7.1-7.2为什么要证明、定义与命题导学案

A八年级数学上册第七章《平行线的证明》导学案7.1 为什么要证明一、学习目标：1. 经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性。

2. 发展学生的推理意识。

二、学习重点：体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性。

三、学习难点：初步感受证明的必要性。

四、学习过程：（一）自主预习： 预习课本162—163页内容 （二）预习检测：1与线段CD2、图中AB 是直线还是折线？3、线段d 与在一条直线上，先猜测，再用直尺验证。

4、小明在学习根式时，从乘法满足分配律ac ab c b a +=+)(,类比得到)(c b a +=ac ab +，试举例说明这个结论是否正确？5.思考 ：观察，实验，归纳和类比是我们发现规律，获取结论的重要方法，用这些方法得到的结论一定正确吗？ 答：（ ）（二）合作交流：合作探究一: 代数式112+-n n 的值是质数吗？取n=0,1,2,3,4,5试一试，你能否由此得到结论：对于所有自然数n ，112+-n n得知都是质数吗？与同伴进行交流。

合作探究二:如课本162页图7-4，做一做（2）。

（三）点拨提高：如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球 赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形） 能放进一个红枣吗？能放进一个拳（四）反馈练习：1、 如图，甲沿着ACB 由A 到B ，乙沿着ADEFB 由A 到B ， 同时出发，速度相等则（ ） A 甲先到B 、乙先到，C 、甲乙同时到， D 、不确定、2、某公园计划砌一个如图(2)的喷水池，有人改为图乙的形状，若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿（ ）A 、甲需要的材料多B 、乙需要的材料多C 、一样多D 、不确定 3、习题7.1中1、2、3题。

八年级数学上册第七章《平行线的证明》导学案7.2 定义与命题（1）一、学习目标：1、了解定义、命题、真命题、假命题的含义。

7．1 为什么要证明1．了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；(重点)2．会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．(难点) 一、情境导入人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响，会引导我们做出错误的判断．只有通过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形还是梯形？你能肯定吗？怎样来验证你的结论呢？快来学习本节知识吧！ 二、合作探究 探究点一：数学的结论必须经过严格的论证当n ＝1，2，3，4，5时，代数式n 2－3n ＋7的值是质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n 2－3n ＋7的值都是质数吗？ 解析：把1，2，3，4，5等自然数代入n 2－3n ＋7中进行验证． 解：当n ＝1，2，3，4，5时，n 2－3n ＋7的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n ＝6时，n 2－3n ＋7＝62－18＋7＝25＝52.所以对于所有自然数，式子n 2－3n ＋7的值不都是质数． 方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证． 探究点二：检验数学结论的常用方法 【类型一】实验验证先观察再验证．(1)图①中实线是直的还是弯曲的？ (2)图②中两条线段a 与b 哪一条更长？ (3)图③中的直线AB 与直线CD 平行吗？解析：①②用直尺量；③用三角板平推．解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a 更长一些；(3)AB 与DC 不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a 与b 一样长；(3)AB 平行于CD. 方法总结：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．【类型二】举出反例当n 为正整数时，代数式(n 2－5n＋5)2的值都等于1吗？解析：对于代数式(n 2－5n ＋5)2，n 的取值为正整数，要判断(n 2－5n ＋5)2的值是否为1，可以先取值分别求出代数式的值．解：当n ＝1时，(n 2－5n ＋5)2＝12＝1；当n ＝2时，(n 2－5n ＋5)2＝(－1)2＝1；当n ＝3时，(n 2－5n ＋5)2＝(－1)2＝1；当n ＝4时，(n 2－5n ＋5)2＝12＝1；当n ＝5时，(n2－5n ＋5)2＝52＝25≠1.所以当n 为正整数时，(n 2－5n ＋5)2不一定等于1.方法总结：验证特例是判断一个结论错误的最好方法．【类型三】推理证明 如图，从点O 出发作出四条射线OA 、OB 、OC 、OD ，已知OA⊥OC，OB ⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？解析：图中∠AOB 、∠COD 均与∠BOC 互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB 与∠COD 的度数．通过计算发现∠AOB ＝∠COD ，于是可以归纳∠AOB ＝∠COD.解：(1)∵OA⊥OC，OB ⊥OD ，∴∠AOC ＝∠BOD＝90°.∵∠BOC ＝30°，∴∠AOB ＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD ＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB ＝∠AOC －∠BOC ＝90°－54°＝36°，∠COD ＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.(3)由(1)、(2)可发现：∠AOB＝∠COD. (4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC ＋∠COD ＝∠BOD ＝90°，∴∠AOB ＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.方法总结：检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．三、板书设计 为什么,要证明)⎩⎪⎨⎪⎧推理的意义：数学结论必须经过严格的论证检验数学结论的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧实验验证举出反例推理证明经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识，了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．。

第七章平行线的证明7.1为什么要证明(教案）教学目标知识与技能：体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等,发展学生的推理能力.过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心理,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.情感态度与价值观：通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严密性,并培养与他人合作的意识.教学重难点【重点】要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察或实验是不够的,必须一步一步、有理有据地进行推理.【难点】通过对一些规律的探讨和分析,养成动脑思考问题的习惯.教学准备【教师准备】教材图7 - 1、图7 - 2、图7 - 3的投影图片.【学生准备】有刻度的直尺.教学过程一、导入新课导入一:师:同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。

(多媒体展示)从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?生:张先生应该走第③条路.师:你的依据是什么?生:两点之间,线段最短.师:你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?生1:生活经验.生2:观察比较.生3:测量验证.师:很好!我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.但是通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?如何才能得到正确的结论呢?本节课让我们共同来学习第七章《平行线的证明》中的第一节“为什么要证明”.(板书课题:1为什么要证明)[设计意图]从学生已知的数学结论出发,感受有些结论是通过观察、实验、归纳等活动得出的,适时提出问题,通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?设置悬念,激发学生的求知欲,为新课的学习做好铺垫.导入二:欣赏几组图片(多媒体展示):问题1:【课件1】第一组图中的线是直的吗?问题2:【课件2】第二组图中心的两个圆哪个大?我们常说“百闻不如一见”“耳听为虚,眼见为实”,但“眼见真的全为实”吗?(此时学生很兴奋,讨论很热烈)以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法.(板书课题) [处理方式]给学生2分钟思考的时间,然后找学生回答.此时学生的回答各有不同,若学生的回答是否定的,可通过实际操作验证第一组图中的线是直的,第二组图中心的两个圆一样大,让学生明白只有实践才能出真知的道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.[设计意图]通过故事和精美的图片,在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣,体现了学生走进生活感受数学的高涨热情.故事和精美的图片非常吸引学生,使学生很自然地进入本节课的学习.二、新知构建[过渡语]以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确结论.观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?(1)、“直观”可靠吗师:请观察下面几组图片,思考并回答下列问题.(多媒体出示)(1)图(1)中的两条线段a,b长度相等吗?图(2)中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.【师生活动】学生先观察,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行验证.生1:我观察的结果是线段a比较长;经过测量,线段a,b长度相等.生2:我观察的结果是四边形的四条边是曲线;经过直尺验证,四边形是正方形.师:通过以上操作,你有什么感受?生:观察到的结果与事实不相符.师:以上操作说明仅仅依靠观察得到的结果是不能作为判断某些问题的结论的,要想得到正确的结论,必须进行验证.让我们再感受几个!请你欣赏:(多媒体出示)(1)这是平面吗?怎么看起来不像平面呢?(2)这些正方形怎么看起来扭曲了?(3)看,图在动!(4)你能想象这些都是同心圆吗?(5)图中的横线是平行的吗?(6)难以置信,这是一组平行线![设计意图]让学生的观察结果与实验结果产生思维上的碰撞,同时让学生明白只有实践才能出真知的道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.(2)、“直觉”可信吗师:请思考并回答下面问题.(多媒体出示)如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.【师生活动】学生先凭感觉想象,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行展示.师:正常人的拳头有多大?量一量.生:通过测量、交流,发现我班的最大拳头宽度才10厘米.师:凭感觉想象一下,铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗?生1:地球很大,铁丝的长度就比赤道的周长多一米,我觉得放不进一个拳头,也许能放进一只小蚂蚁.生2:赤道就是一个大圆,铁丝的长度比它的周长多一米,就能有一定的间隙,但是我认为间隙不大,不能放进一个拳头.师:算一算,结果与你的感觉是否一致?(学生计算,教师指导)生:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,即-≈0.16(m),0.16 m=16 cm.因此,能放进一个拳头.(教师板书)师:通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.[设计意图]通过理性的计算,验证了很难想象到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为证明的必要性提供素材.【小试身手】1.图中三条线段a,b,c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用直尺验证一下.2.图中两条线段a和b的长度相等吗?【师生活动】学生独立思考,验证后并交流.教师巡视、指导学生,学生完成后借助多媒体展示正确的答案.[设计意图]进一步让学生感受通过观察、猜想、直觉、经验得出的结论可能不是正确的.(3)、特例归纳得出的结论可靠吗思路一:师:请大家解决下面问题.(多媒体出示)代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.【师生活动】学生先思考,再动手计算,然后小组交流、归纳.教师巡视、指导学生,进行验证.生:当n=0时,n2-n+11=11.当n=1时,n2-n+11=11.当n=2时,n2-n+11=13.当n=3时,n2-n+11=17.当n=4时,n2-n+11=23.当n=5时,n2-n+11=31.因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数.师:你们都同意这个结论吗?生:同意.师:再取几个数试一试,看看你有什么发现.生:经过计算,我发现,当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数,所以“对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数”这个结论是错误的.[设计意图]对归纳的结论进行验证,让学生感受到特例有时具有一定的迷惑性(欺骗性),从而对不完全归纳的合理性产生怀疑.师:你们解决得很好,此题告诉我们,仅由几个特例归纳得出的结论可能潜藏着错误.我们的大数学家费马也犯过类似的错误,请阅读教材第163页读一读:费马的失误.【学生活动】学生极有兴趣地阅读,并低声交流.师:说说你们的感想.生1:大数学家费马出现这样的低级错误,可能是因为过于相信自己的直觉和经验.生2:仅由几个特例归纳得出的结论可能是错误的.生3:我们应当向欧拉学习,敢于向权威质疑;同时学习他对待科学的严谨态度.生4:我发现可以用举反例的方法验证结论.师:说得很好,希望同学们不要再出现这样的问题.同时,这个故事告诉我们:要说明一个结论是错误的,举反例就是一种常用方法.[设计意图]了解数学小知识的目的是进一步让学生理解凭几个例子得出的结论未必是正确的,也让学生体会反例在数学中的重要作用;同时,让学生理解数学家也会犯错,也是凡人,使学生提高学习数学的自信心.思路二【问题】代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5,试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.【学生活动】让学生先独立思考,再以小组为单位进行讨论交流,最后通过计算回答.其中第1小题当n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时,n2-n+11的值分别是11,11,13,17,23,31,41,53,67,83,101,全是质数.只要其他学生没有质疑就继续提问.但当n=11时,n2-n+11=121=112,就不是质数了.[设计意图]让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑,并且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算,可知用归纳的方法,仍不能判断数学结论是正确的,同时培养了学生的合作竞争意识.四、实验得到的结论未必可靠师:请大家接着解决下面的问题.如图7 - 4所示,在ΔABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法验证你的结论对所有的ΔABC都成立吗?与同伴进行交流.【师生活动】学生先观察、猜一猜,再动手、作图验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行成果展示.师:你认为DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?生:我认为位置关系是DE∥BC;数量关系是DE=BC.师:你是如何验证你的结论的?生:我是利用刻度尺、量角器进行测量验证的.师:大家认同这个做法吗?生:(大部分学生)认同.师:那么你还能肯定这个结论对所有的ΔABC都成立吗?(部分学生说肯定,部分学生不能确定)师:同学们,我们知道测量是有误差的,误差是难免的,通过猜测,实验验证得出的结论,也不能作为判断某些问题的结论,要想得到图形的性质是需要进行推理的.[设计意图]让学生感受由观察、猜想、实验得出的结论仍有不确定性,需要更合适的方法来解决问题.[知识拓展]认识事物不能“想当然”,要想取得令人信服的结论,必须经过严格的数学证明,证明的依据一般有数学定义、定理、公式和性质等.三、课堂总结可能正确,也可能不正确证明四、课堂练习1.通过得到的结论往往是不可靠的,甚至是错误的.答案:观察、实验或归纳2.只有通过才能检验数学结论.答案:举出反例或推理3.下列判断正确吗?说明理由.(1)如果有一条线段AB=5 cm,另一条线段BC=2 cm,那么线段AC 长为7 cm;(2)当n=0,1,2,3时,代数式n2+n+5的值分别是5,7,11,17,它们都是质数,由此判断,对所有自然数n,n2+n+5的值都是质数.解:(1)不正确,因为A,B,C三点不一定在一条直线上,即使在一条直线上,也不一定能得出AC=7 cm,如点C在AB之间. (2)不正确,如当n=4时,n2+n+5=25,是合数.4.有一张厚0.01 mm的纸(设它有无限大),重复折叠20次,大约有多高?会有3层楼房那么高吗?(每层楼房的高按3米计算) 提示:大约10米高;会有3层楼房那么高.五、板书设计1为什么要证明问题探索猜想结论:不一定正确六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材随堂练习第1,2题.【选做题】教材习题7.1第3题.(2)、课后作业【基础巩固】1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度()小刚A.一样多B.小刚的多C.小明的多D.无法判断2.骑自行车的速度是每小时15千米,骑摩托车的速度是每小时40千米,则下列结论中你能肯定的是()A.从A地到B地,骑摩托车的人一定比骑自行车的人先到达B.从A地到B地,骑自行车的人一定比骑摩托车的人先到达C.从A地到B地,骑自行车的人和骑摩托车的人不可能同时到达D.从A地到B地,骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达3.下列说法正确的是()A.通过观察完全可以判断一个数学结论的正确与否B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果数不少于2个【能力提升】4.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照下面的规律,摆第n个图需要火柴棒的根数为.【拓展探究】5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?这说明了什么?【答案与解析】1.A2.D3.D4.6n+25.解:不正确.当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.。

初中-数学-打印版1.你以前是如何对一些事实进行说理的？2.对于说理的依据，你觉得有哪些？完成教材162页的引例，完成下面问题：（1）图7-1中两条线段a,b 的长度相等吗？图7-2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。

（2）完成引例第（2）题（3）通过前面的结论，请大家思考：仅凭实验、观察和归纳得到的结论一定正确吗？（4）如果x 2>y 2，则x>y 吗？为什么？科目 北师大版八年级数学上册 授课时间 课题 授课教师 学习 目标 经历对事物及数学结论的猜想、判断，感受猜想和实际之间的差距，体验推理、证明的必要性。

旧知回顾 自主预习初中探究点：认识事物的方法问题1：下图中的两条线段AB 与CD 哪一条长一些？先猜一猜，再量一量。

问题2：你感觉图2A 、B 中间的圆一样大吗？量一量，结果与你的感觉是否相同？思考：通过问题1、2，你发现了什么？探究点：检验数学结论常用的方法问题1：代数式n 2-n+11的值是质数吗？取n=0，1,2,3,4,5试一试，你能否由此得出结论：对于所有自然数n ，n 2-n+11的值都是质数？与同伴进行交流。

思考：什么是质数？如何验证自己的结论，采用了怎样的方法，请同学们将自己或小组交流的过程写下来。

问题2：如右图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中新知探究A BCDA B点，连接DE。

DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想，你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？思考1：同一平面内的两条直线有哪几种位置关系？思考2：线段的数量关系怎样表示？思考3：如何判断两条直线是否平行？学以致用当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？达标检测1.通过观察你能判断的是（）A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直2.太平中学八年级（4）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n 的取值（n=1，2,3，…，39）代入式子n2+n+41,结果发现式子n2+n+41的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子n2+n+41的值都是质数。

第七章平行线的证明7.1 为什么要证明一、自主预习〔感知〕课前收集有关哥德巴赫猜测的相关资料，上课时与同伴交流二、合作探究〔理解〕1、某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．提示：可列表归纳n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …n2-n+11是否为质数2、如图，假设用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大〔把地球看成球形〕？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？三、轻松尝试〔运用〕a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.第1小题图第2小题图a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？四、拓展延伸〔提高〕五、收获盘点〔升华〕要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜测、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理六、当堂检测〔达标〕教材P164页，习题7.1 1，2，3七、课外作业〔稳固〕1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。

②完成《》中的本节内容。

2、思考题：第4课时“斜边、直角边〞1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞．(重点)2．经历探究“斜边、直角边〞判定方法的过程，能运用“斜边、直角边〞判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个方法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的〞，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边〞判定三角形全等如图，∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL 〞即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL 〞判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边〞判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL 〞判定线段相等如图，AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL 〞证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL 〞证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL 〞公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角〞这个隐含的条件．【类型二】 利用“HL 〞判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等． 证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL 〞解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：此题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于此题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL 〞外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS. 三、板书设计“斜边、直角边〞1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边〞或“HL〞．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL〞，除此之外，还可以选用“SAS〞“ASA〞“AAS〞以及“SSS〞．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习稳固所学的新知识．。

§7、1 为什么要证明导学案学习目标：1．经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识．2．通过积极参与，获得正确的数学推理方法，理解数学的严谨、严密性，并培养与他人合作的意识．3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．教学重点：学会判断一个数学结论必须一步一步、有理有据地进行推理，并进一步感受证明的必要性．教学难点：学会用数学的方法进行说理论证，学着寻找证明的思路学习过程：活动1：动手试一试：1.请在图中把编号相同的点用线段连起来，并观察图中有曲线吗？12345678123456782.在下图中画直线、三角形、正方形，并观察，你会发现什么我的感悟：3、如图中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下。

结论：a 与b 的长度活动2、猜猜看：如图把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，和你的感觉一样吗？大家一起算一算：活动3：寻找质数：不难发现，当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．你的结论是变式：n 为正整数时，n 2+3n +1的值一定是质数吗？归纳、结论：实验、观察、归纳得到的结论可能 也可能 。

因此，要判断数学结论 ，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行课堂评价课后探究：如下左图是一张8 cm ×8 cm 的正方形纸片，面积是64cm 2。

把这张纸片按左图所示剪开，把剪出的4个小块按右图所示重新拼合，这样就得到一个长为13 cm ，宽为5 cm 的长方形，你发现了什么问题？3 335 5 58 3 5。

第七章平行线的证明
7.1 为何要证明
一、自主（感知）
前采集有关哥德巴赫猜想的有关料，上与伙伴沟通
二、合作研究（理解）
1、某学小，当 n=0， 1， 2，3 ，代数式 n2-n+11 的都是数，于是获得：于全部自
然数 n， n2-n+11 的都是数．你呢？与伙伴沟通．
提示：可列表
n01234567891011⋯n2-n+11
能否
数
2、如，若是用一根比地球的赤道 1 米的将地球赤道起来，那么与地球赤道之的
隙能有多大（把地球当作球形）？能放一个？能放一个拳？
三、松（运用）
1.如中两条段 a 与 b 的度相等？你先察，再胸怀一下.
第 1小第2小
2.如中三条段 a、 b、 c,哪一条段与段 d 在同向来上？你先察，再用三角尺一
下 .
3.当 n 正整数， n2+3n+1 的必定是数？
四、拓展延长（提升）
五、收获清点（升华）
要判断一个数学结论是正确，仅察看、猜想、实验还不够，一定经过一步一步，有根有据的推理
六、当堂检测（达标）
教材 P164页，习题 7.1 1 ，2，3
七、课外作业（稳固）
1、必做题：①整理导教案并达成下一节课导教案中的预习案。

②达成《学练优》中的本节内容。

2、思虑题：。

7.1 为什么要证明【学习目标】1．初步体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．通过探索，初步了解数字中推理的重要性．3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．【学习重点】判断一个结论正确与否需要进行推理．【学习难点】理解数学推理的重要性．学习行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．情景导入生成问题在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？如果是正确的，那么用什么方法说明它的正确性呢？解：不一定都是正确的，如果正确，需要用推理证明的方法来说明它的正确性．自学互研生成能力知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗先阅读教材第162页“做一做”之前的内容，然后完成书中设置的两个问题，最后与同伴进行交流．【说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论不一定正确．知识模块二启发学生有理有据地推理师生合作共同完成教材第162页“做一做”的学习与探究．【说明】(1)中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；(2)中利用先猜想再验证的方法，培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题的能力．【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗知识模块二启发学生有理有据地推理检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7.2 定义与命题第1课时定义与命题【学习目标】1．理解定义与命题的概念．2．掌握命题的结构、形式及种类．3．能从具体实例中，了解命题的概念，并会区分真假命题．【学习重点】命题的相关概念．【学习难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”的形式．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．这节课我们就一起研究定义与命题．自学互研生成能力知识模块一定义先阅读教材第165页“议一议”上面的内容，弄清“定义”的概念．【说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用举例的形式加深对概念的理解与掌握．【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．知识模块二命题阅读教材第165页“议一议”的内容，弄清命题的概念，并与同伴进行交流．【说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排不是命题的问题参加，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断．【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题．如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题．知识模块三命题的组成阅读教材第166页“想一想”部分的内容．弄清一个命题的组成，并与同伴进行交流．【说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深对命题的理解．【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．知识模块四命题的分类仿例：下列命题是真命题的是( D)A．若a2＝b2，则a＝bB．若a2>b2，则a>bC．若|a|>|b|，则a>bD．若a3＝b3，则a＝b学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间.阅读教材第166页“做一做”的内容，然后与同伴进行交流．【说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自学的知识对命题作出正确的判断．【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一定义知识模块二命题知识模块三命题的组成知识模块四命题的分类检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时命题的证明【学习目标】1．理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别．2．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理论证有初步的认识．【学习重点】命题证明的一般步骤．【学习难点】探索命题证明的思路及思维方向．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．情景导入生成问题我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研生成能力知识模块一公理、定理的概念阅读教材第168页和第169页例题前面部分的内容，然后解答下列问题：问题1什么是公理？什么是定理？问题2我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【说明】给出概念，直入主题．回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理．【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据．知识模块二定理的证明师生合作完成下面问题的学习与探究．问题3什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写过程有个心理准备．例：已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．定理：对顶角相等．注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配．仿例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，求证：∠1＝∠A，∠2＝∠B.证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠1＋∠B＝90°，∴∠2＝∠B，同理可证：∠1＝∠A.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一公理、定理的概念知识模块二定理的证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7.3 平行线的判定【学习目标】1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．会用平行线的三个判定定理解决问题．【学习重点】平行线的三个判定定理．【学习难点】灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看．【说明】通过复习旧知识，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备．两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角．同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望．自学互研生成能力知识模块一内错角相等，两直线平行先阅读教材第172页定理1的内容及其证明过程，然后完成下面的问题．问题1如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2当∠1＝∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想．由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的．为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)．∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．知识模块二同旁内角互补，两直线平行先阅读教材第172页定理2的内容及证明过程，然后完成下面的问题．问题3如下图，∠2与∠3是什么位置关系？学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．问题4当∠2＋∠3＝180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力．在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件．这个证明的过程，老师可以引导学生自己书写．【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论．仿例：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后，如果∠C＝68°，∠B＝112°，则AB与CD的位置关系是__平行__，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一内错角相等，两直线平行知识模块二同旁内角互补，两直线平行检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7．4 平行线的性质【学习目标】1．初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和证明．2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．【学习重点】平行线的性质的探索及性质的应用．【学习难点】运用平行线的性质和判定去解决问题．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．情景导入生成问题现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研生成能力知识模块一两直线平行，同位角相等师生合作共同完成教材第175页性质定理1的证明及探究过程．【说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的．此题的证明可以让学生感受反证法．知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补阅读教材第176页平行线性质定理2和性质定理3的内容及证明过程，然后自己完成定理的证明．【说明】培养学生逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心．知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行先阅读教材第176页例题及证明过程，然后完成下面的问题．例：已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.【说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力．发展他们的数学思维和空间观念．【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行．讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流．【说明】通过与学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两直线平行，同位角相等知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________7.5 三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理【学习目标】1．会证明三角形的内角和定理，并能运用三角形内角和定理解题．2．初步学会利用辅助线证题．【学习重点】三角形内角和定理的证明和应用．【学习难点】用不同方法证明三角形内角和定理．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备．自学互研生成能力知识模块一三角形内角和定理的证明先阅读教材第178页的内容，再完成下面的思考．思考：(1)如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流．【说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：(1)你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？(2)如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC(如图)，这样的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流．【说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理和证明方法再次得到深化．知识模块二三角形内角和定理的应用先独立完成下面问题的解答，然后再对照教材第179页例1的规范格式自评自纠．例：如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．【说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用．注意向学生分析解决问题的思路和方法．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形内角和定理的证明知识模块二三角形内角和定理的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时三角形外角的定理【学习目标】1．了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理．2．能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与计算．【学习重点】三角形外角的性质定理．【学习难点】运用三角形外角性质定理进行有关计算时能准确地推理．学习行为提示：每组抽一位学生上黑板做，其余学生在座位上完成，组长检查每组完成情况，最后老师给每组评分．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题旧知回顾：1在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是直角三角形．2．一个三角形的三个内角中，至少有( B)A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( C)A．50°B．55°C．60°D．65°自学互研生成能力知识模块一三角形外角的定理先阅读教材第181页例2上面的内容，然后完成下面的问题：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如图，∠1是△ABC的外角．学习行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．展示目标：通过知识模块一的展示掌握证明三角形外角定理的方法；通过对知识模块二的展示，总结运用三角形外角的定理进行几何证明和计算的一般方法和步骤．问题1你能在图中画出△ABC的其他外角吗？∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？【说明】结合图形，学生通过观察、思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的推理论证能力．【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．知识模块二运用三角形外角的定理进行证明你能运用所学的知识解决下面的问题吗？问题2(1)已知：在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.第(1)题图第(2)题图(2)已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.你们的证明方法一样吗？与大家共同交流．【说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新能力的过程，它不受教师点拨的思维定式的影响，可以提高学生的思维灵活性．仿例：如图D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC>∠B＋∠D.证明：∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠ECD＝∠B＋∠D，∴∠ACD＝∠B＋∠D，∵∠BAC>∠ACD，∴∠BAC>∠B＋∠D.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形外角的定理知识模块二运用三角形外角的定理进行证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

八年级数学上册7.1为什么要证明教案新版北师大版一. 教材分析本次课程内容为北师大版八年级数学上册7.1节，主要介绍证明的概念和基本要求。

本节课内容是学生学习几何证明的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。

通过本节课的学习，学生应该能够理解证明的意义，掌握几何证明的基本方法。

二. 学情分析学生在进入八年级之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对几何图形有了一定的认识。

但学生在证明方面的知识和能力还比较薄弱，需要通过本节课的学习，逐步提高证明能力。

同时，学生应该具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力，能够理解和运用几何语言。

三. 教学目标1.理解证明的意义，知道证明的作用。

2.掌握几何证明的基本方法，能够正确书写几何证明步骤。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.教学重点：证明的概念和基本要求，几何证明的方法。

2.教学难点：证明的逻辑结构和证明方法的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的逻辑思维能力。

通过分析典型案例，让学生理解证明的过程和方法。

通过小组合作学习，让学生互相交流和讨论，提高学生的合作能力和证明能力。

六. 教学准备1.准备相关的几何图形和证明案例。

2.准备证明的模板和参考资料。

3.准备教学PPT和教学视频。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的几何问题，引导学生思考证明的意义和作用。

例如，给出一个三角形ABC，让学生证明AB=AC。

让学生意识到证明可以帮助我们解决几何问题。

2.呈现（10分钟）介绍证明的概念和基本要求。

证明是指用已知的事实和公理，通过逻辑推理，得出一个新的结论。

证明的要求包括：明确证明的目标，正确运用几何语言，严谨的逻辑结构，清晰的证明步骤。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析几何图形，找出证明的逻辑结构和证明方法。

可以让学生分组讨论，每个小组找出一个证明案例，分析其证明过程和方法。

第七章平行线的证明
7.1 为什么要证明
一、自主预习（感知）
课前收集有关哥德巴赫猜想的相关资料，上课时与同伴交流
二、合作探究（理解）
1、某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．
提示：可列表归纳
2、如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
三、轻松尝试（运用）
1.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.
第1小题图第2小题图
2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一
下.
3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
四、拓展延伸（提高）
五、收获盘点（升华）
要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理
六、当堂检测（达标）
教材P164页，习题7.1 1，2，3
七、课外作业（巩固）
1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。

②完成《习题》中的本节内容。

2、思考题：。

§7.1 为什么要证明？7.1 为什么要证明？教学设计一、核心知识梳理1.推理证明的必要性：通过观察、实验、归纳得到的数学结论不一定都是正确的，要判断一个数学结论是否正确，必须进行有根有据的证明.2.检验数学结论正确的常用方法：（1）举反例验证边；（2）计算；（3）逻辑推理.二、核心习得归纳补充学习：1.观察不一定得到正确结论；2.不完全归纳不一定得到正确结论；3.一步一步正确推理才能得到正确结论；三、核心思维导航【典例】对于所有自然数n,代数式211-+的值是质数吗？取0n nn=，1，2，3，4，5试一试.你能否得出此结论?一读：关键词：质数.二联：重要结论：质数指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数；重要方法：归纳法,举反例法.三解：解： n 0 12 3 4 5 … 211n n -+ 11 11 13 17 23 31… 当11n =时，原式＝111011⨯+＝1111⨯，211n n -+不是质数；故不能得出对于所有自然数n ，211n n -+的值都是质数的结论． 四悟：不完全的归纳法不能说明结论的合理性可以结合举反例的方法. 拓 展 练 习1.假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个拳头吗？【核思点拨】观察——猜测——证明【解题过程】解：设赤道的周长为C ，则铁丝与地球赤道的间隙为：110.16222C C πππ+-=≈()m 所以这样的间隙不仅可以放进一颗红枣，而且也可以放进一个拳头.2. 如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ．设A θ∠=．则：（1）求1A ∠的度数；（2）n A ∠的度数．【核思点拨】据角平分线的定义可得1111,22A BC ABC ACD ACD ∠=∠∠=∠，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACD A ABC ∠=∠+∠，111ACD A BC A ∠=∠+∠，整理即可求出1A ∠的度数，同理求出2A ∠，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解． 【解题过程】证明：∵1A B 是ABC ∠的平分线，1A C 是ACD ∠的平分线， ∴112A BC ABC ∠=∠，112ACD ACD ∠=∠， 又∵ACD A ABC ∠=∠+∠，111ACD A BC A ∠=∠+∠， ∴111()22A ABC ABC A ∠+∠=∠+∠， ∴112A A ∠=∠， ∵A β∠=， ∴12A β∠=； 同理可得∴2n n A β∠=．。

为什么要证明【教学目标】1．知识与技能目标：经历观察、验证、归纳等过程，使学生对之前用这些方法所得的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性。

2．过程和方法目标：体会、检验数学结论常用的方法：实验验证、举反例验证、计算、推理等，发展学生推理能力。

3．情感与价值目标：通过积极参与，理解数学的严谨性，使学生关注现实，进行深入思考的能力，并培养他们的质疑精神。

【教学重难点】1．理解判断一个结论是否正确需要进行证明。

2．理解数学证明的重要性。

会运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否。

【教学过程】一、激疑引入设置两个问题：1．俗话说“耳听为虚，眼见为实”，你是怎样理解的？2．现实生活中，我们常用观察的方法来了解世界。

数学学习中，我们也用观察、实验、归纳的方法得出了很多结论，观察、实验、归纳的方法得到的结论一定正确吗？如果不是，那么，用什么方法说明它呢？结合学生的回答，引入课题。

二、问题探究1．活动一：（1）引导生观察并思考：图中两条线段a与b的长度相等吗？图中四边形是正方形吗？然后设法验证。

[用四幅图，激发学生的学习兴趣，同时让学生明白眼见未必为实，只有实践才能出真知的道理。

]2．活动二：在活动1的基础上，师问：所有的数学结论都可以用实验的方法来验证吗？[使生明确：毕竟是测量结果，测量有误差，难以令人信服，还需寻求更可信的方法。

造成悬念，从而进一步体现推理论证的必要性。

]3．活动三：把地球看成球形，假若用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大？能放进一粒草莓吗？能放进一个拳头吗？教师先用实物演示，然后学生交流。

引导学生实际算一算后，然后教师小结：间隙大约有0.16m，能放进一个草莓，也能放进一个拳头。

[此时学生进一步明确：要说明一个结论是否正确，光靠观察、猜测是不够的，必须经过有根有据的推理才行。

]三、课时小结1．通过本节课的学习，你知道了什么？2．你认为怎样才能判断一个结论成立？3．自我评价（包括本节课你还有哪些疑惑，你觉得你今天的学习怎么样以及今后的努力方向等内容）【板书设计】。

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7.1 为什么要证明班级：姓名：【学习目标】1．运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．2．经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心,从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．3．了解检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理论证等．学习重点：激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识。

学习难点：运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否。

【复习引入】1．图7—1中两条线段一样长吗？图7—2中的四边形是正方形吗？2．你能证明你的结论吗？【自主学习】1．如图7-3，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?（地球看成球形）能放进一个拳头吗？【探究学习】1．某学习小组发现，当n=0，1，2,3时，代数式n2—n+11的值都是质数，于是得到结论:对于所有自然数n， n2—n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．列表归纳为n0 1 234567891011…n2-n+111113172341536783101是否为质数结论：对于所有自然数n，n2—n+11的值_____________质数.2．如图7-4，在三角形ABC中,点D，E分别是AC，AB的中点，连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜，在设法验证你的猜想.你能肯定你的结论对所有的三角形都成立吗？与同伴进行交流。

第七章平行线的证明7.1为什么要证明、7.2定义与命题专题推理在实际中的应用1．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.”乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的祸( )A.甲B. 乙C.丙D.丁2．如图，在一条街道的两边各有1排房子，每排都有5间，如果标号为G的房子被涂成灰色，要求每一排中相邻的房子不能同色，两排中直接相对的房子也不能是同种颜色，则剩下的7间房子中有__________间的颜色不能被涂成灰色．3．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定满分40分，往下依次为30分、20分、10分和0分共五个评分等级．每个小组分别回答这五个方面的问题，现将A、B、C、D、E五个小组的部分得分列表如下：语文数学外语常识奥运总分名次A组180 lB组 2C组 3D组30 4E组40 20 5表中（1）每一竖行的得分均不相同（包括单科和总分），（2）C组有4个方面得分相同．求：B、C、D、E组的总分并填表进行检验．答案：1．D 【解析】 本题可分三种情况进行讨论：①若甲真，则乙假，丙真，丁真，这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符； ②若甲假，乙真，则丙假，丁真，这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；③若甲假，乙假，则丙真，丁假，这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件． 由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．故选D ．2．6 【解析】 第一排未涂颜色的三间房子，均与标号为G 的房子相邻，所以均不能被涂成灰色;第二排从左向右数，第一间房子与标号为G 的房子相对，所以不能被涂成灰色,第二、四间房子与标号为G 的房子相邻，所以不能被涂成灰色,只有第五间房子既不与标号为G 的房子相邻也不相对，可以被涂成灰色．所以剩下的7间房子中有6间的颜色不能被除数涂成灰色． 3．解：由表格知：E 组的总分总E ≥6O ．五个组的总分为：5×（1O +20+3O +40）=500（分）.若总E =7O ，又每一竖行得分不相同，则5组的总分之和≥70+8O +90+100+18O =520≥500， 矛盾， 总E =60． 同理，总D =7O 分．故总E =60分，总D =70分，总C =80分，总B =11O 分， 或总E =60分，总D =7O 分，总C =9O 分，总B =1OO 分． 填表对这两种情况分别给予检验（见下表）:语文 数学 外语 常识 奥运 总分 名次 A 组 30 4O 4O 4O 3O 18O 1 B 组 O 1O 30 3O 40 11O 2 C 组 2O 2O 20 O 20 80 3 D 组 1O 3O 10 1O 1O 7O 4 E 组 4OOO20O6O5语文数学外语常识奥运总分名次A组30 40 4O4O30 180 1 B组1O1O1O3O40 1OO 2 C组2O2O2O1O20 9O 3 D组0 3O3O O1O7O 4 E组40 O O20 0 60 5。