基本不等式基础测试题

基本不等式经典习题1、已知x,y 为正数，则22x y xyx y的最大值为▲　2．实数a 、b 、c 满足2225abc，则2687abbc c 的最大值为▲　．3、已知正实数x ，y 满足24310xyxy，则xy 的取值范围为▲．【答案】[1，83]4、设x,y 是正实数，且x+y=1，则2221x yxy 的最小值为▲　455.（浙江理16）设,x y 为实数，若2241,x yxy则2x y 的最大值是．21056、（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是D.112A.3B.4C.解析：考察均值不等式7（2010四川理数）（12）设0ab c，则221121025()aac c aba ab 的最小值是（A ）2（B ）4（C ）25（D ）58、设0a ＞b ＞，则211aaba a b的最小值是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49（2013考湖南卷（理））已知222,,,236,49a b c a b c abc 则的最小值为______.【答案】1210、[2014·辽宁卷] 对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．16．－211．设正实数,,x y z 满足22340xxy yz ，则当xy z取得最大值时，212xyz的最大值为（A ）0（B ）1（C ）94（D ）312、若实数,a b 满足12ab a b ，则ab 的最小值为13.设实数,x y 满足2214xy，则232x xy 的最小值是▲．92。

高一数学基本不等式试题1.设且,则的最小值为________．【答案】4【解析】由，当且仅当时等号成立．故答案为4．【考点】均值不等式的应用．2.当时，函数的最小值为 .【答案】6【解析】由于，所以函数【考点】基本不等式的应用.3.已知，，则的最小值为．【答案】4【解析】,由基本不等式得【考点】基本不等式的应用．4.设二次函数的值域为[0，+∞），则的最大值是（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为，则,且,即. 欲求的最大值，利用前面关系，建立，由，故选C.【考点】（1）二次函数性质；（2）函数最值；（3）基本不等式.5.已知，则x + y的最小值为．【答案】【解析】，，由，可得，当且仅当时等号成立，故，故答案为.【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用.6.若，则下列不等式正确的是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由基本不等式得，则；又，.【考点】基本不等式.7.若,则的最小值是( )A．B．1C．2D．4【答案】C【解析】．【考点】基本不等式．8.已知等比数列，，则其前三项和的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，当公比时，；当公比时，，.【考点】利用基本不等式求最值。

9.（1）阅读理解：①对于任意正实数，只有当时，等号成立．②结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）①若，只有当__________时，有最小值__________．②若，只有当__________时，有最小值__________．（3）探索应用：学校要建一个面积为392的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。

问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。

【答案】（2）①1 ，2：②3，10（3）游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648【解析】（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②，当时，有最小值10．（3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得，整理运用所给结论，可求面积的最值．（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②，当时，有最小值10．（3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得，整理．当且仅当即取“=”．此时所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648【考点】基本不等式在最值问题中的应用；进行简单的合情推理10.在分别是角A、B、C的对边,若,则的周长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，化简后可得：，∴，又∵，∴，即周长的范围为．【考点】1、余弦定理；2、基本不等式．11.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为且，所以，当且仅当即时取。

基本不等式测试卷一、选择题1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝⎛⎭⎫0<x<π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．y ＝ex ＋4ex －2 2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得n m a a ∙＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在 [答案] A3．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] A4．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab≤1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A5．若a>0，b>0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D6．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 [答案] C7．已知F 1、F 2分别为双曲线12222=-by a x （a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若221PF PF 的值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] [答案] D8．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B9．已知全集R ，集合E ＝{x|b<x<a ＋b2}，F ＝{x|ab<x<a}，M ＝{x|b<x≤ab}，若a>b>0，则集合M 等于( )A ．E∩FB ．E ∪FC ．E∩(∁RF)D ．(∁RE)∩F [答案] C10．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( ) A.12B ．1 C ．2 D ．3[答案] B二、填空题11．已知b>0，直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值为________． [答案] 412．已知t>0，则函数y ＝tt t 142+-的最小值为________．[答案] －213、已知三个函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y2n ＝1(m>0，n>0)上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为________． [答案] 414．已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是________． [答案] 11215、设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f(M)＝(m ，n ，p)，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f(M)＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是________．[答案] 18 三、解答题16．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解读] (1)∵由条件知，sinβ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β，整理得32sinβ－12cosβ＝0， ∵β为锐角，∴tanβ＝13.(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ， ∴tanβ＝sinαcosα1＋sin2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α＝tanα2tan2α＋1＝12tanα＋1tanα≤122＝24. 当且仅当1tanα＝2tanα时，取“＝”号， ∴tanα＝22时，tanβ取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝ 2.17、设实数a 使得方程x 2+（a -1）x+1=0有两个实根x 1，x 2. (1) 求a 的取值范围； (2) 当a 取何值时，222111x x +取得最小值，并求出这个最小值.解读：(1) a ≤-1或a ≥3 (2) a=-1或3，最小值为2.18．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？[解读] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%)·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x ，∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x ＝12(32Q ＋3－x)＝－x2＋98x ＋35＋(x≥0)．(2)令x ＋1＝t(t≥1)，则 W ＝－－＋－＋352t＝50－⎝⎛⎭⎫t 2＋32t . ∵t≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t ＝8，即W≤42，当且仅当t 2＝32t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．19、(1)不等式04)2m (2)2m (2<--+-x x 对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围。

不等式的基本性质经典练习题→ 微积分
的基本性质经典练习题
不等式的基本性质经典练题
问题1
给定不等式：\(2x+1>5\)，求解\(x\)的范围。

解答1
将不等式重新排列得到：\(2x>4\)。

进一步，可以将不等式除以2，得到：\(x>2\)。

因此，\(x\)的范围为\(x>2\)。

问题2
给定不等式：\(3x-2 \geq 7\)，求解\(x\)的范围。

解答2
将不等式重新排列得到：\(3x \geq 9\)。

进一步，可以将不等式除以3，得到：\(x \geq 3\)。

因此，\(x\)的范围为\(x \geq 3\)。

问题3
给定不等式：\(4x+2 < 10\)，求解\(x\)的范围。

解答3
将不等式重新排列得到：\(4x < 8\)。

进一步，可以将不等式除以4，得到：\(x < 2\)。

因此，\(x\)的范围为\(x < 2\)。

问题4
给定不等式：\(-x-5 \leq 3\)，求解\(x\)的范围。

解答4
将不等式重新排列得到：\(-x \leq 8\)。

进一步，可以将不等式乘以\(-1\)，得到：\(x \geq -8\)。

因此，\(x\)的范围为\(x \geq -8\)。

总结
通过解答以上经典练习题，我们可以看到不等式的求解方法和范围确定方法是基于对不等式的变形，然后根据变形后的不等式确定\(x\)的范围。

因此，在解决不等式问题时，我们需要熟练掌握不等式的基本性质和变形规则。