1概率统计大题综合
知识点总结
1.数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数
个，
中位数为中间两个数的平均数
（3）平均数：x
=x
1+x
2+⋯⋯+x
n
n，反映样本的平均水平
（4）方差：s2=(x
1−x
)2+(x
2−x
)2+⋯⋯(x
n−x
)2
n
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
s2越大，样本波动越大，越不稳定；s2越小，样本波动越小，越稳定；
（5）标准差：σ=s2，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值−最小值
2.求随机变量X的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
3.求随机变量的期望和方差的基本方法：
(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
(2)已知随机变量X的期望、方差，求aX+ba,b∈R
的期望与方差，利用期望和方差的性质
EaX+b
=aEX
+b，DaX+b
=a2DX
进行计算；
(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期
望和方差公式进行计算，若ξ~B(n,p),则Eξ=np，Dξ=np(1-p).
4.求解概率最大问题的关键是能够通过Pξ=k
≥Pξ=k+1
Pξ=k
≥Pξ=k-1
构造出不等关系，结合组合数公式求解结
果
5.线性回归分析解题方法：
(1)计算x
,y
,n
i=1x
i2,n
i=1x
iy
i的值；
(2)计算回归系数a
,b
；
(3)写出回归直线方程y
=b
x+a
.
线性回归直线方程为：y
=b
x+a
，b
=n
i=1
x
i−x
y
i−y
129
第四章 随机变量的数字特征
在前面两章中我们讨论了随机变量的概率分布，这是关于随机变量统计规律的一种完整描述，然而在实际问题中，确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.
§1 数学期望
1.1 数学期望的概念
在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.
例1.1 设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即
平均抗拉强度1(110120212531302135140)10
123211110120125130135140101010101010
126.
从上例可以看出，对于一个离散型随机变量X，其可能取值为12,,,nxxx，如果将这n个数相加后除n作为“均值”是不对的.因为X取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.
概率统计指标主要包括以下几种：
1. 平均值：平均值（The average value）有很多种，如：算术平均值、几何平均值、平方平均值，调和平均值，加权平均值等。 其中，算术平均值最为常见，其次是加权平均值。 算术平均值又称为均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标。适用于数值型数据，不适用于品质数据。
2. 中位数：数据集中，按照升序排列，处于数据集中间位置的数。
3. 众数：一组数据中出现次数最多的数值。
4. 方差：方差是每个数据与全体数据平均数之差的平方值的平均数。方差越大，说明随机变量取值越离散；方差越小，说明随机变量取值越集中。
5. 标准差：标准差是方差的算术平方根，能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。
6. 协方差：协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
7. 相关系数：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。相关系数的取值范围为[-1,1]。当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关；当r=0时，表示两个变量无线性关系。
8. 偏度：偏度是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，是统计数据分布非对称程度的数字特征。
9. 峰度：峰度是表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。直观看来，峰度反映了峰部的尖度。样本的峰度是和正态分布相比较而言统计量，如果峰度大于三，峰的形状比较尖，比正态分布峰要陡峭。反之亦然。
这些指标在概率统计中都有广泛的应用，可以根据具体的问题选择合适的指标进行分析。
第七章概率统计方法
3
2014年5月24日概率分布及数字特征；
样本与统计量；
参数估计法；
案例分析：足球门的危险区域问题；
案例分析：最优评卷问题。
1.
一维随机变量与分布函数一.概率分布与数字特征
随机变量：用数值表示的随机事件的函数。
分布函数：设
为一随机变量，对任意的实数x
有
函数
)()()(xPxPxF
称为随机变量
的分布函数。
对任意两个实数)(,
2121xxxx，则有
)()()(
1221xFxFxxP
42014年5月24日
如果随机变量
所有取值有限个或可列无穷个数
值，则这种随机变量为离散型随机变量。非离散型的随
机变量，则称为连续型的随机变量。
如果
为离散型随机变量，所有的取值为,2,1,kx
k，
则称,2,1,)(kpxP
kk
为随机变量
的分布列，其
相应的分布函数为
xxk
kpxF)(
。
52014年5月24日1.一维随机变量与分布函数
如果
为连续型随机变量，则分布函数
定义为
x
dxxfxF)()(
,
其中)(xf
为一个非负可积函数，称之为随机
变量
的分布密度，或密度函数。
62014年5月24日1.一维随机变量与分布函数
具有下列性质：
（1）0)(xf
； （2）1)(
dxxf
；
（3）dxxfaFbFbaPb
a)()()()(
；
（4）当)(xf为连续函数时有)()(xfxF
。
（1）数学期望设
为离散型随机变量，其分布列为
,2,1,)(kpxP
kk
，如果级数
1kkkpx
收敛，则称
1kkkpx
为随机变量
的数学期望，记为E
，即
1kkkpxE
。 2. 随机变量的数学期望与方差
72014年5月24日一.概率分布与数字特征
设
为连续型随机变量，其分布密度函数为
)(xf
，如果dxxfx
)(
收敛，则称dxxxf
)(
为随机变量
的数学期望，记为E
，即
dxxxfE
