高二周考数学(理)8试题

2023-2024学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x −√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．93．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若DM →=13DD 1→，则MB →=（ ） A ．13AA 1→+AD →−AB →B ．−13AA 1→−AD →+AB →C ．−23AA 1→+AD →−AB →D ．23AA 1→−AD →+AB →4．已知向量a →2=3，b →=（2，0），|a →+b →|=1，则a →与b →的夹角等于（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为x ，方差为s 2，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为x ，方差为2，则下列判断正确的是（ ） A ．s 2＝2 B ．s 2＞2C ．s 2＜2D ．s 2与2的大小关系无法判断6．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，直线l ：x ﹣my +2m ＝0与圆C 相交于A 、B 两点，若圆C 上存在点P ，使得△ABP 为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．m =−43 B ．m =43 C ．m =−43或m ＝0D ．m =43或m ＝07．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点N 在以A 为球心半径为1的球面上，点M 在平面ABCD 内且C 1M 与平面ABCD 所成角为60°，则M ，N 两点间的最近距离是（ ） A ．2√2−2√33B ．2√2−2√33−1C ．2√3−1D ．2√3−2√28．第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别），若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（ ） A ．14B ．25C ．17D ．37二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

墨达哥州易旺市菲翔学校云天化二零二零—二零二壹高二数学上学期周练81.过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()11,,A x y ()22,B x y 〔12x x <〕两点，且9=AB ．〔1〕求该抛物线的方程；〔2〕O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，假设OB OA OC λ+=，求λ的值．2.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，sin 2sin a B A =.(Ⅰ)求B ； (Ⅱ)假设1cos A3=，求sinC 的值。

3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，12BC CD AD ==。

〔I 〕在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； 〔II 〕证明：平面PAB ⊥平面PBD 。

4.以下图是某3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该，并停留2天。

〔1〕求此人到达当日空气质量优良的概率〔2〕求此人在该停留期间只有1天空气重度污染的概率。

〔3〕由图判断从哪天开场连续三天的空气质量指数方差最大？〔结论不要求证明〕5.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，那么C 的离心率为〔〕〔A B 〕13〔C 〕12〔D 6.设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.假设|AF|=3|BF|，那么l 的方程为〔〕（A ） y=x-1或者y=-x+1〔B 〕〔X-1〕或者y=x-1〕〔C 〕x-1〕或者y=〔x-1〕〔D 〕y=2〔x-1〕或者y=2-〔x-1〕参考答案1.【思路点拨】〔1〕首先将直线方程与抛物线方程联立，可得12x x 与的和，再结合抛物线的定义可求出p 的值.〔2〕结合第一问所求，解出A,B 坐标，结合条件式解出C 点的坐标，将其代入抛物线方程可得λ的值. 【精讲精析】〔1〕直线AB 的方程是 所以4521px x =+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 从而抛物线方程是x y 82=.（2）由p=4，,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ，又x 1<x 2,从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A(1,22-),B(4,24).设3,3OC (x y )(1,==-+λ=)2422,41(λλ+-+，又因为3238x y =，即)221 ⎡⎤λ-=⎣⎦8〔41+λ〕，即14)12(2+=-λλ，解得02λ=λ=或.2.试题解析：〔Ⅰ〕解：在ABC ∆中，由BbA a sin sin =，可得A bB a sin sin =，又由A bB a sin 32sin =得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ，得6π=B；〔Ⅱ〕解：由31cos =A 得322sin =A ，那么)sin()](sin[sinB A B AC +=+-=π，所以)6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A 考点：同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 3.〔I 〕取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点.理由如下：因为AD∥BC,BC=12AD，所以BC∥AM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖∥AB.又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N,那么所找的点可以是直线MN上任意一点)〔II〕由，PA⊥AB,PA⊥CD,因为AD∥BC,BC=12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD.从而PA⊥BD.因为AD∥BC,BC=12 AD，所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.4.【解题指南】(1)(2)都是古典概型的概率计算问题,先列出根本领件空间所包含的根本领件及根本领件总数,再求出对应事件所包含的根本领件及根本领件总数,再求概率.(3)从图中找出哪三天的波动最大,那么方差也就最大.【解析】〔1〕此人到达的时间是从1日到13日，一共有13种情况。

2024-2025学年江西省高二上学期11月期中联考数学检测试题（北师大版）一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足（i 是虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）z ()1i i z +=z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量，的夹角为，，，则（ ）a b 120︒1a = 2b =a b -=r r A ．3B ．7C ．D ．373．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）10a =420ax y +-=250x y b -+=A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（）a b cA ．B ．{,,}a b a b a +-+{,,}a b a b b +-+ C ．D ．{,,}a b c a b c +++ {,,}a b a b c +-+ 5．已知，，定义为，两点的“镜像距()11,P x y ()22,Q x y ()()221212PQ d x y y x =-+-P Q 离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是()1,P m (),1Q n -224x y +=P Q （ ）A ．或B ．2或C ．2或4D ．或42213+2213+6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线22:12x C y +=F F l C ,A B 的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（ ）l 322AB =l y A ．1B ．－1C ．D ．2222-7．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是x 42sin sin 30x t x --<t （ ）A ．B ．(),2-∞-()2,-+∞C ．D ．(),2-∞()2,+∞8．已知偶函数的定义域为，，且，则()f x R ()()22f x f x +--=-()01f =（ ）()20251k f k ==∑A ．B ．C ．D ．2023-2024-2025-2026-二、多选题（本大题共3小题）9．设，对于直线，下列说法中正确的是（ ）R k ∈:10l x ky ++=A ．的斜率为l k-B ．在轴上的截距为－1l x C ．不可能平行于轴l y D ．与直线的距离是l 20x ky ++=211k +10．已知为坐标原点，，圆，则（ ）O θ∈R ()()22:cos sin 1C x y θθ-+-=A ．圆恒过坐标原点C OB ．圆与圆内切C 224x y +=C ．直线与圆相离()cos sin 0x y ααα+=∈R C D ．圆的圆心在单位圆上运动C 221x y +=11．点为抛物线上一点，为的焦点，为坐标原点，连接并延M 27:2E y x=-F E O MF 长交抛物线于点，且，则（ ）E N 7148MF =A ．的准线方程是E 74x =B ．点的坐标为或M (14,7)-(14,7)--C ．直线的方程是MN 81570x y ++=D ．1187MF NF +=三、填空题（本大题共3小题）12．设，是函数的零点，则的值为 ,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭()225309f x x x =-+()tan πϕ+.13．现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是 .14．过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的()4,6P --l x y A B OAB △最小值是，此时直线的方程是.l 四、解答题（本大题共5小题）15．阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知()0,1λλλ>≠，，动点满足.()2,0A -()4,0B P 12PA PB =(1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程；P (2)若点，求的最小值和最大值.()3,5Q -PQ16．记内角、、的对边分别为，，，已知，ABC V A B C a b c 32c b =.222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-=(1)求角的大小；B (2)若角为锐角，且的面积为，求的边长.B ABC V 33+c 17．已知直线与抛物线交于，两点，且线段:()l y x m m =-∈R 2:2(0)C x py p =>M N 的中点的横坐标为 1.MN P (1)试确定的值；p (2)若直线与椭圆有公共点，且抛物线的准线与此椭圆的一个交点是l 2221(0)5x y b b +=>C ，求的取值范围.053,4Q y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭m 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点，且2221(0)4x y b b -=>1F 2F P 直线与轴垂直.2PF x (1)证明：；2124PF PF b +=+(2)若的角平分线恰好过点，求的面积.12F PF ∠(1,0)D 12PF F 19．法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理.(1)求椭圆的蒙日圆方程；22:132x y E +=(2)对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日()2222:10x y C a b a b +=>>O C ()00,P x y C 圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是PM PN C M N MN .00221x x y ya b +=（i ）证明：平分切点弦；OP MN （ii ）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点S ，，证明.PM PN C T MN ST∥答案1．【正确答案】A【详解】由得，.在复平面内对应的点在第一象限.()1i i z +=()i 1i i11i 1i 222z -===++z 故选:A.2．【正确答案】D 【详解】，.22221212cos12047a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯︒+=r r r r r r 7a b -=故选：D.3．【正确答案】A【详解】当时，直线与直线中，，10a =10420x y +-=250x y b -+=1024(5)0⨯+⨯-=它们互相垂直，当直线与直线互相垂直时，，，420ax y +-=250x y b -+=()2450a +⨯-=10a =所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.10a =420ax y +-=250x yb -+=故选：A4．【正确答案】D 【详解】选项A ：，三个向量共面，()()2a a b b a=+--故不能作为空间的一个基底，故A 不符合题意；选项B ：，三个向量共面，()()2a b b a b ++-=故不能作为空间的一个基底，故B 不符合题意；选项C ：，三个向量共面，()a b c a b c ++=++故不能作为空间的一个基底，故C 不符合题意；选项D ：假设不能作为空间的一个基底，则共面，{,,}a b b a c +- ,,a b b a c +-存在，使得，,R x y ∈()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++则向量共面，与题意矛盾，故不共面，,,a b c ,,a b b a c +-因此可以作为空间的一个基底，故D 符合题意.故选：D.5．【正确答案】C【详解】由题意得，，3m =±3n =±有四种情形：7．【正确答案】B【详解】由原不等式得，sin t （1）时，，不等式成立，sin 0x =03>-（2）当时，sin 0x ≠2sin t >(f x令，则，其中，2sin x m =()()3f x h m m m ==-01m <≤因为在单调递增，所以，因此，()3h m m m =-(]0,1()()max 12h x h ==-2t >-综合（1）、（2）可知，实数的取值范围是.t ()2,-+∞故选：B.8．【正确答案】C 【详解】，又是偶函数，则，()()22f x f x +--=-()y f x =()()22f x f x --=+可得，令为，()()22f x f x ++=-x 2x +则，因此，所以周期为4.()()242f x f x +++=-()()4f x f x =+()f x 因为，所以.()()022f f +=-()23f =-又因为，所以.()()112f f -+=-()11f =-因为，所以.()()132f f +=-()31f =-于是，.()()()()12344f f f f +++=-()()()2025145062025202412025k f k f f ==-⨯+=-+=-∑故选：C.9．【正确答案】BD【详解】时，的斜率为，时，直线的斜率不存在，A 错.0k ≠l 1k -0k =l 在中，令，则.B 对.10x ky ++=0y =1x =-当时，直线，平行于轴，C 错.0k =:10l x +=y 与直线的距离是.D 对.l 20x ky ++=2212111k k -=++故选：BD.10．【正确答案】ABD 【详解】对于A ，满足，所以A 对.()0,0()()22:cos sin 1C x y θθ-+-=对于B ，两圆的圆心距是1，，所以B 对.121R r =-=-对于C ，圆的圆心到直线的距离C cos sin 0x y αα+=，所以C 错.()22cos cos sin sin cos 1cos sin d θαθαθααα+==-≤+对于D ，圆的圆心的坐标满足方程.所以D 对.C ()cos ,sin θθ221x y +=故选:ABD.11．【正确答案】BD【详解】由抛物线，则，即，27:2E y x =-722p =74p =所以，准线方程是，故A 错误；7,08F ⎛⎫- ⎪⎝⎭78x =设，则，(),M a b 272b a =-而，7714288p MF a a =-=-=则，，即，14a =-249b =7b =±所以点的坐标为或，故B 正确；M (14,7)-(14,7)--当点的坐标为时，M (14,7)-直线的的斜率为，MN 708715148MN MF k k -===--+此时直线的方程是，即；MN 87158y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭81570x y ++=当点的坐标为时，M (14,7)--直线的的斜率为，MN 708715148MN MF k k --===-+此时直线的方程是，即，故C 错误；MN 87158y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭81570x y -+=对于D ，可以使用结论，下面进行结论说明：112MF NF p+=设抛物线，焦点，()2:20E y px p =->,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭过焦点的直线与抛物线交于，,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭l E ()()1122,,,M x y N x y 显然直线的斜率不为，设直线的方程为，l 0l 2pmy x =+联立，得，222p my x y px ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩2220y mpy p +-=12．【正确答案】34-【详解】由22530x x -+3π⎛⎫因此“恰有一名女志愿者”的概率为.()123777745454515P A A A ++=++=故答案为.71514．【正确答案】 4832240x y ++=【详解】设，，其中，，则直线的方程为.A (a,0)()0,B b a 0b <l 1x ya b +=在直线上，.()4,6P -- l 461a b --∴+=又，即，.462412a b ab --=+≥96ab ≥1482ab ∴≥所以，()()114822OAB S a b ab =--=≥ 当且仅当时取等号，再结合解得，，，46a b --=461a b --+=8a =-12b =-所以面积的最小值为48，ABC V 此时直线的方程为，l 1812x y+=--即.32240x y ++=故答案为.48,32240x y ++=15．【正确答案】(1)2280x y x ++=(2)最小值是，最大值是.264-264+【详解】（1）设动点，则就是，(),P x y 12PA PB =()()22222124x y x y ++=-+即，整理得，.()()22224244x y x y ++=-+2280x y x ++=故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为.P 2280x y x ++=（2）就是，其半径是4，2280x y x ++=()22416x y ++=圆心是，.()4,0M -12526QM =+=显然在圆外，故的最小值是，最大值是.()3,5Q -PQ264-264+16．【正确答案】(1)或π3B =2π3B =(2)22（i ）设点是切点弦Q MN 当，都存在时，OQ k MN k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩平分切点弦.OP MN 当，有一个不存在时，显然成立.OQk MN k （ii ）显然线段是蒙日圆的直径，经过原点，所以，.ST ST O OS OP =QM QP =于是，，因此，故.OPS S ∠=∠OPS QMP ∠=∠S QMP ∠=∠MN ST ∥。

湖北省武汉市华中科技大学附属中学2022-2023学年高二（上）数学周测（8）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 3＜k 1＜k 22.某调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者的学历分布扇形图以及从事该行业岗位的人数分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；①该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；①该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 33.如图所示，已知三棱锥O ­ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且,,OA a OB b OC c ===，用,,a b c 表示MN ，则MN 等于A ．()12c a b --B ．()12a b c ++ C ．()12a b c -+ D ．()12b c a +- 4. 已知直线02534:=+-y x l ，直线023:=-y ax m 与直线l 平行，则直线l 与m 之间的距离为 A ．85B ．2C ．5D ．45. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是31，41，则 A. 两人都成功破译的概率为127 B. 两人都成功破译的概率为125 C. 密码被成功破译的概率为127 D. 密码被成功破译的概率为216．在直三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，则异面直线AB '与BC '所成角的余弦值为A ．14 B ．33 C ．12D ．557. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道①上绕月球飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道①绕月球飞行，最后在Q 点处变轨进入以F 为圆心的圆形轨道①绕月球飞行，设圆形轨道①的半径为R ，圆形轨道①的半径为r ，则下列结论中不正确的是A. 轨道①的焦距为R r -B. 若R 不变，r 越大，轨道①的短轴长越小C.轨道①的长轴长为R r +D. 若r 不变，R 越大，轨道①的离心率越大 8. 设集合}4),({2x y y x M -==,})4()3(),({222r y x y x N =-+-=（0>r ）.若N M 中有且只有一个元素，则r 所有取值组成的集合为A ．}41,17{B ．}4117{≤<r r C ．}3{}4117{ ≤<r r D ．}3{}4117{ ≤≤r r二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。