第四章 随机变量的数字特征㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞- d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X kk k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为, 即2、两点分布的数学期望 设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为.3、二项分布的数学期望 设服从以为参数的二项分布，，则。
4、泊松分布的数学期望设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。
①常见的连续型随机变量的数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a<b),它的概率密度函数为:= 则=∴E(ξ)=(a+b)/2．即数学期望位于区间的中点．2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:(σ>0，- <μ<+ )则令得∴ E(ξ)=μ .3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为，则.(2) 随机变量的函数的数学期望设)(xgy=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量)(XgY=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数),(YXgZ=，有类似的公式：(){}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞．；（连续型）离散型－d)()()()(xxfxgxXxgXgY kkkPEE()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型 d d ,, ,,,y x y x f y x g y Y x X y x g Y X g Z i j j i j i P E E 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====如果级数(,)i j ijji g a b p ∑∑绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为 [(,)](,)i j ijjiE g X Y g a b p =∑∑； 特别地();()i ij j ijiijiE X a p E Y b p ==∑∑∑∑.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx +∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰； 特别地()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。
2、数学期望的性质(1) 对于任意常数c ，有c c =E ． 例E[E(X)]=E(X) (2) 对于任意常数λ，有X XE E λλ=．例：E(aX+b)=aE(X)+b(3) 对于任意m X X X ,,,21 ，有()m m X X X X X X E E E E +++=+++ 2121． (4) 如果m X X X ,,,21 相互独立，则()m m X X X X X X E E E E2121=．(注：相互独立有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立) ㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 1、方差的定义 称222)()(X X X X X E E E E D -=-=为随机变量X 的方差，称XD =σ为随机变量X 的标准差．随机变量X 的方差有如下计算公式：(){}()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎰∑∞∞-．；连续型离散型 )( d )( )( 22x x f X x x X X x X kk k E P E D (4.3) 2、常见分布的方差(1)两点分布设ξ～(0-1)，其概率分布为: P (ξ=1)=p ， P (ξ=0)=1-p =q (0<p <1) E (ξ)=p ，E (ξ2)=12×p +02×(1-p )=p ∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=p -p 2=p （1-p ）(2)二项分布设ξ～B (n ,p )， 其概率分布为:(k =0, 1, 2,…,n ) (0<p <1) E (ξ)=np ,(此处运用组合数公式 )==,(运用二项分布的数学期望公式知 )E (ξ2)=np (n -1)p +np ,∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=np (1-p )． (3)均匀分布设ξ～U [a , b ] ( a < b )，它的概率密度函数为:E (ξ)=(a +b )/2 ,.∴ D (ξ)=E (ξ2)-(E (ξ))2=(b -a )2/12. (4)正态分布设ξ～N (μ, σ2),它的概率密度函数为: (σ>0，-∞<μ<+∞) E (ξ)=μ(令t =(x -μ)/σ)=σ2 ∴ D (ξ)=σ2.(5)指数分布2、方差的性质 (1)0≥X D ，并且0=X D 当且仅当X（以概率１）为常数；(2) 对于任意实数λ，有XXD D 2λλ=；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用）(3) 若m X X X ,,,21 两两独立或两两不相关，则()m m X X X X X X D D D D +++=+++ 2121．（4）D(X)≥0，D(X)=0的充要条件是P ｛X=E （X ）｝=1或者P{X=C}=1. (5)设X 是一个随机变量，c 是常数，则D(X+c)=D(X).例：D (k ξ+c )= k 2D (ξ)； ㈢ 切比雪夫不等式我们知道方差)(X D 是用来描述随机变量X 的取值在其数学期望)(X E 附近的离散程度的，因此，对任意的正数ε，事件ε≥-)(X E X 发生的概率应该与)(X D 有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。
定理1 设随机变量X 的数学期望)(X E 与方差)(X D 存在 ，则对于任意正数ε，不等式 2)(])([ εεX D X E X P ≤≥- （1） 或 2)(1])([ εεX D X E X P -≥<- （2）都成立。
不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。
切比雪夫不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下，只利用X 的数学期望和方差即可对X 的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。
例1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在9400~5200之间的概率。
解 设X 表示每毫升血液中含白细胞个数，则700)()(,7300)(===X D X X E σ而}2100|7300{|1}2100|7300{|}94005200{≥--=≤-=≤≤X P X P X P又912100700}2100|7300{|22=≤≥-X P 所以98}94005200{≥≤≤X P ㈢ 协方差和相关系数考虑二维随机向量),(Y X ，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及X 和Y 的联合数字特征——协方差和相关系数．1、协方差和相关系数的定义(1) 协方差 随机变量X 和Y 的协方差定义为Y X XY Y Y X X Y X E E E E E E -=--=))((),cov(，其中{}()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型 d d , , y x y x xyf y Y x X y x XY i jj i j i P E (2) 相关系数 随机变量X 和Y 的相关系数定义为()y x Y X XY YX Y X σσρE E E D D -==,cov ．2、协方差的性质 设随机变量X 和Y 的方差存在，则它们的协方差也存在． (1) 若X 和Y 独立，则0),cov(=Y X ；对于任意常数c ，有0),cov(=c X ．(2)),cov(),cov(X Y Y X =．(3) 对于任意实数a 和b ，有),cov(),cov(Y X ab bY aX =．(4) 对于任意随机变量Z Y X ,,，有．，),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov(Z X Y X Z Y X Z Y Z X Z Y X +=++=+(5) 对于任意X 和Y ，有()Y X Y X D D ≤,cov ．（等号成立，且当仅当存在常数啊，a ，b 使P{Y=a+bX}=1成立）(6) 对于任意X 和Y ，有),cov(2)(Y X Y X Y X±+=±D D D ．3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用．设ρ——X 和Y 的相关系数，,,,,222121Y X Y X D D E E ====σσμμ(1)11≤≤-ρ．(2) 若X 和Y 相互独立，则ρ=0；但是，当ρ=0时X 和Y 却未必独立． (3)1=ρ的充分必要条件是X 和Y （以概率１）互为线性函数．(4)对随机变量x ，y ，下列事件等价： ①cov （X,Y ）=0;②X 和Y 不相关；③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y)三条性质说明，随着变量X 和Y 之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值ρ从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量．4、随机变量的相关性 假设随机变量X 和Y 的相关系数ρ存在．若ρ= 0，则称X 和Y 不相关，否则称X 和Y 相关．(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2) 若X 和Y 的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价．㈣ 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布．概率统计中用矩描绘概率分布．常用的矩有两大类：原点矩和中心矩．数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩．1、原点矩 对任意实数0≥k ，称kk X E =α为随机变量Ｘ的k 阶原点矩，简称k 阶矩．XE 1=α．原点矩的计算公式为：{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰∑∞∞-．；连续型离散型 d )( )()( x x f x x X x X k i i k i kk P E α 一阶原点矩是数学期望()E X ； 2、中心矩 称()kkX X E E -=μ为随机变量Ｘ的k 阶中心矩．二阶中心矩是方差D(X)；3.混合中心矩随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为()klE X Y ；随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合中心矩定义为[(())(())]k lE X E X Y E Y --．(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y . （四）常用分布的数字特征9.1当X 服从二项分布(,)B n p 时， (),()(1)E X np D X np p ==-． 9.2 当X 服从泊松分布()p λ时， (),()E X D X λλ==，9.3 当X 服从区间(,)a b 上均匀分布时，2()(),()212a b b a E X D X +-==9.4 当X 服从参数为λ的指数分布时，211(),()E X D X λλ== 9.5 当X 服从正态分布2(,)N μσ时， 2(),()E X D X μσ==． 9.6 当(,)X Y 服从二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ时， 211(),()E X D X μσ==；222(),()E Y D Y μσ==；12cov(,),XY X Y ρσσρρ==三、典型例题及其分析例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望EX 和方差DX .【思路】 关键是求出X 的分布律，然后用定义计算EX .【解】 引入事件：{} i=1,2,3.i A i =第个部件需要调整根据题设，三部件需要调整的概率分别为()()()1230.10,0.20,0.30.P A P A P A ===由题设部件的状态相互独立，于是有 ()()()()()1231230 0.90.80.70.504.P X P A A A P A P A P A ====⨯⨯=()()12312312310.10.80.70.90.20.70.90.80.3 0.398P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()12312312320.10.20.70.10.80.30.90.20.3 0.092;P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=从而00.50410.39820.09230.0060.6,i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑22222200.50410.39820.09230.0060.820.i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑故()2220.8200.60.46.DX EX EX =-=-=【解毕】【技巧】 本题的关键是引入事件i A ，将X的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求X的分布.同时，方差的计算一般均通过公式()22DX EX EX =-来进行.例4.2.3 设X 是一随机变量，其概率密度为()1, 10,1, 01,0, x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.求DX .(1995年考研题) 【解】()()()()()()()011011222221110..11211 6EX xfx dx x x dx x x dx EXx fx dx x x dx x x dx x x dx+∞-∞-+∞-∞-==++-===++-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是()221.6DX EX EX =-= 【解毕】【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下()f x 的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，()f x 为偶函数，故()0.EX xf x dx +∞-∞==⎰同样DX 的计算也可直接简化.例4.2.4 已知连续型随机变量X 的密度函数为()221, -<x<+.xx f x -+-=∞∞求EX与DX . (1987年考研题)【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义. 【解】 （方法1）直接法.由数学期望与方差的定义知()()()()()()222211111 1.x x x x EX xf x dx xedx edx x edx edx +∞+∞+∞+∞-------∞+∞--===-==⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()22222212111.2x t t DX E X EX x f x dx x dxt ee dt +∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞=-=-=-==⎰⎰⎰⎰（方法2） 利用正态分布定义.由于期望为μ，方差为2σ()()222.x x μσ---∞<<+∞所以把()f x 变形为()()221212x fx eπ--⨯=易知,()fx 为11,2N ⎛⎫⎪⎝⎭的概率密度,因此有11,.2EX DX ==【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分2kxe dx +∞--∞⎰等.(2)若干计算公式的应用主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例4.2.5 设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求2EX .(1995年考研题) 【解】 由题意知()~10,0.4X B 于是100.44,EX =⨯=()100.410.4 2.4.DX =⨯⨯-=由()22DXEX EX =-可推知()2222.4418.4.EXDX EX =+=+=【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量X 的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么()1010221000.410.4kk k K EXk C -==-∑的计算是繁琐的.例4.2.6 设X 服从参数1λ=的指数分布，求()2X E X e -+.（1992年考研题）【解】 由题设知，X 的密度函数为(), 0,0, 0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 且1EX =，又因为()22201,3Xxx xEeef x dx e e dx +∞+∞-----∞===⎰⎰ 从而()22141.33X X E X e EX Ee --+=+=+= 【解毕】【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例 4.2.7 设二维随机变量(),X Y 在区域(){},:01,G x y x y x =<<<内服从均匀分布，求随机变量21Z X =+的方差.DZ【解】 由方差的性质得知()214DZ D X DX =+=又由于X 的边缘密度为()()1, 01,0, .2, 010, xX xdy x f x f x y dy x x +∞--∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩<<⎧=⎨⎩⎰⎰其他其他.于是()112200222212, 2,32121.2318EX x xdx EX x xdx DX EX EX ====⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 因此 ， 1244.189DZ DX ==⨯=【解毕】 【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求X 的期望于方差时，可以从X 的边缘密度函数出发，而不必从X 与Y 的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例4.2.8 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1的正态分布，而Y 服从标准正态分布，试求随机变量23ZX Y =-+的概率密度函数.（1989年考研题）【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z 作为,X Y的线性组合也服从正态分布.故只需求EZ 和DZ ，则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，()()~1,2,~0,1X N Y N .从而由期望和方差的性质得2235,29.EZ EX EY DZ DX DY =-+==+=又因Z 是,X Y 的线性函数，且,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知()~5,9ZN ，于是，Z 的概率密度为()()2529, .z Zf z z --⨯=-∞<<+∞ 【解毕】【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例4.2.9 假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量0, ,1, .kY k X Y k ≤⎧=⎨>⎩若若()1,2k =（1） 求1X 和2X 的联合概率分布；（2） 求()12EX X +.【解】 显然，Y 的分布函数为 ()1, 0,0, 0.ye y F y y -⎧->=⎨≤⎩10, 11 1.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 20, 212.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 （1）()12X X +有四个可能取值：()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,且()()()()()()()()()()()()()()121121212120,01,21 11,0,11,20,1,01,212 21,1,11,22 P X X P Y Y P Y F e P X X P Y Y P X X P Y Y P Y F F e e P X X P Y Y P Y --===≤≤=≤==-===≤>====>≤=<≤=-=-===>>=>()2 12.F e -=-= 于是得到1X 和2X 的联合分布律为（3） 显然，12,X X 的分布律分别为1X 0 1 2X 0 1P 11e -- 1e - P 21e -- 2e -因此 1212,.EX e EX e --==故()121212.E X X EX EX e e --+=+=+ 【解毕】【技巧】 本题中若不要求求X 与Y 的联合分布律，也可直接求出()12E X X +，这是因为()()()1111011.EX P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=而 222,EX PY e -=>= 因此()121212.E X X EX EX e e --+=+=+不仅如此，我们还能求12,X X 其他函数的期望.例如求()12E X X ，此时，由于121, 2,0 .Y X X >⎧=⎨⎩若，其他故()()()()21212022.E X X P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=例4.2.10 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，其密度函数为()()22121,2x y f x y e π-+=求随机变量Z =的期望和方差.【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算. 【解】由于Z=，故()222,1 .2x y EZ Ef x y dxdydxdy π+∞-∞-∞+∞+--∞-∞===⎰⎰⎰⎰令cos ,sin .x r y r θθ=⎧⎨=⎩，则22222222000211222 |r r r r EZ d rer re e dr edr πθπππ+∞+∞---+∞+∞-⎡⎤==-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰而()()()2222222222222212122 2.xy r r EZ E X Y xy edxdyd rerdr redrππθπ++∞+∞--∞-∞+∞+∞--=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰故()222.2DZ EZ EZ π=-=-【解毕】【技巧】 本题也可先求出Z 的密度函数，再来求Z 的期望与方差，但由于求Z 的密度本身就是一繁琐的工作，因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道Z 的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者(),X Y 为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解.例4.3.4 已知随机变量X 与Y 分别服从正态分布()21,3N 和()20,4N ，且X与Y 的相关系数12XYρ=-，设,32X YZ =+求： （1）Z 的数学期望EZ 和方差DZ ； （2）X 与Z 的相关系数XZ ρ；（2） 问X 与Z 是否相互独立？为什么?（1994年考研题）【解】 （1）由数学期望的运算性质有111.32323X Y EZ E EX EY ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭由()()2,DX Y DX DY Cov X Y +=++有()2211112,32323211112,3232111 943 142 3.XY X Y DZ D D X D Y Cov X Y DX DY Cov X Y DX DY DX DYρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⨯⨯=++=+-= （2）因为()()()2,,3211,,321132111 3340,322XY X Y Cov X Z Cov X Cov X X Cov X Y DX DX DYρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+=+⎛⎫=⨯+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭所以,0.XZ DXDZρ==（3）因,X Y 均为正态，故,X Y的线性组合Z 也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由0XZρ=知，X与Z 相互独立. 【解毕】【寓意】 本题考查的主要有两点，一是关于协方差，有性质()()()()(),,,,,Cov aX bY cU dV acCov X U adCov X V bcCov Y U bdCov Y V ++=+++另一点为：对于二正态变量X 与Y ，X 与Y 相互独立等价于0.XY ρ=综例4.4.3 设随机变量X 的概率密度为(), 02,, 24,0, .ax x f x cx b x <<⎧⎪=+≤≤⎨⎪⎩其他已知()32,13.4EXP X =<<=求：（1）常数,,;a b c （2）XEe . 【思路】 要确定三个常数,,,a b c 需三个条件，题设中已有两个条件，另一条件为()1,f x dx +∞-∞=⎰而X Ee 只需利用随机变量函数的期望计算公式即可.【解】 （1）由概率密度的性质知，有()()2421262.f x dx axdx cx b dx a c b +∞-∞==++=++⎰⎰⎰又因为()()24022356 6,83EX xf x dx x axdx x cx b dx a c b +∞-∞===++=++⎰⎰⎰而 ()()()323112313435.22P X f x dx axdx cx b dxa cb =<<==++=++⎰⎰⎰ 解方程 2621,85662,33353.224a cb ac b a c b ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩ 得111,4,4a b c ===- （2）()24242144111.424Xxxx x x Eee f x dx edx e dxe e +∞-∞⎛⎫==+- ⎪⎝⎭=-+⎰⎰⎰ 【解毕】。
