基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案

基本不等式1．函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1 C．2 D．44．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．45．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1x－1的最小值为________．(2)已知0＜x＜25，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋cb ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低． 【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。

基本不等式及其应用一.小题回顾1.函数2294y x x =+的最小值为 ,此时x = . 2.当1a >时，11a a +-的最小值为 3.若33log log 4m n +=,则m n +的最小值为 .4.已知0x >,0y > ,且2520x y +=,那么lg lg x y +的最大值为 .5.已知正数x ,y 满足21x y +=,则11x y +的最小值为 .二．知识梳理1.当0a >,0b >时,称 为a ,b 的算术平均数;称 为a ,b 的几何平均数.2.如果a ,b 是正数，那么称 为基本不等式.（当且仅当时取“=”）3.基本不等式常见变形： .三．例题精析例1．（1）已知0x <，求函数2()2f x x x =++的最大值； （2）已知205x <<，求函数()(25)f x x x =-的最大值； （3）若,(0,)x y ∈+∞，且821x y +=，求x y +的最小值.例2．（1）求函数(5)(2)()1x x f x x ++=+(1)x >-的值域； （2）求函数21()(1)1x f x x x x -=>++的值域.例3．（1）若不等式220x kx k -->对任意1x >-的实数恒成立，求实数k 的取值范围；（2）设0k >，若关于x 的不等式151kx x +-≥对任意1+x ∈∞（，）恒成立，求实数k 的最小值.四．反思小结五．巩固训练1．函数312(0)y x x x=--<的最小值为 . 2.当312x <<时，函数(3)(12)x x y x--=的最大值为 .3.若实数a ,b 满足12a b +=，则ab 的最小值为 .4. 要制作一个容积为4 m 3、高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 元.5.用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物.已知木板的长为a ，宽为b ()a b >，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直，如何放置才能使这个空间最大？。

专题7.3 基本不等式及其应用学习目标1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.考点一 利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

基本不等式及其应用一、知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.二、基础演练1.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.2.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋2B.1＋3C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.3.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.三、典型例题与变式训练考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝⎛⎭⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝mn ，即m ＝4，n ＝2时等号成立.角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华 利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】 已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A.6B.62C.3D.32答案 A 解析 由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6， 当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用【例4】 (1) (多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝⎛⎭⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD.(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53(2) 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，求x ＋3y 的最小值.答案 (1)C解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.四、练习巩固 一、选择题1.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.42C.2D.22答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.2.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A.3B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.3.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1， ∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B.4.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( ) A.2 B.23C.4D.22答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.5.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2 B.22C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.6.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( )A.13B.1C.2D.59答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.二、填空题7.若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a ＝4时，等号成立.故2a ＋b 的最小值为8. 8.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.9.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.10.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.11.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 12.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。

1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________．答案 4解析 由log 2x ＋log 2y ＝1得xy ＝2，又x >y >0，所以x －y >0，x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝x －y ＋4x －y ≥2(x －y )·4x －y ＝4，当且仅当x －y ＝2，即x ＝1＋3，y ＝3－1时取等号，所以x 2＋y 2x －y的最小值为4.3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.答案 3解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 4．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5．(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案 (1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立．(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________．答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15)≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m ＝________.(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)4 (2)6解析 (1)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．答案 (1)9 (2)4解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc ＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________．答案 12解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 (1)32 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16， 所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6. 所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．题型三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．9．忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6. 解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y) ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋22 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m >0)的单调性． [失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．下列不等式一定成立的是________．①lg(x 2＋14)>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )； ③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ③解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)， 故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的__________条件． 答案 必要不充分解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0， 所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的必要不充分条件． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________． 答案 92解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b)·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号， 即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2014·重庆改编)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．答案 7＋4 3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0. 又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4b a时取等号． 5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 8解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0. ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x ＋x y＋4≥4＋4＝8. 6．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x的最小值为________． 答案 1 3解析 1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍去)．∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立． 7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为________．答案 2解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.8．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是________． 答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，所以最小值为6.9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3， 当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8. 11．(2015·南通二模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)12．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________． 答案 16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16.13．已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 [0，4a 1] 解析 因为m 2＋1m ＝m ＋1m≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)， 所以要使不等式恒成立，则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4，因为a 1>a 2>0， 所以⎩⎨⎧ 0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1， 所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]． 14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)． 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝4432，3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．。

第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mA m n=+（m 、n 为互不相等的正实数），242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（ ）A ．A B>B ．A B≥C ．A B<D ．A B≤【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a ，b ，c 满足22c b a a-=+-，2222c b a a a+=++，且0a >，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a>>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B．C．D ．a b+【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x +取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．13．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．24．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或36．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为28．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是.四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y+的最小值．13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【答案】A【解析】A 选项，2642a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，当a<0时，40a a+<，所以B 选项错误.C 选项，当0,0a b ><时，()20,02a b ab +<≥，所以C 选项错误.D 选项，当0,0a b <<时，0a b +<，a b +≥不成立，所以D 选项错误. 故选：A【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【解析】对于A ，当,a b 为负数时不成立，故A 错误，对于B ，()()22222()0a b a b a b +-+=-≥，则()()2222a b a b +≥+，故B 正确，对于C ，0ab >，则,b aa b 都为正数，2b a a b +≥，当且仅当b a ab=，即a b =时等号成立，故C 正确，对于D ，111224b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =和b aa b=同时成立，即1a b ==±时等号成立，故D 正确，故选：BCD 【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>【答案】AC【解析】由题意可知AB AC BC a b =+=+，2a bOA OB OD +===，因为90CBD CAD ADC ∠=-∠=∠ ，90ACD DCB ∠=∠= ，则Rt Rt ACD DCB ∽ ，所以，CD ACBC CD= ，即2CD AC BC ab =⋅=，所以CD =在Rt OCD △中，OD CD >，即)0,02a ba b +>>当OD AB ⊥时，O 、C 点重合，a b =，此时)0,02a ba b +=>>，则)0,02a ba b +≥>>，所以A 正确；对于C 选项，在Rt OCD △中，CE OD ⊥，则90DCE CDE DOC ∠=-∠=∠ ，又因为90DEC DCO ∠=∠= ，所以，Rt Rt DEC DCO ∽ ，可得CD DE DO CD=，即2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD DE >111a b >+，当a b =时，CD DE =111a b=+，()20,011a ba b>>+，所以C正确；由于22a b+在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mAm n=+（m、n为互不相等的正实数），242B x x=-+-，则A与B的大小关系是（）A．A B>B．A B≥C．A B<D．A B≤【答案】A【解析】m、n为互不相等的正实数，则m nn m≠，所以2n mAm n=+>=，2242(2)22B x x x=-+-=--+≤，=2x时，max2B=，所以A B>．故选：A．【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足22c b aa-=+-，2222c b a aa+=++，且0a>，则a，b，c的大小关系是（）A．b c a>>B．c b a>>C．a c b>>D．c a b>>【答案】B【解析】因为0a>，由基本不等式得22220c b aa-=+-≥=>，故c b>，因为2222c b a aa+=++，22c b aa-=+-，两式相减得，2222222222a a a aabaa++-=-+++=，故2112a ab+=+，所以220141151216ab aa a⎛⎫-⎪-+-+⎝=⎭=>，故b a>，所以c b a>>.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B ．C ．D ．a b+【答案】ABC【解析】由于170,139a b <<<<，则a b ¹，故a b +>222a b +>，则不可能是最大值，B ，C 符合题意；由于22221132)2()()428(a b a b a b ++=--+--，当170,139a b <<<<时，221112()2(0448a -<-=，22111()(1224b -<-=，故221131132((0428848a b -+--<+-=，即222a b a b +<+，故222a b +不可能是最大值，A 符合题意，故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+【答案】ABD【解析】对于选项A ，因为0a b >>，则20>，所以2a b+A 正确；因为0a b >>，所以0a b +>，0ab >，又2a b +>，得到01<<故22ab a ba b +<<+，所以选项B 和D 正确，对于选项C ，取2,1a b ==，满足0a b >>，但243322ab a ba b +=<=+，所以C 错误，故选：ABD.考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【解析】()32x x -()213234x x ⎡⎤≤⨯+-=⎣⎦，当且仅当2x x =-，即1x =取得等号，满足题意.故选：B.【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】A【解析】因为100x >>，故()10x x +-≥5，当且仅当5x =时，等号成立，所以2253≥-=-.故选：A.【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】因为()2222228T a b a b ab =++++≥++=，当且仅当1a b ==时取等号，所以T 的最小值为8.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【答案】B【解析】由正数x ，y 满足44x y +=，得111111419(4)()(5)5)4444y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时取等号，所以11x y +的最小值为94．故选：B【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19【答案】C【解析】因为a b ab +=且0a >，0b >，所以111a b+=，则()1192722799101016b a ab a b a a b b a b a b a b a b ⎛⎫-+=-++=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9111b aa ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即当4a =，43b =时，等号成立.因此，27ab a b -+的最小值是16.故选：C.考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）0,0,1a b a b >>+= ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当ba a b=，即12a b ==时等号成立.（2）0,0,1a b a b >>+= ，12212212()1111a b a b b a ab b a ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭21223434111()a b b a a b a b a b ⎛⎫=++++=++=+++ ⎪⎝⎭3434134888b a b a a b a b =++++=++≥+=+当且仅当34b a ba =时，即3,4ab ==-时等号成立.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为1a b +=，所以()222212a b a b ab ab +=+-=-，因为0a >，0b >，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以11121242ab -≥-⨯=，即2212a b +≥，故22221a b +≥；（2）因为1a b +=，所以()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为0a >，0b >，所以0b a>，90a b >，所以96b a a b +≥，当且仅当9b a a b =，即334b a ==时，等号成立，则91016b aa b ++≥，即1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c 均为正数，∴()()()0a b b c c a +++++≥>，当且仅当a b b c a c +=+=+，即a b c ==时，等号成立．1110a b b c a c ++≥>+++，当且仅当111a b b c a c==+++，即a b c ==时，等号成立．∴()11129a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥= ⎪+++⎝⎭，故()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由222()()()a b c a b b c a c ++=+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，即a b c ++≥.（2）由11111()(3)22a b c a b c a b c b c a c a ba b c a b c a a b b c c++++++++=⋅++=⋅++++++119(3(3222)222≥++=⋅+++=，当且仅当23a b c ===时等号成立，则11192a b c ++≥，得证.（3）由222222()()()()(2)()ax by bx ay ab x y xy a b ab xy xy a b ++=+++≥++2()xy a b xy =+=，当且仅当x y =时等号成立，不等式得证.考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】Dm ≥恒成立，即5m +≥恒成立.又559≥+=，当且仅当a b =时取等号.故实数m 的最大值为9.故选：D【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【答案】A【解析】由410x mxy +-≥，则41828912222x x x x y m xy xy xy y x++++≤===+()9111991542222222221x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++==+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当922x y y x =，即12x =，32y =时，等号成立.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【答案】B【解析】9x y xy +=，故911x y +=，()91910x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，0x >，0y >，故96x y y x +≥=，当且仅当9x y y x=，即12,4x y ==时取等号，故10616x y +≥+=，x y +最小值是16，由不等式a x y ≤+恒成立可得16a ≤.a 的取值范围是(],16-∞，故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13【答案】ACD【解析】因为0x >，所以21113153x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，由任意0x >，231xa x x ≤++恒成立， 所以15a ≥，符合条件有15，12，13，故A 、C 、D 对；11015<，故B 错；故选：ACD考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【答案】B【解析】如图，设AB x =，由矩形()ABCD AB AD >的周长为4，可知(2)AD x =-．设PC a =，则()DP x a =-．,90,APD CPB ADP CB P AD CB '''∠=∠∠=∠=︒= ，,Rt ADP Rt CB P AP PC a '∴∴== ≌．在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD DP AP +=，即222(2)()x x a a -+-=，解得222x x a x-+=，所以22x DP x a x-=-=．所以ADP △的面积11222(2)322x S AD DP x x x x -⎛⎫=⋅=-⋅=-+ ⎪⎝⎭．所以33S ≤-=-2x x =时，即当x =时，ADP △的面积最大，面积的最大值为3-B ．【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【答案】当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，为198400元．【解析】设池底的一边长为()m 0x x >，则另一边长为48001600m=m 3x x，总造价为y 元，则1600160016001003280160000480y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭160000480198400≥+⨯=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，最低为198400元．【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【答案】长为时总造价最低．【解析】设处理池的长和宽分别为x ，y ，高为h ，总造价为z ，则150xy =，(016,016)x y <≤<≤，(22)400224815080(8001296)120001200012000z x y h yh x y h =+⨯+⨯+⨯=++≥+=+，当且仅当8001296x y =，又150xy =，即16x =<，16y 时取到等号，故长为时总造价最低．【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．【解析】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F ，则BE ，2a AE DF ==，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=所以()2300a b a +=，则30022a b a =-，所用篱笆长为2l a b =+300222a a a =+-300322a a =+≥30=，当且仅当300322aa =，即()10m a =，()10mb =时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x+取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由题意可知，20x >，∴2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，即221x x+取最小值时x 的取值为1±．故选：B ．2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】由题意1x y +=≥，解得14≤xy ，等号成立当且仅当12x y ==.故选：B.3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．2【答案】C【解析】因为0x >，所以224y x x =+=≥，当且仅当22x x=，即1x =时等号成立，所以22y x x=+的最小值是4.故选：C.4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】正数a ，b 满足41a b +=，则11114()2244444)(b a a b a b a a b b +=+=≥++++，当且仅当44b aa b =，即142a b ==时取等号，所以当11,82a b ==时，114a b +取得最小值4.故选：C5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或3【答案】B【解析】由0x >，得244113x x x x x -+=+-≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，所以24-+x x x的最小值为3．故选：B.6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+【答案】D【解析】因为,AD a BD b ==，所以,22a b a b OF OC OD +-===，在Rt DOF △中，DF ==又CD AB ⊥，所以CD ===在Rt CDO △中，DE OC ⊥，故ED OC OD DC ⋅=⋅，得到22a bOD DC ED a b OC -⋅===+所以2abCE a b===+，所以CE DF ≤，即2ab a b +，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为2【答案】CD【解析】对于选项A ，当=1x -时，12x x+=-，故A 错误；对于选项B ，()()222211x x x x x -=-+=--+，所以()2x x -的最大值为1，故B错误；对于选项C，122222x x x x -+=+≥=，当且仅当122xx=，即0x =时，等号成立，故C 正确.对于选项D ，222277222222x x x x ++=+-≥=-++，当且仅当22722x x+=+，即22x =时，等号成立，故D 正确.故选：CD.8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】由,R a b ∈，则222a b ab +≥，得222a b ab +≥，A 正确；由,R a b ∈，取1,2a b =-=，则1202b a a b +=--<，故B 错误；由于,R a b ∈，则22()024a b a b ab +-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，则2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故C 正确；由于2222()0224a b a ba b ++-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.【答案】9【解析】由1x >，得10x ->，于是21616161119111x x x x x x x -+=+=-++≥=---，当且仅当1611x x -=-，即5x =时取等号，所以2161x x x -+-的最小值为9.故答案为：910．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.【答案】300【解析】购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++，则平均成本()150112600P x x x x =++≥+=，当且仅当150600x x=，即300x =时，平均成本最低为2万元.故答案为：300.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若关于x 的不等式225x x a +≥-恒成立，则min 2(2)5x x a+≥-，因为x a >，故2222()2242x x a a a a x a x a +=-++≥=+--，当且仅当1x a =+时取等，故得425a +≥，解得12a ≥.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y +的最小值．【答案】（1）23；（2）2 ；（3）1+【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=，当且仅当343x x =-，即2(0,1)3x =∈时取等号．故(43)x x -取得最大值43时，x 的值为23．（2）2222122311x x x x y x x +-++-+==--2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥+-．（1x >）当且仅当311x x -=-，即1(1,)x =∈+∞时取等号．故函数的最小值为2．（3）x ，R y +∈，()1311313112144y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当y =，即)21x =，(23y =时取等号．∴13x y +的最小值为113．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数数学31,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.【答案】(1)3-；(2)(43-【解析】（1）由题意得：(22a b =+=2≤=6ab ≤-所以132S ab =≤-a b =时，等号成立，所以直角三角形ABC面积的最大值为3-；（2）因为a b +≤所以21a b =+≤)21≥=，所以(2243S a b =+≥-，当且仅当a b =时，等号成立，所以正方形ABDE 面积的最小值为(43-.。

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

基本不等式及其应用[考点梳理]1．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥________ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则________，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有________，即a ＋b ≥________，a 2＋b 2≥________.简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即________，亦即________；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即_____.简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤________≤a ＋b 2≤________，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠： 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 22[基础自测]设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B.已知向量m ＝(2，1)，n ＝(2－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 解：依题意得2a ＝2－b ，即2a ＋b ＝2(a ＞0，b ＞0)，∴2＝2a ＋b ≥22ab ，∴ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，∴ab 的最大值是12.故选A.设f (x )＝lnx ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，∵a ＋b 2＞ab ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．∴q ＞p ＝r.故选C. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立．故填22.已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则实数a ＝________. 解：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，∴a2＝3，∴a ＝36.故填36. [典例解析]类型一 利用基本不等式求最值(1)函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞－1)的值域为________．解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m ＝m ＋4m ＋5≥2m ·4m ＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞)．故填[9，＋∞)．(2)若a >b >0，则代数式a 2＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋（a －b ）22＝a 24，∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋1a 24＝a 2＋4a 2≥4，当且仅当b＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时等号成立．故选C.小结：基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解：∵t ＞0，∴f (t )＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥－2，当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (Ⅰ)xy 的最小值； (Ⅱ)x ＋y 的最小值．解：(Ⅰ)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，∵x ＞0，∴y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．类型二 利用基本不等式求参数范围已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3解：∵a >0，b >0，∴由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．∵3b a ＋3ab ≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，故10＋3b a ＋3a b ≥16，∴m ≤16，即m 的最大值为16.故选B.小结：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式mf (x )≤e－x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．解：由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令t ＝e x (x ＞0)，则t ＞1，且m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t ＞1成立．∵t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.类型三 利用基本不等式解决实际问题某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1)作GH ⊥EF ，垂足为H. ∵DN ＝x ，∴NH ＝40－x ，NA ＝60－x ，∵NH HG ＝NAAM ，∴40－x 10＝60－x AM ，∴AM ＝600－10x 40－x.S 五边形MBCDN ＝S 矩形ABCD －S △AMN ＝40×60－12·AM ·AN ＝2 400－5（60－x ）240－x .∵N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，∴x∈(0，30]．(2)y ＝2 400－5（60－x ）240－x ＝2 400－5[(40－x )＋40040－x ＋40]，当且仅当40－x ＝40040－x ，即x ＝20∈(0，30]时，y 取得最大值2 000, ∴当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 2 000 m 2.小结：建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝kab ，其中k 是比例系数且k ＞0.依题意要使y 最小，只需ab 最大．由题设得：4b ＋2ab ＋2a ≤60(a ＞0，b ＞0)，即a ＋2b ≤30－ab (a ＞0，b ＞0)．∵a ＋2b ≥22ab ， ∴22·ab ＋ab ≤30，得0＜ab ≤32.当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a ＝6，b ＝3. 故当a ＝6 m ，b ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少． 解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2，代入y ＝kab 求解．[归纳小结]1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22；③ab ≤ 14(a ＋b )2；④⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b 型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点． [课后作业]1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．故选C.2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A.14 B ．4 C.12D ．2 解：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，∴1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．故选C.3．函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x·（2－x ）＝2，当且仅当12－x ＝2－x 时上式取等号．而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b＜2ab2ab ＝ab.又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A.5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ]≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.6．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab 时取等号．故选D.7．点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，∴mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2.故填－2.8．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解：易知定点A (0，0)，B (1，3)．且无论m 取何值，两直线垂直．所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．故填5.9．(1)已知0＜x ＜43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．解：(1)已知0＜x ＜43，∴0＜3x ＜4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时“＝”成立．∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为43.(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时“＝”成立．∴当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 取最小值为42.10．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b 2的最大值．解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－12.当且仅当a＝14，b＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272.当且仅当2x＝3y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y＝32(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y）＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，xy＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝6，y＝4.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝6⎝⎛⎭⎪⎫16y＋y≥6×216y×y＝48，当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．解：问题转化为求△ABC中∠BCA的取值范围．过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CD＝x米，看A，B的视角最大，即∠BCA最大．不妨设∠BCD＝α，∠ACD＝β，则∠BCA＝β－α，且tanα＝4x ，tanβ＝9x，所以tan(β－α)＝9x－4x1＋9x×4x＝5xx2＋36＝5 x＋36x≤52x×36x＝512，当且仅当x＝36x，即x＝6时取等号，此时∠BCA最大．故填6.不等式检测1．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋2x －2≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1，1]B ．[－1，2)C ．[1，2)D ．[－2，－1]解：依题意，集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |－2≤x <2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．故选D.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x 2－1)<0的解集为( ) A ．(－1，0) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(0，2) D ．(1，2)解：∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.∴f (x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，∴x ∈(－2，0)∪(0，2)．故选B.4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2 B.12a 2 C ．a D.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B .223 C.33 D.233解：∵x 2＋3xy －1＝0，∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S的最大值为2.故选C.7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解法一：∵x ∈[1，5]，∴不等式变形为a >－x ＋2x ，∵x ∈[1，5]时，y ＝－x ＋2x 单调递减，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，∴要使不等式在[1，5]上有解，应有a >－235.解法二：一元二次方程x 2＋ax －2＝0的两根之积为－2，两根一正一负．对于二次函数y ＝f (x )＝x 2＋ax －2，开口向上．与x 轴交点一正一负，y ＞0，在区间[1，5]上有解，只需y ＝f (5)＞0即可.52＋5a －2＞0，∴a ＞－235.故选A.8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5解：显然m ＞2，作出⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m 的可行域，当⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13 时z ＝x －y 的最小值为－1，解得m ＝5.故选D.9．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10．设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＜m 2－3m 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，∴只要m 2－3m 2＞14即可，得m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.11．已知O 是坐标原点，点A (－1，0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA→＋OM →|的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[2，5] C ．[1，2] D ．[0，5]解：OA →＋OM →＝(－1，0)＋(x ，y )＝(x －1，y )，设z ＝|OA →＋OM →|＝（x －1）2＋y 2，则z 2的几何意义为M 到定点E (1，0)的距离，由约束条件作出平面区域如图，由图象可知当M 位于点D (0，2)时，z 取得最大值z max ＝1＋4＝5，易知最小值z min ＝1，∴1≤z ≤5，即|OA→＋OM →|的取值范围是[1，5]．故选A. 12．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2解：∵AB→·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝32|AB →||AC →|＝23，∴|AB →||AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×12＝1，∵f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，∴12＋x ＋y ＝1，∴x ＋y ＝12，∵x >0，y >0，∴log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－4.故选B.13．已知集合A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．解：∵A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}＝{x |－5<x <1}，又∵A ∩B ＝(－1，n )，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.故填－1；1.14．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则实数m ＝________.解：画出可行域如图所示，设z ′＝x ＋3y ，当平行直线系z ′＝x ＋3y 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时取最小值，有z ′min ＝12＋3×12＝2，此时，目标函数z ＝x ＋3y ＋m 取最小值，有z min ＝z ′min ＋m ＝2＋m ＝4，m ＝2.故填2.15．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解：设两个正方形边长分别为a ，b (a ≤b )， 则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故填12. 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解：(1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 00022＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立．(2)F ＝76 000v ＋20×5v ＋18≤76 00020＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.故填(1)1 900；(2)100.17．已知不等式kx 2－x ＋4k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，所以－1和－4是方程kx 2－x ＋4k ＝0的两个实根，由韦达定理得x 1＋x 2＝1k ，解得k ＝－15.(2)不等式的解集为∅，则kx 2－x ＋4k ≥0恒成立，所以k ＞0且Δ＝1－16k 2≤0，解得k ≥14.18．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是哪一种？解：设原价为a ，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)a ，方案乙：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∵1＋p %·1＋q %≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%(当且仅当p ＝q 时取等号)，∵p ＞q ＞0，∴1＋p %·1＋q %＜1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∴提价多的方案是方案乙．答：提价多的方案是方案乙．19．(1)解不等式4x －1≤x －1；(2)求函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值． 解：(1)4x －1≤x －1⇔4－（x －1）2x －1≤0⇔（x －3）（x ＋1）x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －1）（x －3）≥0，x ≠1⇔ x ≥3或－1≤x ＜1. ∴此不等式的解集为{x |x ≥3或－1≤x ＜1}．(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴2x ＞0，1－2x ＞0，∴y ＝42x ＋91－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋91－2x [2x ＋(1－2x )]＝13＋9×2x 1－2x ＋4×（1－2x ）2x ≥25，当且仅当x ＝15时，等号成立，即函数的最小值为25.20．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，求a 2＋b 2的最小值．解法一：不等式组表示的平面区域如图所示，由于－ab ＜0，所以目标函数在点A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝45，b ＝25时等号成立．解法二：同解法一得2a ＋b ＝25.把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4. 21．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ．甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t )，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ≤300，5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，y ≥0；z ＝600x ＋1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域． 作直线l ：600x ＋1 000y ＝0，即直线l ：3x ＋5y ＝0， 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大．此时z ＝600x ＋1 000y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝200，4x ＋9y ＝360，得M 的坐标为x ＝36029≈12.4，y ＝1 00029≈34.4.故应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大．22．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1的两个极值点为x 1和x 2，x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，求f (－1)的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝12－8b ＋c ≥0，f ′（－1）＝3－4b ＋c ≤0，f ′（1）＝3＋4b ＋c ≤0，f ′（2）＝12＋8b ＋c ≥0.在平面直角坐标系bOc 中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知f (－1)＝2b －c 在点(0，－3)取得最小值3，在点(0，－12)取得最大值12.∴3≤f (－1)≤12.故f (－1)的取值范围为[3，12]．。

基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。

(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。

产品辅助运营方案范文一、背景介绍随着互联网的迅速发展和普及，越来越多的企业开始将线下业务转移到线上。

产品辅助运营是指通过产品功能、内容或服务，辅助企业进行线上运营和推广活动，以达到提高用户粘性、提升用户体验、增加用户转化率和增加业务收入等目标。

在这个信息爆炸的时代，如何通过产品辅助运营来提升企业的竞争力，成为了每一个企业都需要深入思考和解决的问题。

二、产品辅助运营的重要性1. 提高用户粘性：产品辅助运营可以通过不断优化产品功能和内容，提高用户使用的频率和时长，从而增加用户的粘性，使得用户固定在企业的产品上，提升用户的忠诚度。

2. 提升用户体验：良好的用户体验可以增加用户对产品的好感，降低用户的流失率，促进用户的留存和转化，提升用户的满意度，从而带来更多的口碑宣传和用户增长。

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三、产品辅助运营的关键要素1. 产品功能优化：产品功能是用户使用产品的核心，通过不断优化产品功能，可以提高用户的体验和满意度，增加用户的粘性和转化率。

产品功能优化需要根据用户的需求和反馈，进行定期的调研和改进，保持产品的前沿性和竞争力。

2. 内容创新：内容是用户获取信息和享受服务的重要途径，通过不断创新内容，可以提高用户的体验和忠诚度，增加用户对产品的依赖和使用频率。

内容创新需要根据用户的兴趣和偏好，进行个性化推荐和推送，满足用户的多样化需求。

3. 服务优化：服务是企业与用户之间的桥梁，通过提供优质的服务，可以增加用户的满意度和黏性，促进用户的转化和留存。

服务优化需要建立健全的客户服务体系，提供个性化的服务方案，引导用户参与互动，增加用户的参与感和忠诚度。

基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。

35B。

105C。

140D。

2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。

2B。

4C。

8D。

163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。

$a=b$B。

$a=b=1$XXX 1$D。

$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。

0B。

$\frac{1}{4}$C。

$\frac{1}{2}$D。

15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。

3B。

4C。

5D。

66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。

$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。

$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。

4B。

6C。

8D。

98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。

2B。

3C。

4D。

59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。

$y=x^2+1$B。

$y=2-x^2$C。

第4讲 基本不等式及其应用 考点一 利用基本不等式证明简单不等式【例1】 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0， ∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xy z ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立.规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练1】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考点二 利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2013·山东卷改编)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为________．(2)(2014·广州一模)已知2x ＋2y ＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为________． 审题路线 条件：x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得：z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入z xy ⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把x ＋2y －z 转化关于y 的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．解析 (1)z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4y x ≥2x y ·4y 3－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x＝2y 时等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．答案 (1)2 (2)8规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(2014·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x 即x＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 (1)5 (2)2考点三 基本不等式的实际应用【例3】 (2014·济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x 时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．【训练3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解 (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx ×x －(6＋12x )－t＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12. 由基本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6， 当且仅当9t ＋12＝t ＋12，即t ＝2.5时等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t＋12＝t＋12时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7——如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取得最小值为________．[审题]一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|＋|a|b转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件．解析因为a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b4|a|＝|a|b，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故12|a|＋|a|b的最小值为34.答案3 4[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值．【自主体验】(2013·福建卷改编)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________． 解析 因为2x ＞0,2y ＞0，所以1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y，故2x ＋y≤12，即2x ＋y≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2.答案 (－∞，－2]基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式①a ＋b ≥2ab ；②1a ＋1b ＞2ab ；③b a ＋a b ≥2；④a 2＋b 2＞2ab 中，恒成立的是________． 解析 因为ab ＞0，即b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋a b ≥2b a ×ab ＝2.答案 ③2．(2014·杭州一模)设a ＞0，b ＞0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是______． 解析 由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案 43．(2013·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ， ∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 答案 44．(2012·陕西卷改骗)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a、v、ab的大小关系为________．解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.答案a<v<ab5．(2014·兰州模拟)已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝________.解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b ＝3.答案 36．(2014·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．答案97．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为______．解析∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案 38．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则1m＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4 二、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8. 证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·郑州模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为________．解析 因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 1722．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 (－4,2)3．(2014·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案 6 二、解答题4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．方法强化练——不等式 (建议用时：75分钟)一、填空题1．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的________条件．解析 不等式|x |＜2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2,3)，反之则不成立． 答案 充分不必要2．(2014·青岛一模)若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式①a 2＞b 2；②ba ＜1；③lg(a －b )＞0；④⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立的是________．解析 ∵0＜13＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是减函数，又a ＞b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b.经验证①②③均错误，∴④对． 答案 ④3．(2013·郑州调研)不等式x －13x ＋1≤0的解集为________． 解析 原不等式等价为(x －1)(3x ＋1)≤0且3x ＋1≠0，解得－13≤x ≤1且x ≠－13，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎦⎥⎤x |－13＜x ≤1，即⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，14．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________．解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2≥x 2＋14x 2＋y 2＋14y 2＋2≥2x 2·14x 2＋2y 2·14y 2＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22时取等号． 答案 45．(2014·长沙诊断)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋2y ≥0，3x ＋y －5≤0，则2x ＋y 的最大值是________．解析 设z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出不等式对应的区域，平移直线y ＝－2x＋z ，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，3x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即B (1,2)，代入z ＝2x ＋y ，得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 46．(2013·北京海淀一模)设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是________．解析 ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，当x ＝4y ＝20时取等号， ∴xy ≤100，lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 27．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用________年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)．解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元． 答案 108．(2014·天水一模)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤a (a >1)，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为________． 解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 29．(2014·湖州模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为________．解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256. 答案 25610．(2014·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析 依题意，得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4. 答案 411．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)12．(2014·武汉质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ＜0，则不等式f (x )＜9的解集是________．解析 当x ≥0时，由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)． 答案 (－2,2)13．(2013·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析 设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .作出可行域如图．平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧ x ＋2y ＝8，x ＝4，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，即A (4,2)，代入z ＝x ＋y ，得z ＝4＋2＝6. 答案 614．(2013·湘潭诊断)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________．解析 由a ⊥b 得：a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.所以，9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2013·上海卷)设常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．解析 当x ＞0时，f (x )＝9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a ≥a ＋1，解得a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞二、解答题16．(2014·镇江模拟)已知f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 解 (1)f (x )>k ⇔k x 2－2x ＋6k <0， 由已知其解集为{x |x <－3或x >－2}，得x 1＝－3，x 2＝－2是方程k x 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以－2－3＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66， 由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.17．(2013·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米． 18．(2014·泉州调研)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x ＝2－1或2＋1.当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)法一 ∵当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0， ∴3ax 2≥－x 3－3x －1，∴a ≥－x 3－1x －13x 2，设g (x )＝－x 3－1x －13x 2，∴求g (x )的最大值即可，则g ′(x )＝－13＋1x 2＋23x 3＝－x 3＋3x ＋23x 3，设h (x )＝－x 3＋3x ＋2，则h ′(x )＝－3x 2＋3，当x ≥2时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在[2，＋∞)上单调递减， ∴g ′(x )在[2，＋∞)上单调递减，∴g ′(x )≤g ′(2)＝0，∴g (x )在(2，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (2)＝－54， ∴a ≥－54.法二 因为x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，所以由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.。

基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。

(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。

专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）1. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元2. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m3. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( )A. ab 的最大值为14 B. a 2+b 2的最小值为12 C. 4a +1b 的最小值为9D. √a +√b 的最小值为√24. 已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式2x +m y≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,√2]D. (0,2]5. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d =mk ，其中d 是距离(单位，m 是质量(单位，k 是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k 1，k 2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足1k =1k 1+1k 2，并联时得到的弹簧系数k 满足k =k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()A. B. C. D.6.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x2+y2)3=16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④7.若正实数x，y满足log2(x+3y)=log4x2+log2(2y)，则3x+y的最小值是()A. 12B. 6C. 16D. 88.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为()A. 4√5B. 4√15C. 8√5D. 8√159.函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√210. 已知关于x 的不等式x 2−4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2)，则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A. √63B. −2√33 C. 4√33D. −4√3311. 已知关于x 的不等式1a x 2+6x +c <0(ab >1)的解集为⌀，则T =12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 412. 已知函数f(x)=e kk lnx +1x−x ，k ∈(0,+∞)，曲线y =f(x)上总存在两点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)使曲线y =f(x)在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1·x 2的取值范围是( )A. [2e ,+∞)B. [4e 2,+∞)C. (2e ,+∞)D. (4e 2,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30分）13. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则1a+1+4b+1的最小值为______．14. 壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a 米和b 米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元．15. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tanB =2tanA ，则1tan B +1tan C 的最小值为 ．16. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______．17. 设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0，则当xy z 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值是 ．18.已知a >2b(a,b ∈R)，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞)，则a 2+4b 2a−2b的最小值为______．三、解答题（本大题共1小题，共10分） 19．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集； （2）若f （1）4=，1b >-，求1||||1a ab ++的最小值．专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）18. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元【答案】B【解析】解：设水池池底的一边长为xm ，则另一边长为4x m ， 则总造价y =4×120+80×(2x +2⋅4x )×2=480+320(x +4x )⩾480+320×2√x ⋅4x =1760(元)． 当且仅当x =4x ，即x =2时，y 取最小值为1760． 所以水池的最低造价为1760元． 故选B ．19. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m【答案】B【解析】解：设BC =xm ，知AB =1000xm ，∴整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积为S =(x +10)(1000x+4)=1040+4x +10000x≥1040+2√4x ·10000x=1440．当且仅当4x =10000x，即x =50时取等号．∴当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为50 m ． 故选B ．20. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( ) A. ab 的最大值为14 B. a 2+b 2的最小值为12 C. 4a +1b 的最小值为9D. √a +√b 的最小值为√2【答案】D【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析： 对A ，因为正实数a ，b 满足a +b =1，所以1=a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b =12时等号成立， 所以ab ≤14，当且仅当a =b =12时等号成立， 故ab 有最大值14，故A 正确;对B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =1，所以a 2+b 2=1−2ab ≥1−2×14=12，当且仅当a =b =12时等号成立，所以a2+b2有最小值12，故B正确．对C，利用基本不等式，有4a +1b=(4a+1b)(a+b)=4ba+ab+5⩾2√4ba·ab+5=9，当且仅当{a+b=1 4ba=ab,即a=23, b=13时等号成立，故1a +1b有最小值9，故C正确；对D，由题意，得(√a+√b)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+2√14=2，故√a+√b≤√2，当且仅当a=b=12时等号成立，即√a+√b有最大值√2，故D错误．故选D．21.已知m>0，xy>0，当x+y=2时，不等式2x +my≥4恒成立，则m的取值范围是()A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,√2]D. (0,2]【答案】B【解析】解：∵m>0，xy>0，x+y=2，∴2x+m y=12(x+y)(2x+m y)=12(m+2+2y x+mx y )≥12(m+2+2√2yx⋅mxy)=12(m+2+2√2m)，当且仅当2yx=mxy时取等号，∵不等式2x +my≥4恒成立，∴12(m+2+2√2m)≥4，整理得(√m+3√2)(√m−√2)≥0，解得√m≥√2，即m≥2，∴m的取值范围为[2,+∞)．故选：B．22.在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=mk，其中d是距离(单位，m是质量(单位，k是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k =1k1+1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：根据题意可得，串联时k=md =101=10，∵1k =1k1+1k2=k1+k2k1k2，∴k=k1k2k1+k2，∴串联时，k=k1k2k1+k2=10；并联时，k′=k1+k2，弹簧拉伸的最大距离为d′=m k′=mk1+k2，要想d′取得最大值，则k′取最小值，k′=k1+k2≥2√k1k2，当且仅当k1=k2时，取等号，当k1=k2时，由k1k2k1+k2=10得，k1=k2=20，∴此时k′=k1+k2=40，∴d′=mk′=1040=14(cm)，则并联时弹簧拉伸的最大距离为14cm，故选A．23.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x 2+y 2)3=16x 2y 2(xy <0)表示的曲线C 在第二象限和第四象限 其中正确结论的序号是A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】B【解析】解： (x 2+y 2)3=16x 2y 2≤16(x 2+y 22)2,解得x 2+y 2≤4(当且仅当x 2=y 2=2时取等号)则(2)正确；将x 2+y 2=4和(x 2+y 2)3=16x 2y 2联立，解得x 2=y 2=2即圆x 2+y 2=4与曲线 相切于点(√2,√2),(−√2,√2),(−√2,−√2),(√2,−√2)则(1)和(3)错误； 由xy <0得(4)正确； 故选B ．24. 若正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)，则3x +y 的最小值是( ) A. 12B. 6C. 16D. 8【答案】D【解析】解：∵正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)， ∴(x +3y)2=x 2(2y)2，整理，得x +3y =2xy ， ∴1y +3x =2，∴3x +y =12(3x +y)(1y +3x )=12(10+3x y+3yx)≥12(10+6)=8， 当且仅当x =y 时取等号． 故选D ．25. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a +b =12，c =8，则此三角形面积的最大值为( )A. 4√5B. 4√15C. 8√5D. 8√15【答案】C【解答】解：由题意，得p =10， 所以S =√p(p −a)(p −b)(p −c) =√20(10−a)(10−b)≤√20⋅10−a+10−b2=8√5，当且仅当10−a =10−b ，即a =b =6时等号成立，所以此三角形面积的最大值为8√5．故选C．26.函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√2【答案】B【解析】解：函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，可得f(−x)+2g(−x)=e−x，即f(x)−2g(x)=e−x，解得f(x)=12(e x+e−x)，g(x)=14(e x−e−x)，由x∈(0,2]，可得e x∈(1,e2]，由t=e x−e−x在x∈(0,2]递增，可得t∈(0,e2−e−2]，存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，即存在x∈(0,2]，不等式12(e2x+e−2x)−m⋅14(e x−e−x)≤0即m≥2(e2x+e−2x)e x−e−x成立，可得12m≥t2+2t，由t2+2t=t+2t≥2√2，当且仅当t=√2时，取得等号，即有12m≥2√2，可得m≥4√2，即m的最小值为4√2．故选：B．27.已知关于x的不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，则x1+x2+ax1x2的最大值是()A. √63B. −2√33C. 4√33D. −4√33【答案】D【解析】解：不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，根据韦达定理，可得：x1x2=3a2，x1+x2=4a，那么：x1+x2+a x1x2=4a+13a．∵a<0，∴−(4a+13a )≥2√(−4a)×(−13a)=4√33，即4a+13a ≤−4√33，故x1+x2+a x1x2的最大值为−4√33．故选：D．28.已知关于x的不等式1a x2+6x+c<0(ab>1)的解集为⌀，则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为()A. √3B. 2C. 2√3D. 4【答案】D【解析】解：由题意得：1a >0，b2−4ca≤0，得c≥ab24．∴T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1≥1+2ab+a2b22(ab−1)，令ab−1=m，则m>0，所以T≥1+2(m+1)+(m+1)22m =m2+2m+2≥4.则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为4．故选D．29.已知函数f(x)=e kk lnx+1x−x，k∈(0,+∞)，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1·x2的取值范围是()A. [2e ,+∞) B. [4e2,+∞) C. (2e,+∞) D. (4e2,+∞)【答案】D【解析】解：f′(x)=e kkx −1x2−1(x>0,k>0)，由题意知，f′(x1)=f′(x2)，即e kk ·1x1−1x12=e kk·1x2−1x22，∴e kk (1x1−1x2)=1x12−1x22，∴e kk =1x1+1x2=x1+x2x1x2>√x x，(等号取不到)√x1x2>2ke k恒成立，令g(k)=2ke k ，g′(k)=2−2ke k，令g′(k)=0，得k=1，故有g(k)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上递减，则有g(k)≤g(1)，故g(k)⩽g(1)=2e ，√x1x2>2e，x1x2>4e2，故选D．二、单空题（本大题共6小题，共30分）30. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则1a+1+4b+1的最小值为______．【答案】94【解析】解：正数a ，b 满足a +b =2，则a +1+b +1=4． 则1a+1+4b+1=14[(a +1)+(b +1)](1a+1+4b+1)=14(5+b+1a+1+4(a+1)b+1)≥14(5+2√b+1a+1×4(a+1)b+1)=14×(5+4)=94， 当且仅当a =13，b =53时原式有最小值． 故答案为：94．31. 壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a 米和b 米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元． 【答案】800【解析】解：由题意，设彩画长a 米，宽b 米(其中a >0，b >0)， 则有2(50a +100b )⩽400，即a +2b ⩽4，所以彩画面积S =ab =a·2b 2⩽12×(a+2b 2)2⩽12×(42)2=2，当且仅当{a =2b a +2b =4，即{a =2b =1时不等式可取等号，此时彩画的面积为2平方米，费用为400元，边框费用为400元，总费用共需要800元． 故答案为：800．32. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tanB =2tanA ，则1tan B +1tan C 的最小值为 ． 【答案】23【解析】解：∵tanB =2tanA ，角A 为锐角， ∴tanA >0，tanB >0，∴tanC =tan[π−(A +B)]=−tan(A +B)=−tanA+tanB 1−tanAtanB=−32tanB 1−12tan 2B =3tanBtan 2B−2，∴1tan B +1tan C=1tan B +tan 2B−23tanB=tan 2B+13tan B=13(tanB +1tanB) ⩾13×2√tanB ·1tanB =23，当且仅当tanB =1tanB ，即tanB =1时，取等号， 故1tanB +1tanC 的最小值为23． 故答案为23．33. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______． 【答案】(−4,2)【解析】解：由2x +1y =1，可得x +2y =(x +2y )(2x +1y )=4+xy +4y x≥4+2√x y ⋅4y x=8．当且仅当x =2y ，且2x +1y =1，即x =4，y =2时取等号， 则x +2y 的最小值为8，x +2y >m 2+2m 恒成立⇔m 2+2m <(x +2y)min ， 所以m 2+2m <8恒成立，即m 2+2m −8<0， 解得−4<m <2．故实数m 的取值范围是(−4,2)． 故答案为(−4,2)．34. 设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0，则当xy z 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值是 ． 【答案】1【解析】解：由已知条件有xyz=xy x 2−3xy+4y 2=1xy +4y x−3≤2√x y ·4yx−3=1，当且仅当x =2y 时，等号成立，因此z =x 2−3xy +4y 2=4y 2−6y 2+4y 2=2y 2， 所以2x +1y −2z =2y −1y 2=−(1y −1)2+1≤1． 故答案为：1．35. 已知a >2b(a,b ∈R)，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞)，则a 2+4b 2a−2b的最小值为______． 【答案】√2【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞), 则有a >0且1=4a ×(2b)=8ab ，即8ab =1，a 2+4b 2a−2b=(a−2b)2+4aba−2b=(a −2b)+12(a−2b)，又由a −2b >0，则(a −2b)+12(a−2b)≥ 2√(a −2b)×12(a−2b)=√2， 当(a −2b)=12(a−2b)等号成立． 即a 2+4b 2a−2b的最小值为√2；故答案为√2．三、解答题（本大题共1小题，共10分） 19．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集； （2）若f （1）4=，1b >-，求1||||1a ab ++的最小值． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2）34． 【解析】（1）由题意可得()42f x x <-+，即为2(1)10ax a x -++<，即(1)(1)0x ax --<， 当0a <时，110a >>，由1(1)()0x x a-->，解得1x >或1x a <；当1a =时，2(10)x -<，可得x ∈∅；当1a >时，11a >，由1(1)()0x x a--<，解得11x a <<； 当01a <<时，11a <，由1(1)()0x x a--<，解得11x a <<． 综上可得，0a <时，解集为{|1x x >或1}x a <；01a <<时，解集为1{|1}x x a<<；1a =时，解集为∅；1a >时，解集为1{|1}x x a<<； （2）由()14f =，1b >-，可得14a b ++=，10+>b ，可得1||1||||11||14||114||4||4||4||a ab a a b a a a a b a b b a a a a ++++=+=++≥=++++， 当0a >时，15114||44aa +=+=，可得1||||1a ab ++的最小值为54，当且仅当43a =，53b =时等号成立；当0a <时，13114||44aa +=-=，可得1||||1a ab ++的最小值为34，当且仅当4a =-，7b =时等号成立． 所以1||||1a a b ++的最小值为34．。

[基础巩固]1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝0解析 当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝”成立．答案 B2．已知a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 解析 ∵a ，b ∈(0,1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ，∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )，∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．答案 D3．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析 a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错； a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错； 由基本不等式可知D 项正确．答案 D4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________．①a ＋b 2≥ab ；②a －b ≥2ab ； ③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .解析 根据x 2＋y 22≥xy ，a ＋b 2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 答案 ③5．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b 2的大小关系为________．解析 用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋x ＝ (1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2.当且仅当a ＝b 时等号成立．答案 x ≤a ＋b 26．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b ≥4.证明 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 ba ·ab ＝4.当且仅当a ＝b 时“＝”成立．[能力提升]7．(多选)有下列式子，正确的有( )A ．a 2＋1＞2aB ．⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2 C.a ＋bab ≥2 D ．x 2＋1x 2＋1≥1解析 ∵a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2a ，故A 不正确；对于B ，当x ＞0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x ＜0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x ＝－1时取“＝”)，∴B 正确；对于C ，若a ＝b ＝－1，则a ＋bab ＝－2＜2，故C 不正确；对于D ，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故D 正确．答案 BD8．(2022·佳木斯模拟)已知a >0，b >0，a 2＋b 2－ab ＝4，下列不等式正确的个数有() ①1a ＋1b ≥1，②ab ≤4，③a ＋b ≤4，④a 2＋b 2≤8.A ．1B ．2C ．3D ．4解析 因为a >0，b >0，a 2＋b 2－ab ＝4，所以a 2＋b 2＝ab ＋4≥2ab ，得ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，②正确；由1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，①正确； 由a 2＋b 2－ab ＝4，得()a ＋b 2＝3ab ＋4≤34()a ＋b 2＋4，所以a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，③正确；a 2＋b 2＝ab ＋4≤4＋4＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，④正确．故选D.答案 D9．已知a ＞b ＞c ，则 (a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________． 解析 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c 2. 答案 (a －b )(b －c )≤a －c 210．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b 2≥ab ，b ＋c 2≥bc ，c ＋a 2≥ca ， ∴a ＋b 2＋b ＋c 2＋c ＋a 2≥ab ＋bc ＋ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 不全相等，∴等号不成立，∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .[探索创新]11．已知a ，b 都是正数，求证： 21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 证明 ∵1a ＋1b≥21ab ， ∴11a ＋1b ≤121ab ，即21a ＋1b ≤ab . 又∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24≤a 2＋a 2＋b 2＋b 24＝a 2＋b 22， ∴a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 又由基本不等式得a ＋b 2≥ab ， 故21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．。

【课堂例题】例1.用长为4a 的篱笆围成一个矩形菜园，怎样才能使所围矩形菜园的面积最大？例2.用篱笆围一个面积为218m 的矩形菜园，如果一边借用已有的一堵墙，则篱笆至少要多少米？例3.某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？(结果精确到0.1米)例4.某工厂建造一个无盖的长方体水池，其容积为34800m ，深度为3m ，如果池底每21m的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？43绿地【基础训练】1.(1)把36写成两个正数的积，要求这两个正数的和最小，那么36= .(2)把18写成两个正数的和，要求这两个正数的积最大，那么18= .2.用一根长为L 的铁丝制成一个矩形框架，框架的面积最大值为 .3.斜边长为10的直角三角形，面积最大值为 .4.某种产品的生产者准备对该产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ；方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q +. 其中0p q >>，则上述总提价从小到大排列正确的是（ ）(A)甲<乙<丙; (B)甲=乙<丙; (C)丙<甲=乙; (D)由,p q 的具体数值确定.5.某汽车公司购买了一批客车投入营运，每辆客车营运的总利润y (单位10万元)与营运年数x *()x N ∈为二次函数关系如图，则每辆客车营运( )年时，其营运的年平均利润最大. (A)3; (B)4; (C)5; (D)6.6.建造一个容积为8造价每平方米分别为7.如图，一份印刷品的排版面积(虚线矩形面积)为18，它的两边都留有宽为1的空白，顶部和底部都留有宽为2的空白.如何选择纸张的尺寸注，才能使纸的用量最少？注：纸张的尺寸一般用m n 表示.【巩固提高】8.如图，制作一个木质窗框，如果可供使用的材料是l 米，求该木质窗框的最大面积.(结果用l 表示，忽略木料本身宽度).12129.经过长期观察测得：在交通繁忙时期，某公段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的关系为2920(0)31600v y v v v =>++ (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (精确到0.1千辆/时)(2)若要求该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？提示：分子分母同除以v 后再处理.(选做)10.(1)用实验的方法比较三个正数,,a b c 的算术平均数3a b c++和(也可以证明)(2)利用(1)，尝试解决《数学》高一年级第一学期46P 课题一所提出的问题.【温故知新】 11.4{|,,0}A y y x x R x x ==+∈≠，则与A 相等的集合是( ).(A) (,4][4,)-∞-+∞; (B) [4,)+∞； (C) (,2][2,)-∞-+∞； (D) [2,)+∞.【课堂例题答案】例1.围成正方形时面积最大.例2.至少需要篱笆12米.例3.绿地长与宽分别为30.6米与22.9米时，人行道所占没面积最小.例4.底面为边长40米的正方形时，总造价最低，总造价为297600元.【习题答案】1.(1)66⨯; (2)99+.2.216L . 3.50.4.B 提示：22(1%)(1%)%%(1%)(1%)(1%)(1%)[](1)22p q p q p q q p ++++++=++<=+ 5.C 提示：2525()1210122(,5)y x x x x x x=-++≤-+=== 6.1760元.7.大小为105⨯规格. 8.248l . 9.(1)当汽车的平均速度v 为40千米/时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时；(2)汽车的平均速度应在(25,64)内.10.(1),,,3a b c a b c R +++∈≥，当且仅当a b c ==时等号成立 (2)227提示：3(4)(12)(12)2(1233x x x x +-+--==322(12)(12))327V x x x ∴=--≤= 11.A。

基本不等式典型例题一、利用基本不等式求最值1. 例1：已知x > 0，求y = x+(1)/(x)的最小值。

- 解析：对于基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0，当且仅当a = b时等号成立）。

- 在y=x+(1)/(x)中，a = x，b=(1)/(x)，因为x>0，所以(1)/(x)>0。

- 根据基本不等式y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2。

- 当且仅当x=(1)/(x)（x > 0），即x = 1时等号成立。

所以y的最小值为2。

2. 例2：已知x <0，求y=x+(1)/(x)的最大值。

- 解析：因为x<0，则-x>0。

- 此时y=x+(1)/(x)=-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]。

- 对于-x和(1)/(-x)，根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），这里a=-x，b = (1)/(-x)，则(-x)+(1)/(-x)≥slant2√((-x)×frac{1){-x}}=2。

- 所以y =-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]≤slant - 2，当且仅当-x=(1)/(-x)，即x=-1时等号成立。

所以y的最大值为-2。

二、基本不等式在实际问题中的应用1. 例3：用篱笆围一个面积为100m^2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？- 解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy = 100。

- 篱笆的周长C=2(x + y)。

- 根据基本不等式x + y≥slant2√(xy)，因为xy = 100，所以x +y≥slant2√(100)=20。

- 则C = 2(x + y)≥slant40。

- 当且仅当x=y时等号成立，由xy = 100且x=y，可得x=y = 10。