ＝－2；a 2＞b 2也不能推出a ＞b ，例如a ＝－2，b ＝1.故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件．【答案】 (1)B (2)A (3)D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A ，B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B ，A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2019·成都第一次诊断性检测)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A ＞sin B ”是“tan A ＞tan B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.在锐角△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b sin B，知sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A ＞B ⇔tan A ＞tan B ．故选C.2．(2018·高考北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.因为|a －3b |＝|3a ＋b |，所以(a －3b )2＝(3a ＋b )2，所以a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又因为|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b ；反之也成立．故选C.3．(2019·咸阳模拟)已知p ：m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m 2＝－1，m ＝±1.所以p 是q的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)(2019·湖南湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，求m 的取值范围．【解】 (1)选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．[迁移探究1] (变问法)若本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：若“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．[迁移探究2] (变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈綈P ”是“x ∈綈S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈綈P ”是“x ∈綈S ”的必要不充分条件， 所以P ⇒S 且S ⇒/P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥9 B ．a ≤9 C ．a ≥10D ．a ≤10解析：选C.命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”⇔“∀x ∈[1，3]，x 2≤a ”⇔9≤a .则a ≥10是命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.2．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________． 解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3. 因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案：3充分、必要条件中的核心素养设p ：|2x ＋1|＜m (m ＞0)；q ：x －12x －1＞0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．【解析】 由|2x ＋1|＜m (m ＞0)，得－m ＜2x ＋1＜m ， 所以－m ＋12＜x ＜m －12.由x －12x －1＞0， 得x ＜12或x ＞1.因为p 是q 的充分不必要条件，又m ＞0， 所以m －12≤12，所以0＜m ≤2.【答案】 (0，2]充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．若“x ＞2m 2－3”是“－1＜x ＜4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，3] B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]解析：选D.因为“x ＞2m 2－3”是“－1＜x ＜4”的必要不充分条件，所以(－1，4)(2m 2－3，＋∞)，因此2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.[基础题组练]1．已知命题p ：若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ，则下列说法正确的是 ( ) A ．命题p 的逆命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x ＜2ab ，则x ＜a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x ＜2ab ”解析：选C.命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ”，故C 正确，D 错误．2．“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的逆否命题是( )A ．若x ，y ∈R ，x ，y 全不为0，则x 2＋y 2≠0B ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为0，则x 2＋y 2＝0C ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0D ．若x ，y ∈R ，x ，y 全为0，则x 2＋y 2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x 2＋y 2＝0，结论为x ，y 全为零．逆否命题：若x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，故选C.3．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则1a ＞1b”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：选C.①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得A ∩B ＝A .所以“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．故选C.5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0，所以sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.6．(2019·郑州模拟)设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由b ＝c ，得b －c ＝0，得a ·(b －c )＝0；反之不成立．故“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的必要不充分条件．7．(2019·西安八校联考)在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.法一：设AB →与BC →的夹角为θ，因为AB →·BC →＞0，即|AB →|·|BC →|cos θ＞0，所以cos θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC 内角B 的补角，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.法二：由AB →·BC →＞0，得BA →·BC →＜0，即cos B ＜0，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.8．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A ，于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y ，所以“cos x ＝cos y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，即“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．9．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.10．(2019·南昌模拟)“a 2＋b 2＝1”是“a sin θ＋b cos θ≤1恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故“a 2＋b 2＝1”是“a sin θ＋b cos θ≤1恒成立”的充分不必要条件．故选A.11．使a ＞0，b ＞0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a －b ＞0 C ．ab ＞1D. ab＞1 解析：选A.因为a ＞0，b ＞0⇒a ＋b ＞0，反之不成立，而由a ＞0，b ＞0不能推出a －b ＞0，ab ＞1，ab＞1，故选A.12．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( ) A ．k ≤－22或k ≥2 2 B ．k ≤－2 2 C ．k ≥2D ．k ≤－22或k ＞2解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即k 2＋1≥3，所以k 2＋1≥9，即k 2≥8，所以k ≥22或k ≤－22，所以圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.[综合题组练]1．(创新型)(2019·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2019·广东江门模拟)若a ，b 都是正整数，则a ＋b ＞ab 成立的充要条件是( ) A ．a ＝b ＝1 B ．a ，b 至少有一个为1 C ．a ＝b ＝2D ．a ＞1且b ＞1解析：选B.因为a ＋b ＞ab ，所以(a －1)(b －1)＜1.因为a ，b ∈N *，所以(a －1)(b －1)∈N ，所以(a －1)(b －1)＝0，所以a ＝1或b ＝1.故选B.3．(2019·四川达州一诊)方程x 2－2x ＋a ＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( ) A ．a ＜0 B ．a ＜－1 C ．－1＜a ＜0D ．a ＞－1解析：选B.因为方程x 2－2x ＋a ＋1＝0有一正一负两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4（a ＋1）＞0，a ＋1＜0，解得a ＜－1.故选B.4．(应用型)若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故实数a 的取值范围是－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]5．(应用型)已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是________．解析：由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，故a ≥1.答案：[1，＋∞)。