当前位置：文档之家 › 09考研高数上册(李正元)

09考研高数上册(李正元)

  • 格式：doc
  • 大小：2.35 MB
  • 文档页数：61

1 第一讲 极限、无穷小与连续性

一、知识网络图--

二、重点考核点

这部分的重点是：

①掌握求极限的各种方法． 1())nnxfx 2 ②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．

③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．

④复合函数、分段函数及函数记号的运算．

§1 极限的重要性质

1．不等式性质

设ByAxnnnnlimlim，，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn．

设ByAxnnnnlimlim，，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B．

作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设Axnnlim，且A＞0，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞0．设Axnnlim，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥0，则A≥0．

对各种函数极限有类似的性质．例如：设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，，且A＞B，则存在δ＞0，使得当00󰀀

2．有界或局部有界性性质

设Axnnlim，则数列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n = 1，2，3，„）．

设，Axfxx)(lim0则函数f（x）在x = x0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论．

§2 求极限的方法

1．极限的四则运算法则及其推广 设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，，则

；BAxgxfxx)]()([lim0 ；ABxgxfxx)()(lim0．)0()()(lim0BBAxgxfxx

只要设)(glim)(lim00xxfxxxx，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“00”，“”，“0²∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设Bxxfxxxx)(glim)(lim00，，则)]()([lim0xgxfxx.)()(lim0xgxfxx（()0gx）又B≠0，则)]()([lim0xgxfxx．2°设)(lim0xfxx，当x→x0时()gx局部有界，（即0,0M，使得00xx时()gxM）， 3 则 )]()([lim0xgxfxx．

设)(lim0xfxx，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即δ＞0，b＞0使得0＜｜x － x0｜＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则 )]()([lim0xgxfxx．

3°设)(lim0xfxx，)(lim0xgxx，则)()(lim0xgxfxx，又δ＞0使得0＜｜x －

x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则 )]()([lim0xgxfxx．

4°设0)(lim0xfxx，x→x0时g（x）局部有界，则0)()(lim0xgxfxx（无穷小量与有界变量之积为无穷小．）

2．幂指函数的极限及其推广

设．AxfBxgAxfBxgxxxxxx)()(lim)(lim＞0)(lim000则，

000lim()ln()()()ln()ln(lim()lim)xxgxfxgxgxfxBABxxxxfxeeeA

只要设00lim()lim()xxxxfxgx，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下)(ln)(lim0xfxgxx是“0²∞”型未定式．

1°设)(lim0xfxx = 0（0＜｜x－0x｜＜δ时f（x）＞0），0)(lim0Bxgxx，则

0()0(0)lim()(0)gxxxBfxB

2°设)(lim0xfxx = A＞0，A≠1，)(lim0xgxx = + ∞，则

0()0(0<1)lim()(1)gxxxAfxA

3°设)(lim0xfxx = + ∞，0)(lim0Bxgxx，则

＞0)()＜0(0)(lim)(0BBxfxgxx

【例1】 设．，则，又________)(lim0)(glim)()(lim000xfxAxgxfxxxxxx

【分析】 ．＝00))()()((lim)(lim00Axgxgxfxfxxxx 4 【例2】设｛an｝，｛bn｝，｛cn｝均为非负数列，且，，，nnnnnncbalim1lim0lim则必有

（A）an＜bn对任意n成立． （B）bn＜cn对任意n成立．

（C）极限nnncalim不存在． （D）nnncblim不存在．

用相消法求00或型极限

【例1】求)cos1(sin1tan1lim0xxxxIx

【解】作恒等变形，分子、分母同乘得xxsin1tan1

0tansinlim(1cos)1tan1sinxxxIxxxx

xxxxxxxxsin1tan11lim)cos1()cos1(tanlim00

21211．

【例2】求22411limsinxxxxIxx

【解】作恒等变形，分子、分母同除)0＜(2xxx得

202111414010lim1sin101xxxxIxx

5 利用洛必达法则求极限

【例1】设f（x）在x = 0有连续导数，又

2)(sinlim20xxfxxIx

求(0)(0)ff与．

【例2】求)1ln()cos1(1cossin2lim20xxxxxx．

【例3】求xxIxxe)1(lim10．

【例4】求xxIxxxsineelimsin0．

6 【例5】若306sin()lim0xxxfxx，则__________)(6lim20xxfx．

【例6】求)1ln(0)(tanlimxxxI．

【例7】设＞0，≠0为常数且122lim[()]aaaxIxxx，则（，） = __________．

【分析】∞－∞型极限．

210121)1(lim1t]1)[(1limttxxxIaataax

ttataaaat2)1(1lim1110

)2＜＜0()2(21)＞2(0)1(21lim2110aaattaaat

因此（，） = )212(，．

分别求左、右极限的情形，分别求nnnnxx212limlim与的情形

【例1】设||sine1e2)(41xxxfxx，求0lim()xfx．

7 【例2】求nnnIn)1(1lim

利用函数极限求数列极限

【例1】 求)1＞(limaanInn．

【例2】求21lim(tan)nnInn．

【解1】)11tan(11tan12)11tan(1limnnnnnnnnI

转化为求2230021tan11tan11tanlim(tan1)limlimlim1nnxxnxxxnxnnnxxn

123201cos1lime33xxIx

【解2】用求指数型极限的一般方法．

nnnnI11tanln2elim

转化为求

2021tantan1lnlimlnlim1nxnxxnxn

201tanlimxxxx（等价无穷小因子替换），余下同前． 8 §3 无穷小和它的阶

1．无穷小、极限、无穷大及其联系

（1）无穷小与无穷大的定义

（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系

0lim()()()xxfxAfxAx

其中00lim()0(()(1)).xxxfxAoxx，

o（1）表示无穷小量．

在同一个极限过程中，u是无穷小量（u≠0）u1是无穷大量．反之若u是无穷大量，则u1是无穷小量．

2．无穷小阶的概念

（1）定义 同一极限过程中，（x），（x）为无穷小，

设 0()()1()()()lim()~()()()0()()()(())()lxxlxxxlxxxlxxxox为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程

定义 设在同一极限过程中（x），（x）均为无穷小，（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数l使得0)()(limlxxk 称（x）是（x）的k阶无穷小，特别有0)()(lim00lxxxkxx，称x→x0时（x）是（x－x0）的k阶无穷小．

（2）重要的等价无穷小

x→0时 sinx ~ x，tanx ~ x，㏑（1 + x） ~ x，ex－1 ~ x； ax－1 ~ xlna，arcsinx ~ x，

arctanx ~ x；（1 + x）a―1 ~ ax，1―cosx ~ 221x．

（3）等价无穷小的重要性质

在同一个极限过程中

1°若 ~ ， ~  ~ ．

2°  ~  =  + o（）

3°在求“00”型与“0²∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换

【例1】 求13cos21lim30xxxxI．

合集下载

2014年经济金融学考研复习规划

2014年经济金融学考研复习规划

官方网址 北大、人大、中财、北外教授创办 集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军 2014年经济金融学考研复习规划 复习 进度 时间 内容 准备 阶段 3012年11月 -2013年4月 搜集考研信息，确定考研目标，听考研形势的讲座。考研应如何选择专业，全面了解所报专业的信息，准备复习。 具体来讲： 1.确定考研报考院校的情况 北大经院和ccer，以及对外经贸，中财，人大考试的参考书有很大相似性。招生人数的话，中财和贸大是最多的，人大其次，北大最少。 2．数学复习指导攻略 加强数学的复习，一般来说，以上这些院校经济类的一般考数三。 而且，经济类的参考书对数学要求也比较高。 数学参考用书： 同济：高等数学 清华：线性代数 浙大：概率论 华工教材：微积分、线性代数、概率论 参考资料： 前期（2013年7月份前）：陈文登的数学复习指南（高数部分） 李永乐、李正元的数学复习全书（线代部分和概率部分） 中期（2013年8-10月）：二李的线性代数讲义，660题。 后期（2013年11-12月）：二李的真题，440题，超越135，陈文登的模拟考场15套。 育明教育提示： （1）前期基础一定要打好，先把课本好好看熟。 （2）中期一定要多做题，多动笔，往往只有你亲手做了，才能真正把握到每一道题的精髓 （3）后期多模拟考场环境，按照考试要求去做模拟题。这样才能真正锻炼自己的解题破题以及计算的速度。

官方网址 北大、人大、中财、北外教授创办 集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军 3．政治复习指导攻略 复习参考书：大纲、大纲解析 复习参考资料：10年真题及其解析 如果政治感觉自己不是很有把握：建议从5月份开始复习 从历年大纲解析入手，大概浏览一遍。 育明教育5月份会有串讲班，由清华大学、人大政治辅导名师授课。历年辅导最好成绩考研政治91分。 4．英语复习指导攻略 复习参考书：真题及其解析，尽量选择两个以上版本 育明教育提示： （1）英语从单词入手，要一直不放松。育明教育考研英语辅导老师的建议是“反复，快速，多次”。即一个单词要反复看，每次记单词要快速多看，每天要多看几次。这符合人的记忆规律。 （2）2012年10月-2013年5月前，攻单词，只要记住单词意思即可，不需要要求自己拼写。同时开始研究96年-01年考研真题。通过研究真题，加强单词记忆，通过单词记忆，增加对考研文章的阅读。 （3）考研英语，不应该做太多的模拟题，因为模拟题的质量比较一般，出题思路和考研英语相去甚远。育明教育咨询师认为，还是要以“真题为纲”。 育明教育5月份会有英语基础班，由历年考研英语阅卷老师授课，辅导效果显著。历年考研英语辅导最好成绩87分。 （4）重视主观题的复习。考研英语有40分的主观题，一般考生的成绩在20分左右（翻译5分，小作文5分，大作文10分），育明教育学员的平均成绩在30以上。每年10月，12月份，会有考研作文，翻译辅导班，由历年考研英语阅卷老师授课，直击考研主观题答题技巧和考研普遍存在的问题。 4．考研专业课复习指导攻略 参考书：一般高校都会指定参考书。 参考资料：《育明教育考研专业课新攻略》，含历年真题，答案解析，重点总结，课件，重点热点总结，复习指导，答题技巧指导等。 育明教育咨询师认为，如果跨专业考研，一定要在2013年5月份前着手准备，最迟不能够

2020-2021中央民族大学理学院025200应用统计考研招生人数、考试科目、参考书目、考研真题、考研经验

2020-2021中央民族大学理学院025200应用统计考研招生人数、考试科目、参考书目、考研真题、考研经验

2020-2021中央民族大学理学院025200应用统计考研

招生人数、考试科目、参考书目、考研真题、考研经

验

招生人数、考试科目025200应用

统计不区分研

究方向①101思想政治理论②204英语二③

303数学三④432统计学18不招收同等学力考生、

双少生

新祥旭推荐参考书目

1.贾俊平、何晓群、金勇进，《统计学(第六版)》，中国人民大学出版社，2015.

2.袁卫、庞皓、贾俊平、杨灿，《统计学(第四版)》，高等教育出版社，2014.

1.李永乐系列考研全书(大红皮，真题+660+复习全书)，应对往年考试还行，但是今年的题目计算量明显上去了，所以这本书力度就不够大了，不管2017题目是简单还是难，我想平时练计算量大的题目很有必要，以不变应万变免得考试心慌。真题的话这个系列的可以买吧，我感觉真题都差不多。

2.粉红皮北大燕园李正元数学三全书。还有配套最后400题。这个书比较推荐，二战的时候用的这本，难度比红色皮大，但是纸张比红色皮差点~总共刷了两遍，每遍都是做题，不是看题。真题只做了一次，然后把错题看了下。

3.数学习题集用的是张宇1000题，我感觉难度比考试要大，如果想做难题的同学可以购买。还比较值得一看吧。(高数十八讲之类的我都没有买，张宇的线代也不是特别好，据说是题型不新，张宇出名的还是他的高数吧~)

4.线性代数用的李永乐线性代数辅导讲义。这个书有多出名就不用说啦~不挂图片了应该大家都可以区分。我当时在网上找了视频，李永乐老先生上课是根据这本书的，然后听课看书，一共做了两遍吧。很推荐，里面的题目搞通透了基本上就没有问题啦。

5.陈文灯也有一本复习全书啦~15年版本是蓝色皮，不知道有没有换，这是我一战结束的时候朋友送的，我只做了高数和概率论部分，感觉比前两本难度都要大，有蛮多不会的，这个书我感觉不用购买。

6.概率论习题集我都没有买~就做了全书里面的部分所以给不了很多建议。

▶复习计划

我的数学复习计划：前期(6月底之前)看教材书(我认为不用特地去买同济版，网上找一找考纲，对应了解要考哪几块知识点然后看自己教材就可以啦~看教材书主要目的是熟悉知识点，对解题方法提升作用不大，课后习题可做可不做)，但是不要只看书不做题哦，可以用1000题，看完一章知识点做一章习题集巩固。然后这个时期我还看了张宇2012年的高数讲解视频(据说是最经典版)我觉得不错，有很多提升解题速度的思维方式。

2019年华南理工大学材料科学与工程(材料科学)考研经验贴

2019年华南理工大学材料科学与工程(材料科学)考研经验贴

新祥旭考研辅导班：

2019年华南理工大学材料科学与工程（材料科学）考研经验贴

文章比较长，废话就不多说了，直接上干货！希望对你有帮助！

一、学习方法

在考研的过程中，最重要的是找到适合自己的学习方法。我认为学习方法主要从以下三个方面不断改善：

1.优秀的老师：公共课主要是看网课来复习，老师的讲课对我们思维方式的影响很大，所以选择合适的课程至关重要。前期可以通过网课去找感觉。

2.好的伙伴：可以找和自己水平差距不大，目标院校也相近的考研伙伴，好的伙伴会产生积极的影响。前期建议一个人去学习，后期可以去找一个伙伴。

3.优秀的自己：总的来说考研是自己的事情，如果你想冲击名校，就要敢于承受常人所不能承受的压力。所以每天该付出多少心里还是应该有个数的。梦想注定是孤独的旅行，这句话绝不是说说而已，备考过程中希望你能无数次的感动自己。

二、学习效率

如何提高效率，有以下几点：

1.学习时长应该慢慢增加，考研更像是马拉松，前期发力过猛，容易后劲不足，平稳递进才是取胜之道。

2.要注意休息，不然效率会降低不少。

3.善于寻找自己的兴奋点，尽可能的调整自己的兴奋点，使之考新祥旭考研辅导班：

研时间相匹配。

三、公共课复习（复习方法有很多，在此只分享一下我的方法）

1.数学（二）：高数基础好的可以跟着张宇走，基础一般的建议跟着汤家凤老师从基础班开始，逐渐拔高。

2.政治：前期的复习可以试试任燕翔老师，我个人非常喜欢他的讲课方式。生动有趣，却又让人很容易理解，把政治讲活了。如果试听觉得不适合可以选择别的老师。最后背的时候一定要信任肖大大！

3.英语：基础不好，只求过线的同学，推荐一些老师的保命班和作文班。

8月份之前

专业课：一般是材科材科基跟热处理，两本书的差别不大，建议都看一遍，理解透

英语：每天可以背些单词，恋恋有词：全是考研词汇，新东方出的很不错

如果感觉自己的精力比较充沛，可以尝试着每天做一篇阅读理解，并认真的看完解析，解析的话建议看黄皮书（张健的）

【最新】【考研经验】人大应用统计学专硕(大数据分析方法)考研经验

【最新】【考研经验】人大应用统计学专硕(大数据分析方法)考研经验

【考研经验】人大应用统计学专硕（大数据分析方法）考研经验

人大应用统计学专硕（大数据分析方法）考研经验

先介绍一下我的基本情况，二战跨考中国人民大学应用统计专业，本科毕业于某211大学生物工程专业，首先我的分数并不像400+甚至420+那样的大神厉害，而且录取的排名其实也不是特别靠前，初试总分380+，政治 65+，英语 70+，数学 130+，专业课 115+。一战北理应统，突然决定考研后进入备考阶段已经十月份了，很遗憾没有过线；二战人大应统成功，感恩一切安排。这篇经验贴写给逐梦路上的学弟学妹，更写给自己。我深信年少时一腔孤勇的执着，将始终在我们跌跌撞撞的人生里熠熠生辉。

先说说我当初是怎么确定人大应用统计的，由于没有读博的打算，所以直接就选择了专硕，我想着研究生的院校要么综排要比本科的好，要么专排比本科好。所以最后就只有人大、北大、清华等为数不多的学校选择了。之后就是漫长的对比，到每个学校网站下载历年的录取名单，分数线等等。经过比较发现北大清华每年分数与人大差不多，但是招生名额却特别少。所以感觉特别冒险。而人大每年招生名额比较多，最关键的是人大应用统计有个大数据班我十分感兴趣，所以经过几番考量之后就决定报考人大。

人大专业课参考书目：

《统计学》贾俊平（第六版）及配套辅导书

《统计学》贾俊平（经管版）

何晓群《应用回归分析》（第四版）

王燕《应用时间序列》（第四版）

何晓群《多元统计分析》（第四版）

专业课我是报班学的，老师将我准备考研的过程分为三个阶段，暑假前(3-6 月) 、暑假(7-8 月)、暑假后(9-12 月)，我的专业课复习过程贯穿于全程，但是方法不同。9 月份之前，老师带着我将贾俊平老师的统计学看了两遍，9 月份之后开始陆续把回归，时序，多元三本书看完，此时脑中有一个初步的知识架构:专业课总共有八个专题，统计学独占前五个专题(数据图表展示以及度量、统计量与抽样分布，假设检验与参数估计，方差分析，列联分析)，回归，时序，多元分别是第六七八专题。但是我对八个专题的细节还不清楚，这时候老师建议我拿一个新本子，整理自己的专业课笔记，六七八专题作为重点，一至五专题则作为次要，写完了一个本子。 在这里我要特别感谢老师为我辅导专业课，由于专业课考试范围过于宏大，你很需要过来人指出考试重点以及考场感受！到了 11 月中旬，我已经将八个专题的笔记整理完全，之后就开始了整个复习过程中最重要的一环:默写。可以说之前你所做的全是铺垫工作，构架了知识体系，了解了各专题中常见的问题，但是我们还是需要在考场上写出大概 12 面 A4 纸的内容，八个题目，每个题目题干一两句话，答案全需要你牢牢记 在脑子里并且能完整默写出来!所以我的最后一个月全在不停的默写，对照笔记本，拿出白纸，直接默写出每个专题的常见问题答案，再对照自己的笔记本，做往年真题，默写出答案，默写默写再默写，再对照自己的笔记本，总之就是 默写以及围绕自己笔记本!就这样笔记本已经翻烂，笔芯不知写过多少，八个专题已经牢牢印入脑海，各种问题可以说是倒背如流了。上了考场，感觉全是老朋友，只恨不得自己能多长手，全部一顿默写，那种熟悉感觉大大增加了我的信心，学弟学妹们都知道 18 年专业课有 50 分证明题，相当于诈和，但是由于信心爆棚，思维打开，我还是做出来了近 30 分，做完卷子还剩 5 分钟，大汗淋漓，直呼痛快!