基本不等式基础入门篇
基本不等式：
()()2240a b ab a b +-=-≥ ()2
4a b a b ?+≥ 当a,b>0时，两边开方可得：
2a b ab +≥
2
a b +≥左边是两个正数的算数平均数，右边是两个正数的几何平均数。 故此不等式称之为：均值不等式，也叫基本不等式。
一正二定三相等：
一正：使用的对象a,b 必须是正数；
二定：和定积最大，积定和最小；
三相等：当且仅当a=b 时，取得最大（小）值。
常见的类型：
一、和积互化
积定
1.已知a,b>0，且ab=1,求a+b 的最小值；
2.已知a,b>0，且ab=2,求2a+b 的最小值；
3.已知a,b>0，且ab=1,求2a+3b 的最小值；
和定
1.已知a,b>0，且a+b=1，求ab 的最大值；
2.已知a,b>0，且2a+b=1，求ab的最大值；
3.已知a,b>0，且a+b=1，求2ab的最大值；
三、
1 t
t +型
1.当x>0时，求
1
x
x
+的最小值；
2.当x>0时，求
1
2x
x
+的最小值；
3.当x>1时，求
1
2
1
x
x
+
-
的最小值；
4.当x<1时，求
1
23
1
x
x
++
-
的最大值；
5.当x>0时，求
221
x x
x
-+
的最小值；（引申：高低次）
四、构造“齐次”（柯西不等式）
1.已知a,b>0，且1a b +=，求
11+a b
的最小值； 2. 已知a,b>0，且1a b +=，求21+a b
的最小值； 3. 已知a,b>0，且1a b +=，求11+2a b
的最小值； 4. 已知a,b>0，且2a b +=，求13+2a b
的最小值； 5. （提升）已知a,b>0，且2ab =，求22a ab
+的最小值； 6. （提升）已知1a b +=，求a b ab -的最小值；
基本不等式练习题及答案
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双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．
2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R
基本不等式专项基础练习 @ 1.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ） C.32 D.432 2.设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，则b a 1 1 +的最小值为（ ） D.41 3.若0>x ，则x x 2 +的最小值为 此时x 的值为( ) 若x<0则x x 2 +有最（ ）值为_______ 4.4.已知a,b 为正实数，且b a b a 1 1 ,12+=+则的最小值为（ ）
A ．24 B ．6 C ．3－22 D ．3+22 ； 5.若y x y x y x 21,14,0,0+=+>>则且的最小值为（ ） A ．9 B ．28 C ．249+ D ．24 6.已知，且满足，则xy 的最大值为_____ 7.已知232=+y x )0,0(>>y x ，则xy 的最小值是_____________。 8.已知,则函数的最小值为 ___________ 9若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 10 正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 11若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0
11解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0
基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 .
基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。
基本不等式知识点归纳
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基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+≤≤ 【注意】： a b 、 同向或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-; a b 、反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+; a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中 类似) 代数不等式： ,a b 同号或有 0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有 0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.) 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题)． 【拓展】:，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1． ②,,a b c R + ∈， b d a c <,则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈,1 112n n n n n +-< <--; ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈． 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1）函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; x a b ab 2-ab 2a b - o y
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2 b a a b +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab +≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设,,,,,,a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：
基本不等式 【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明. 2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一、基本不等式 1.对公式222a b ab +≥ 及2 a b +≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥ 和 2a b +≥ ①2b a a b +≥（,a b 同号）； ②2b a a b +≤-（,a b 异号）； ③2 0,0)112a b a b a b +≤≤>>+或22 2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 22 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤ ，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤. a + b 2 的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形 . 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22 a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.
得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >,a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则a b +≥a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2 a b +≤ ，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵2222()0a b ab a b +-=-≥， 当a b ≠时，2()0a b ->； 当a b =时，2()0a b -=. 所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释： 特别的，如果0a >，0b >,a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则a b +≥a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果0a >，0b >2 a b +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2 a b +≤的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2CD CA CB =?，即CD =这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释： 1.在数学中，我们称2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙
基本不等式基础练习
1．下列不等式正确的是 A ．212x x +≥-（ B 4(0)x ≥>C ）12x x +≥（D ）1sin 2()sin x x k x π+≥≠ 2．设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则 11a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ． 14 3．已知0,0x y >>，且131x y +=，则2x y +的最小值为（ ） A ．7+ B ． C ．7+ D ．14 4．已知M 是△ABC 内的一点，且32=?AC AB ，?=∠30BAC ，若△MBC, △ MCA 和△MAB 的面积分别y x ,,21，则 y x 41+的最小值是( )A.9 B.18 C.16 D.20 5．已知函数 2()(f x x b x a b =+-++是偶函数，则此函数的图象与 ｙ轴交点的纵坐标的最大值为 B.2 C.4 D.－2 6．若正实数,x y ，满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 __ 7．已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。 8．函数()120)2 f x x x x =-<<（1）（的最大值是 9． 在等比数列{}n a 中，0n a >，且1816a a ?=，则45a a +的最小值为 ______． 10．不等式4210x x a x +?+≥∈R 对一切恒成立，则a 的取值范围 是 。 11．已知AD 是ΔABC 的中线，若∠A=120°，2-=?，则||的最小值是
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋ c)·BC uuu r ·BA u u u r ＋c CA u u u r ·CB u u u r ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝AB u u u r ·CB u u u r 的最小值． 13．已知向量m ＝1sin ,2A ?? ?? ?与n ＝(3，sinA cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 14．在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且a= 12 c+bcosC. (1)求角B 的大小; (2)若S △ABC 求b 的最小值.
基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.
2.2基本不等式基础练习题 一、单选题 1．已知42 y x x =++，则y 的取值范围为（ ） A ．(,6][2,)-∞-?+∞B ．(,4][4,)-∞-+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞ D ．[2,)+∞ 2．已知0a >，0b >，且21a b +=，则11a b +的最小值为（ ） A ．3+ B ．3+ C ．3+ D ．3+3．已知实数x ，y 满足0x >，0y >，且1353y x x y + ++=，则3x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知0a >，那么42a a -+ 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 5．若对任意的(0,)x ∈+∞都有1x a x +≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(]2-∞， B ．()2-∞， C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞ 6．设0x >，则133y x x =-- 的最大值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3+ D ．0 7．若20x -<<则函数(2)y x x =-+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 8．下列不等式中，正确的是（ ） A ．a ＋4a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．x 2＋23x ≥ D 2a b +≥ 9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．2 a b a b +>> >B ．2a b a b +>>> C ．2a b a b +>>> D ．2a b a b +>>> 10．已知0,0a b >>，且 191a b +=，则ab 的最小值为（ ） A ．100 B ．81 C ．36 D ．9 11．已知正数m ,n 满足22100m n +=，则mn （ ）
基本不等式基础类型题复习 一：求下列函数的值域 1. y ＝x ＋1x (x>0) 2. y ＝x ＋1x 3. （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 3.y ＝3x 2＋12x 2 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42) 45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 6. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 7：设2 30<
基本不等式基础题型总结 一、直接法： ()01>+ =x x x y 求函数最小值. 【变式】()03221>+=x x x y 求函数最小值. 总结：两道题的解法完全一样，对于此类结构的题目，我们不用担心其系数是多少，左右会出定值.我们可以把这种类似的倒数结构称为“基本不等式结构”. 二、配凑法： 若1>x ，则函数()14-+ =x x x f 最小值为 . 【变式】已知45>x ，求函数5 4124-+-=x x y 的最小值. 三、换元法：此方法可以解决题型二中所有题目，尤其是变式3，可以把配凑的思路简单化.此方法适用于分式结构中分母稍复杂的情况. 已知1>x ，求函数1 532-++=x x x y 的最小值. 求函数2 y =的值域.（注意换元之后新元的取值范围，以及基本不等式应用过程中 “一正二定三等”的三条原则.）
四、代换法： 已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，求 y x 11+的最小值. 【变式1】已知0>x ，0>y ，且12=+y x ，求 y x 11+的最小值. 【变式2】已知0>x ，0>y ，且 191=+y x ，求y x +的最小值. 【变式3】（天津09年高考6）设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为 （ ） A 8 B 4 C 1 D 14 一类需要注意的问题：取等条件是否满足 有同学在用基本不等式做题时，做到出定值这一步时会非常欣喜，但往往由于忽略了取等条件而出问题. 下列不等式：①()1log 20log x x x +≥≥；②2sin 1sin ≥+A A （A 是三角形内角）；③()222x x x R -+≥∈；④()R x x x ∈≥+++2211 2122，其中恒成立的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ③④
基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab ≤2 2?? ? ??+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)．
(5)22?? ? ??+b a ≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R ). （6） b a a b b a b a 112 2222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤ a 3＋ b 3＋ c 3 3 ;(),,0a b c > (8) a ＋ b ＋ c 3 ≥3 abc ；(),,0a b c > 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ， a 2＋ b 2≥ . (2)求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ；或a 2＋b 2 为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 . 设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A.6 B.42 C.2 2 D.26 解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝3 2 时取等号，故选B. 若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )
双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2 ＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．
【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A
高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2 ．a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式：2 222 a b a b ab ++??≥≥≥ ?，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 问题（1（2例题 例题解析2 1212 x x x += ?=-时取等号。 变式：已知2x >-，则1 2 x x + +的最小值为。 解析：由题意可得()1 20,212 x x x +>+? =+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：
1 22112x x x x +=?+= ?=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0， x x 2 ＋3x ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意可得141x y +=，左边乘以141x y +=可得：14441y x x y y x ??? ?++ ??? ???? +=，化简可得： 1441144y y x x x y x y ??? ?++=+++ ??????? ，很明显44y x x y +中积为定值，根据积定和最小的法则可得：
424y x x y +≥=， 当且仅当2418 4x y x y x y =?==??=?时取等号。故而可得1444y x x y ??? ?++≥ ???????。不等式234y x m m + -＜有解，亦即2min 344y m m x ? ?->+= ?? ?，亦即2340m m -->，解得4m >或者1m <-，故而可得()(),14,m ∈-∞-?+∞。 4 x + 4x +2， 亦即问题例题仅当122b a a b =?=时取等号，化简后可得：ab =1 4 5 4 22a b ? =???=? 变式：若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为__________． 解析：将题干条件化简可得：()()lg 3lg 131x y x y xy x y ?=++?=++，由题意需要求解xy ，故而可知利用不等式x y +≥31xy x y -=+≥x y =时等号成立，化
基本不等式知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.
④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
高中数学基本不等式精选讲解及归纳
∵当x ＜2 3时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥x x 2382232-?-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-2 1时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值2 5-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. 图3-4-1 （1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值. 解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼的面积为S ，则S=xy. 方法一：由于2x +3y≥2y x 32?=2xy 6, ∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤2 27. 当且仅当2x=3y 时等号成立. 由???=+=,1832,22y x y x 解得???==. 3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9- 23y. ∵x ＞0,∴0＜y ＜6. S=xy=(9-23y)y=2 3 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0. ∴S≤2 3［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2y x 32?=2xy 6=24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立. 由? ??==,24,32xy y x 解得???==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小.
基本不等式基础入门篇 基本不等式： ()()2240a b ab a b +-=-≥ ()2 4a b a b ?+≥ 当a,b>0时，两边开方可得： 2a b ab +≥ 2 a b +≥左边是两个正数的算数平均数，右边是两个正数的几何平均数。 故此不等式称之为：均值不等式，也叫基本不等式。 一正二定三相等： 一正：使用的对象a,b 必须是正数； 二定：和定积最大，积定和最小； 三相等：当且仅当a=b 时，取得最大（小）值。 常见的类型： 一、和积互化 积定 1.已知a,b>0，且ab=1,求a+b 的最小值； 2.已知a,b>0，且ab=2,求2a+b 的最小值； 3.已知a,b>0，且ab=1,求2a+3b 的最小值； 和定 1.已知a,b>0，且a+b=1，求ab 的最大值；
2.已知a,b>0，且2a+b=1，求ab的最大值； 3.已知a,b>0，且a+b=1，求2ab的最大值； 三、 1 t t +型 1.当x>0时，求 1 x x +的最小值； 2.当x>0时，求 1 2x x +的最小值； 3.当x>1时，求 1 2 1 x x + - 的最小值； 4.当x<1时，求 1 23 1 x x ++ - 的最大值； 5.当x>0时，求 221 x x x -+ 的最小值；（引申：高低次）
四、构造“齐次”（柯西不等式） 1.已知a,b>0，且1a b +=，求 11+a b 的最小值； 2. 已知a,b>0，且1a b +=，求21+a b 的最小值； 3. 已知a,b>0，且1a b +=，求11+2a b 的最小值； 4. 已知a,b>0，且2a b +=，求13+2a b 的最小值； 5. （提升）已知a,b>0，且2ab =，求22a ab +的最小值； 6. （提升）已知1a b +=，求a b ab -的最小值；