2.2基本不等式基础练习题
一、单选题
1．已知42
y x x =++，则y 的取值范围为（ ） A ．(,6][2,)-∞-?+∞B ．(,4][4,)-∞-+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞
D ．[2,)+∞ 2．已知0a >，0b >，且21a b +=，则11a b
+的最小值为（ ）
A ．3+
B ．3+
C ．3+
D ．3+3．已知实数x ，y 满足0x >，0y >，且1353y x x y +
++=，则3x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
4．已知0a >，那么42a a -+
的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5
5．若对任意的(0,)x ∈+∞都有1x a x
+≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(]2-∞，
B ．()2-∞，
C ．(2,)+∞
D ．[2,)+∞ 6．设0x >，则133y x x =--
的最大值是（ ）
A ．3
B ．3-
C ．3+
D ．0 7．若20x -<<则函数(2)y x x =-+的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
8．下列不等式中，正确的是（ ）
A ．a ＋4a ≥4
B ．a 2＋b 2≥4ab
C ．x 2＋23x ≥
D 2a b +≥ 9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）
A ．2
a b a b +>>
>B ．2a b a b +>>>
C ．2a b a b +>>>
D ．2a b a b +>>> 10．已知0,0a b >>，且
191a b +=，则ab 的最小值为（ ） A ．100 B ．81
C ．36
D ．9 11．已知正数m ,n 满足22100m n +=，则mn （ ）
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．有最大值50
D ．有最小值50 12．设,0x y >，若115++
+=x y x y ，则x y +的最小值是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．已知0x >，当x =___________时，4x x
+的最小值为4. 14．若0a >,0b >,则222248a b ab a b
++++的最小值为__________. 15．已知1x >，且1x y -=，则1x y
+的最小值是______ 16．若0a >，0b >，且24a b +=，则ab 的最大值是______．
三、解答题
17．已知1y x x
=+. （1）已知x ＞0，求y 的最小值；
（2）已知x ＜0，求y 的最大值．
18．（1）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，求128a b +
的最小值． （2）已知,a b 是正数，且满足1a b +=，求14a b
+的最小值． 19．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ??++≥ ???
． 20．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值． 21．已知x 、y 都是正数，求证：
（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；
（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值
214
S . 22．已知x ，y 都是正数.求证： ()12y x x y
+≥；
()2()()()
223333 +++≥
x y x y x y x y
8.
参考答案
1．A
【分析】
分20x +>，20x +<两种情况讨论，分别利用基本不等式求范围，进而可得结论.
【详解】
44(2)222
y x x x x =+=++-++，
若20x +>，则4(2)42x x ++≥=+，2x =时等号成立；
若20x +<，则4(2)42x x ++≤-=-+，4x =-时等号成立 ∴y 的取值范围为(,6][2,)-∞-?+∞，
故选：A.
2．A
【分析】
利用换“1”法，展开后利用基本不等式求解即可.
【详解】
∵0a >，0b >，
∴11112(2)()123a b a b a b a b b a
+=++=+++≥+
当且仅当21,2a b =
=，等号成立，
所以最小值为3+，
故选：A .
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就
是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；
要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
3．A
由()33113533x y x y xy xy x y ??++=++= ???
+，利用基本不等式求出1xy 的取值范围， 即可求解.
【详解】 1353y x x y +++=， ()31135333x y x y x x y xy y ??++=++ ?∴=??
+， 令3x y t +=， 0,0x y >>，
3x y +≥∴，
当且仅当3x y =时取等号，可得2112xy t
≥， ()211112333x y t xy t ????++≥?+ ?∴ ?????
， 11253t t
∴≥+， 215360t t ∴-+≤，312t ∴≤≤，
∴3x y +的最小值为3.
故选：A
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4．B
4422a a a a
-+=+-，利用基本不等式即可求最值. 【详解】
因为0a >，
442222a a a a -+=+-≥=， 当且仅当4a a
=
，即2a =时等号成立， 故选：B
【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．A
【分析】 利用基本不等式，可求得1x x +
的最小值，即可求得答案. 【详解】
因为(0,)x ∈+∞，则12x x +
≥=， 当且仅当1x x
=，即x =1时等号成立， 所以2a ≤，
故选：A
6．B
【分析】 把所求的式子变形为13(3)y x x
=-+，由x 大于0，利用基本不等式求出13x x +的最小值，
即可求出y 的最大值．
【详解】
当0x >时，1323x x +
，
当且仅当13x x =，即x = 11333(3)323y x x x x
∴=--=-+-，
则y 的最大值为3-
故选：B
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
7．A
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为20x -<<，所以0x ->，20x +>，
所以2
2(2)12x x y x x -++??=-+≤= ???
， 当且仅当2x x -=+，即1x =-时等号成立，
故选：A
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．C
A. 令0a <判断；，
B.根据重要不等式判断；
C. 利用基本不等式判断；
D. 令1,2a b ==判断. 【详解】
A. 当0a <时， 44a a
+<，故错误； B. 因为a 2＋b 2≥2ab ，故错误；
C. 由基本不等式得x 2＋
23x
≥2x =
D. 当1,2a b ==2a b +<，故错误； 故选：C
9．C
【分析】
根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果.
【详解】
因为0a b >>，所以2
a b a +>b >，
又根据基本不等式可得，2
a b +>
所以2a b a b +>>>. 故选：C.
10．C
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【详解】
解：因为0,0a b >>，
所以191a b =+≥=19a b =，即2,18a b ==取等号， 所以36ab ≥，所以ab 的最小值为36，
故选：C
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，属于基础题
【分析】
根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
因为正数m ,n 满足22100m n +=，
又222m n mn +≥，则50mn ≤
，当且仅当m n ==
即mn 有最大值50，无最小值.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求积的最大值，属于基础题型.
12．A
【分析】
由,0x y >，可得：
211452x y x y x y x y x y x y x y xy x y x y ++=+++=++≥++=++++?? ???
，整理可得：2()5()40x y x y +-++≤，即可得解.
【详解】
由,0x y >，可得：
211452x y x y x y x y x y x y x y xy x y x y ++=+++=++≥++=++++?? ???
整理可得：2()5()40x y x y +-++≤，
解得14x y ≤+≤. 当且仅当12
x y ==时， x y +取得最小值为1.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用基本不等式的求最值，考查了运算能力，属于基础题.
13．2
【分析】
直接利用基本不等式即可得解.
【详解】
∵0x >，
∴44x x +≥=，当且仅当2x =时，4x x +的最小值为4. 故答案为：2.
14．8
【分析】 对原式化简，可得()22224882a b ab a b a b a b
+++=++++，再根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】 因为()()2
2228224882a b a b ab a b a b a b a b +++++==+++++ 又0a >，0b >，所以0a b +>，
所以()828a b a b ++≥=+; 当且仅当()82a b a b
+=
+时 ，即2a b +=时取等号. 故答案为：8.
【点睛】 本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.
15．3
【分析】
由题得0y >，再利用基本不等式求函数的最小值.
【详解】
由题得11,0x y y =+>∴>.
所以11111x y y y y y +=++=++≥， （当且仅当1y =时取等）
所以函数的最小值为3.
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．2
【分析】
由于a 、b 为正值，且2+a b 为定值4，因此可以运用基本不等式先求出进而求出ab 的最大值．
【详解】
解：∵0a >，0b >，24a b +=
∴42a b =+≥∴2ab ≤，当且仅当2a b =时取等号，即2a =，1b =时取等号
故答案为：2．
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
17．（1）2；（2）－2.
【分析】
（1）直接利用基本不等式求解即可
（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ??=--+
??-??，然后再利用基本不等式即可 【详解】
（1）因为x ＞0，所以12y x x =+
≥=，当且仅当1x x =，即x ＝1时等号成立． 所以y 的最小值为2.
（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()
12y x x ??=--+≤=-??-??，当且仅当1x x
-=-，即x ＝－1时等号成立． 所以y 的最大值为－2.
【点睛】 此题考查基本不等式的应用，属于基础题.
18．（1）
14；（2）9. 【分析】
（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出128a b +
的最小值； （2）将代数式+a b 与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求出14a b +的最小值． 【详解】
（1）360a b -+=，36a b ∴-=-
，
由基本不等式可得31122284
a a
b b -+=+≥===， 当且仅当336a b a b =-??-=-?，即当31
a b =-??=?时，等号成立，所以，128a b +的最小值为14； （2）由基本不等式可得
(
)14144559a b a b a b a b b a ??+=++=++≥= ???， 当且仅当410,0a b b a a b a b ?=??+=??>>??
，即当1323a b ?=????=??时，等号成立，所以，14a b +的最小值为9. 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题．
19．见解析
【分析】
()11a b a b ??++ ???
展开并运用基本不等式即可得证. 【详解】
()11224b a a b a b a b ??++=++≥+= ???，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
20．当32
x =
时，y 取得最大值494 【分析】
根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.
【详解】 ∵(2,5)x ∈-，∴20,50x x +>->，∴22549(2)(5)24x x y x x ++-??=+-= ???
． 当且仅当25x x +=-，即32x =
时，取等号．即当32
x =时，y 取得最大值494． 【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用基本不等式可证明出结论成立；
（2）利用基本不等式可证明出结论成立.
【详解】
因为x 、y 都是正数，所以
2
x y +≥
（1）当积xy 等于定值P 时，2x y +≥=x y +≥，
当且仅当x y =时，上式等号成立.于是，当x y =时，和x y +有最小值；
（2）当和x y +等于定值S 22x y S +≤
=，所以214
xy S ≤， 当且仅当x y =时，上式等号成立.于是，当x y =时，积xy 有最大值214S . 【点睛】
本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.
22．()1证明见解析；()2证明见解析.
【分析】
()1
运用基本不等式：a b +≥（当且仅当a b =时取得等号）
，即可求证； ()2运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.
【详解】
解：()1证明：由x ，y 都是正实数，可得
2y x x y +≥=（当且仅当x y =时取得等号）；
()
2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥?? ()23388xy xy x y =?=，
（当且仅当x y =时取得等号）. 【点睛】 本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.
基本不等式练习题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．
课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①x>－3；②xy≥1；③32
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1 x (x＞0)的值域为( )． A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b ab ≤2；③x2＋ 1 x2＋1 ≥1，其中正确的个 数是 ( )．A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )． B．1 C．2 D．4 4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )． A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1 t 的最小值为________． 考向一利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1 x ＋ 1 y 的最小值为________； (2)当x＞0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋ 1 x－1 的最小值为________． (2)已知0＜x＜2 5 ，则y＝2x－5x2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 考向二利用基本不等式证明不等式
【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc a ＋ ca b ＋ ab c ≥a＋b＋c. ． 【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 求证：1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0， x x2＋3x＋1 ≤a恒成立，则a的取值 范围是________． 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n 的关系是g(n)＝80 n＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为 f(n)万元． (1)求出f(n)的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元 【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋ 1 ab ＋ 1 a a－b 的最小值是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 双基自测
不等式练习题 一、 基本题型 1、若0x >，求31y x x =--的最大值。 2、若22l g l g 2o x o y +=，求14x y +的最大值。 3、若lg 2lg 42x y +=，且0,0x y >>，求lg lg x y +的最大值。 4、若0,0a b >>，且142a b +=，求ab 的最小值。 5、若1x >，求11 y x x =+-的最小值。 6、若302 x <<，求()32y x x =-的最大值。 7、若52x <，求1225 y x x =+-的最大值。 8、求2 y = 9、求4sin sin y x x =+在()0,x π∈上的最小值。 10、若0,0x y >>，且3xy x y =++，求xy 的范围。 11、求()2801 x y x x +=≥+的最值。 12、0,0x y >>，且21x y +=，求41x y +的最小值。 13、0t >，求241t t y t -+=的最小值。 二、选择题 1、,a b R ∈且0ab >，则下列不等式不正确的是（ ） .||A a b a b +>- .||||||B a b a b +<+ .||C a b ≤+ .2b a D a b +≥ 2、(),0,,1,22a b a b a b M ∈+∞+==+，则M 的整数部分是（ ） .1A .2B .3C .4D 3、(),0,x y ∈+∞且()19a x y x y ??++≥ ???恒成立，则正实数a 的最小值为()
.2A .4B .6C .8D 4、 0,0a b >>则11a b ++() .2A B .4C .5D 5、 ,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=11x y +的最大值为() .2A 3.2B .1C 1.2D 6、 ()()1210f x x x x =+-<，则()f x 有() .A 最大值 .B 最小值 .C 增函数 .D 减函数 7、函数()21log 511y x x x ??=++> ?-??的最小值为() .3A - .3B .4C .4D - 8、 0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为() .8A .4B .1C 1.4D 9、0,0,2a b a b ≥≥+=则() 1.2A a b ≤ 1.2B ab ≥ 2 2.2C a b +≥ 22.3D a b +≤ 10、若0,0x y >>且23x y +=则24x y +的最小值为() .A B C .4D 11、下列结论正确的是() 1 .01,l g 2 lg A x x x x >≠+≥当且 .2B x >≥ 1.22C x x ≥当时，+x 的最小值为 1.02,D x x x <<-无最大值
利用均值不等式求最值的方法 均值不等式a b ab a b +≥>>2 00(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04<
不等式基本性质练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） A ． 111<+ b a B ．111≥+b a C ． 211<+ b a D ． 211≥+b a 4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37- ，26- = c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 初中数学不等式试题及答案 A 卷 1．不等式2(x + 1) - 12 732-≤-x x 的解集为_____________。 2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和5 23x x -<的整解为______________。 3．如果不等式3 3131++>+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。 4．不等式2 2)(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。 5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。 6．关于x 的不等式组? ??<->+25332b x x 的解集为-1 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 集合、不等式测试卷 班级 姓名 得分 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 1、已知集},2|{N n n x x P ∈==，},4|{N n n x x T ∈==，则P T =U A. },4|{N n n x x ∈= B. },2|{N n n x x ∈= C. },|{N n n x x ∈= D. },4|{Z n n x x ∈= 2、01=-x 是012=-x 的 A ．充要条件 B. 必要而非充分条件 C ．充分而非必要条件 D. 既非充分也非必要条件] 3. 若a ＞b ＞0，c ∈R ，则下列不等式中不正确的是（ ） A . a ＞ b B . ab ＞b 2 C.a + c ＞b +c D. ac ＞bc 4. 已知集合{} 12≤-=x x A ，=B {}2>x x ，则=B A I A ．{}32≤ 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 初中数学不等式专题试题及答案 A 卷 1．不等式2(x + 1) - 12 732-≤-x x 的解集为_____________。 2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和5 23x x -<的整解为______________。 3．如果不等式33131++>+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。 4．不等式2 2)(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。 5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。 6．关于x 的不等式组? ??<->+25332b x x 的解集为-1 基本不等式测试题苏教 版必修 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 基本不等式测试题 A 组 一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若xy>0,则 x y y x +的最小值是 。 .提示： x y y x +≥y x =2. 2. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、 a 2＋ b 2 2 的大小关系是 。 ≤ a 2＋ b 2 2 。提示：平方作差，利用a 2+b 2≥2ab 可得。 3.若x ＋y ＝4，x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y 的最大值是 。 .提示：lg x ＋lg y =lg xy ≤lg(2 x y +)2 =lg4. 4.已知 12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 4. 121mn m n = +≥≥ 5.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ .提示： 6 = 22x y +≥2， ∴22x y ≤9 。 故2x y +的最大值是9，此时x=y=2log 3。 6 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物 的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处 .提示 由已知y 1= x 20 ；y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离)， 费用之和y =y 1+y 2=0 8x + x 20≥2x x 208.0?=8，当且仅当0 8x =x 20 即x =5时“=” 成立。 7.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。 7.[9,)+∞。提示：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ?-=+≥，即 230-≥13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12 --n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 基本不等式 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；② a ＋ b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ， ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． ` A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． * 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1 x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 》 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. * 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. } 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． [ 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低 # (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋ 1 a a －b 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 不等式基本性质练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)((b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） } A ． 11 1<+b a B ． 11 1≥+b a C ． 21 1<+b a D ． 21 1≥+b a 4．已知a 、 b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37-，26-= c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 } 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2 ，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P b 且a + b <0，则下列不等式成立的是 （ ） A ． 1>b a B ． 1≥b a C ． 1
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