数学2典型例题：方程与直线

典型例题一例1 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是54，求直线l 的方程． 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：54sin =α， 所以：34tan ±=α， 直线过点P （－1，3），由直线的点斜式方程得到：()1343+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．典型例题二例2 求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程．分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类．解：法一：利用直线的两点式方程∵直线过两点A （2，m ）和B （n ，3） （1）当3=m 时，点A 的坐标是A （2，3），与点B （n ，3）的纵坐标相等，则直线AB 的方程是3=y ；（2）当2=n 时，点B 的坐标是B （2，3）,与点A （2，m ）的横坐标相等，则直线AB 的方程是2=x ；（3）当3≠m ，2≠n 时，由直线的两点式方程121121x x x x y y y y --=--得：223--=--n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程（1）当2=n 时，点B A ,的横坐标相同，直线AB 垂直与x 轴，则直线AB 的2=x ； （2）当2≠n 时，过点B A ,的直线的斜率是23--=n mk ， 又∵过点A （2，m ）∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：()223---=-x n mm y 说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．典型例题三例 3 把直线方程()00≠=++ABC c By Ax 化成斜截式______，化成截距式______． 分析：因为0≠ABC ，即0≠A ，0≠B ，0≠C ，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．解：斜截式为BC x B A y --=，截距式为A C x -+BC Y-＝1 说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．典型例题四例4 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于θ的一个三角不等式即可．解：已知直线的方程为323cos --=x y θ，其斜率3cos θ-=k ． 由313cos ≤=θk ，得31tan ≤α，即33tan 33≤≤-α． 由[)πα,0∈，得),65[6,0πππα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈． 说明：解题易得出错误的结果⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππα，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．典型例题五例5 直线l 经过点)2,3(，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解． 解法一：由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且0≠k ． 设直线方程为)3(2-=-x k y ，令0=x ，则23+-=k y ，令0=y ，则kx 23-=．由题设可得k k 2323-=+-，解得1-=k 或32=k ． 所以，l 的方程为)3(2--=-x y 或)3(322-=-x y ．故直线l 的方程为05=-+y x 或032=-y x ．解法二：由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a ． 若0=a ，则l 过点)0,0(，又过点)2,3(，∴l 的方程为x y 32=，即l ：032=-y x ． 若0≠a ，则设l 为1=+a ya x ．由l 过点)2,3(，知123=+aa ，故5=a ．∴l 的方程05=-+y x ．综上可知，直线l 的方程为032=-y x 或05=-+y x ．说明：对本例，常见有以下两种误解：误解一：如下图，由于直线l 的截距相等，故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ，则直线方程为32-=-x y ；若1-=k ，则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为01=-+y x 或05=-+y x ．误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为1=+aya x ．由直线过点)2,3(，得123=+aa ，即5=a ，也即方程为05=-+y x ． 在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0．显见，当1=k 时，直线01=--y x 的两轴上的截距分别为1和－1，它们不相等．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解．典型例题六例6 已知在第一象限的ABC ∆中，)1,1(A 、)1,5(B ，3π=∠A ，4π=∠B ，求：(1)AB 边的方程；(2)AC 和BC 所在直线的方程． 分析：(1)当直线与x 轴平行时或垂直时，不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知AC 、BC 的斜率，根据点斜式方程即可得出结果．解：(1)如图，AB 的方程为1=y )51(≤≤x ．(2)由AB ∥x 轴，且ABC ∆在第一象限知AC 的斜率33tan==πAC k ，BC 的斜率1)4tan(-=-=ππBC k ． 所以，AC 边所在直线的方程为)1(31-=-x y ，即0313=-+-y x ．BC 边所在直线的方程为)5(11--=-x y ，即06=-+y x ．说明：(1)AB 边是一条线段，要注意变量x 的取值范围．(2)解题中，要注意画出图形，便于直观地得到所求直线所具备的条件．典型例题七例7 若ABC ∆的顶点)4,3(A ，)0,6(B ，)2,5(--C ，求A ∠的平分线AT 所在的直线的方程．分析：两个条件确定一条直线．要求AT 的方程，已知点A 的坐标，只要再找出AT 的斜率或点T 的坐标就可以了．在三角形中，A ∠的平分线有下列性质：(1)TAB CAT ∠=∠；(2)AT 上任一点到两边AB 、AC 的距离相等；(3)ABCA TBCT =．用其中任何一个性质，都可以确定第二个条件．解法一：∵10)24()53(22=+++=AC ，54)63(22=+-=AB ，∴T 分BC 所成的比为2===ABACTB CT λ． 设T 的坐标为),(y x ，则：3721625=+⨯+-=x ，3221022-=+⨯+-=y ，即)32,37(-T ．由两点式得AT 的方程为3733732432--=++x y ，即0177=--y x ． 解法二：直线AC 到AT 的角等于AT 到AB 的角，43)5(3)2(4=----=AC k ，346304-=--=AB k ．设AT 的斜率为k (34-<k 或34>k )，则有 k k k k )43(14343143-+--=+-． 解得7=k 或71-=k （舍去）． ∴直线AT 的方程为)3(74-=-x y ，即0177=--y x ．解法三：设直线AT 上动点),(y x P ，则P 点到AC 、AB 的距离相等，即：574352434+-=-+y x y x ， ∴037=-+y x 或0177=--y x结合图形分析，知037=-+y x 是ABC ∆的角A 的外角平分线，舍去． 所以所求的方程为0177=--y x ．说明：(1)确定不同条件下的直线方程是高考的重要内容，其方法主要是待定系数法（如解法一、解法二）和轨迹法（如解法三）．要熟练掌握直线方程各种形式间的相互转化．点斜式是直线方程最重要的一种形式，要加强这方面的训练．(2)解法三涉及到后面将要学到的知识．这里先把它列出来，作为方法积累．典型例题八例8 求过点)4,5(--P 且分别满足下列条件的直线方程： (1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；(2)与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且53∶∶=BP AP ． 分析：对于(1)，既可借助于截距式求解，也可以利用点斜式来求解；对于(2)，利用截距式求解较为简便．解法一：设所求的直线方程为1=+b ya x ． 由直线过点)4,5(--P ，得145=-+-ba ，即ab b a -=+54．又521=⋅b a ，故10=ab ． 联立方程组⎩⎨⎧=-=+,10,54ab ab b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a ． 故所求直线方程为1425=+-yx 和125=-+y x ，即： 02058=+-y x 和01052=--y x ．解法二：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ，它与两坐轴的交点为)0,54(kk-，)45,0(-k ．由已知，得5544521=-⋅-kk k ，即k k 10)45(2=-． 当0>k 时，上述方程可变成01650252=+-k k ，解得58=k ，或52=k ． 由此便得欲求方程为02058=+-y x 和01052=--y x ．(2)解：由P 是AB 的分点，得53±==PB AP λ． 设点A 、B 的坐标分别为)0,(a ，),0(b ．当P 是AB 的内分点时，53=λ． 由定比分点公式得8-=a ，332-=b ．再由截距式可得所求直线方程为03234=++y x ．当点P 是AB 的外分点时，53-=λ．由定比分点公式求得2-=a ，38=b ．仿上可得欲求直线方程为0834=+-y x ．故所求的直线方程为03234=++y x ，或0834=+-y x ．说明：对于(1)，应注意对题意的理解，否则，就较易得到ab b a -=+54，且10=ab ，从而遗漏了10-=ab 的情形；对于(2)，应当区分内分点与外分点两种不同的情形．必要时，可画出草图直观地加以分析，防止漏解． 求直线的方程时，除应注意恰当地选择方程的形式外，还应注意到不同形式的方程的限制条件．如点斜式的限定条件是直线必须存在斜率；截距式的限定条件为两轴上的截距都存在且不为0；两点式的限定条件是直线不与x 轴垂直，也不与y 轴垂直．除此以外，还应注意直线方程形式之间的相互转化．典型例题九例9 已知两直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的交点为)3,2(P ，求过两点),(11b a Q 、),(22b a Q 的直线方程．分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答． 解法一：∵)3,2(P 在已知直线上，∴⎩⎨⎧=++=++013201322211b a b a∴0)(3)(22121=-+-b b a a ，即322121-=--a a b b ．故所求直线方程为)(3211a x b y --=-． ∴0)32(3211=+-+b a y x ，即0132=++y x ． 解法二：∵点P 在已知直线上，∴⎩⎨⎧=++=++013201322211b a b a可见),(111b a Q 、),(222b a Q 都满足方程0132=++y x ， ∴过1Q 、2Q 两点的直线方程为0132=++y x ．说明：解法二充分体现了“点在直线上，则点的坐标满足直线方程；反之，若点的坐标满足方程，则直线一定过这个点”．此解法独特，简化了计算量，能培养学生的思维能力．典型例题十例10 过点)4,1(P 引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线方程．分析：利用直线方程的点斜式，通过两截距之和最小求出直线的斜率，从而求出直线方程．或借助直线方程的截距式，通过两截距之和最小，求出直线在两轴上的截距，从而求出直线的方程．解法一：设所求的直线方程为)1(4-=-x k y ．显见，上述直线在x 轴、y 轴上的截距分别为k41-、k -4． 由于041>-k，且04>-k 可得0<k ． 直线在两坐标轴上的截距之和为：945)4()(5)4()41(=+≥-+-+=-+-=k k k k S ，当且仅当kk 4-=-，即2-=k 时，S最小值为9．故所求直线方程为)1(24--=-x y ，即062=-+y x ．解法二：设欲求的直线方程为1=+bya x (0>a ，0>b )． 据题设有141=+ba ， ① 令b a S +=． ②①×②，有94545)41)((=+≥++=++=baa b b a b a S ．当且仅当b a a b 4=时，即b a =2，且141=+ba ，也即3=a ，6=b 时，取等号．故所求的直线方程为163=+yx ，即062=-+y x ．说明：在解法一中，应注意到0<k 这个隐含条件．否则，由)4(5kk S +-=，将很有可能得出错误的结果．如145)4(5=-≥+-=k k S ，145)4(5=-≤+-=kk S 等等． 在解法二中，应注意运算过程中的合理性，即讲究算理，不然，将会使运算过程不胜其繁．如采取下述方法：由①，用a 来表示b ，再代入②中，把S 化归成a 的函数．从解题思维方法上说无可厚非，但这种方法将使运算难度陡然增加．不如保持本质、顺其自然好．典型例题十一例11 已知523=+b a ，其中a 、b 是实常数，求证：直线010=-+by ax 必过一定点．分析与解：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为01046=-+b a ，可知6=x ，4=y 即为方程010=-+by ax 的一组解，所以直线010=-+by ax 过定点（6，4）．说明：此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法．典型例题十二例12 直线l 过点M （2，1），且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ．点O 是坐标原点，（1）求当ABO ∆面积最小时直线l 的方程；（2）当MA MB 最小时，求直线l 的方程．解：（1）如图，设OA a =，OB b =，ABO ∆的面积为S ，则ab S 21=并且直线l 的截距式方程是a x ＋by＝1 由直线通过点（2，1），得a 2＋b1＝1 所以:2a ＝b111-＝1-b b因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母01>-b ．由此得:b bbb a S ⨯-=⨯=121111112-++=-+-=b b b b 2111+-+-=b b 422=+≥ 当且仅当=-1b 11-b ，即2=b 时，面积S 取最小值4， 这时4=a ，直线的方程是:4x ＋2y＝1即:042=-+y x（2）设θ=∠BAO ，则MA ＝θsin 1，MB ＝θcos 2，如图，所以 MA MB ＝θsin 1θcos 2＝θ2sin 4当θ＝45°时MA MB 有最小值4，此时1=k ，直线l 的方程为03=-+y x ． 说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力．动画素材中有关于此题的几何画板演示．典型例题十三例13 一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l 和温度t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度．解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的两点式方程，得：4025.104050.104025.10--l ＝204020--t即 l ＝0.002520t⨯＋10.4000当t ＝25°时 l ＝0.00252025⨯＋10.4000＝0.0031＋10.4000＝10.4031即当t ＝25°时，铁棒长为10.4031米．说明：直线方程在实际中应用非常广泛．典型例题十三例13 一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l 和温度t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度．解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的两点式方程，得：4025.104050.104025.10--l ＝204020--t即 l ＝0.002520t⨯＋10.4000 当t ＝25°时 l ＝0.00252025⨯＋10.4000＝0.0031＋10.4000＝10.4031即当t ＝25°时，铁棒长为10.4031米．说明：直线方程在实际中应用非常广泛．。

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。

直线方程经典例题及解析直线是我们在几何学中经常遇到的基本概念之一，研究直线方程是数学中的一个重要分支。

本文将介绍几个经典的直线方程例题，并逐步解析它们的求解过程。

例题1：求过两点的直线方程已知直线上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，请求出通过这两个点的直线方程。

解析：我们知道，直线的方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是与y 轴交点的纵截距。

首先我们需要计算斜率k，根据斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)然后，我们可以使用其中一个点（例如A点），将点坐标带入方程：y1 = kx1 + b可以得到b的值：b = y1 - kx1因此，通过这两个点的直线方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + (y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1)这就是通过两个已知点求直线方程的方法。

例题2：求与两直线的交点已知直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，求两直线的交点坐标。

解析：假设L1和L2的交点坐标为(x, y)。

那么根据直线方程，我们可以得到：k1x + b1 = k2x + b2整理后可得：(k1 - k2)x = b2 - b1从而得到交点横坐标x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)将x的值带入任意一条直线方程中，可以求出交点纵坐标y的值。

综上所述，我们可以通过以上步骤求得直线L1和L2的交点坐标。

例题3：已知截距和斜率求直线方程已知直线L的斜率为k，与y轴的截距为b，请求直线L的方程。

解析：根据直线方程y = kx + b，我们已知直线L的截距和斜率。

根据已知信息，我们可以直接写出直线L的方程：y = kx + b就是这么简单！我们只需将已知的斜率k和截距b带入直线方程即可求得直线L的方程。

例题4：已知直线与坐标轴的交点已知直线L与x轴和y轴的交点分别为A(2,0)和B(0,3)，求直线L的方程。

高中数学例题：过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x ―3y ―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y ―1=0平行的直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．解法一：设所求的直线为l ，由方程组233020x y x y --=⎧⎨++=⎩得3575x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∵直线l 和直线3x+y ―1=0平行，∴直线l 的斜率k=―3． ∴根据点斜式有73355y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即所求直线方程为15x+5y+16=0．解法二：∵直线l 过两直线2x ―3y ―3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x ―3y ―3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ―3)y+2λ―3=0．∵直线l 与直线3x+y －1=0平行， ∴2323311λλλ+--=≠-，解得112λ=． 从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 举一反三：【变式1】求证：无论m 取什么实数，直线(2m ―1)x+(m+3)y ―(m ―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m ―1)x+(m+3)y ―(m ―11)=0，令m=0，得x ―3y ―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组31104100x y x y ---⎧⎨++=⎩，得两直线的交点为（2，―3）． 将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m ―1)×2+(m+3)×(―3)―(m ―11)=4m ―2―3m ―9―m+11=0．这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）． 证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x+y ―1)m+(―x+3 y+11)=0．由于m 取值的任意性，有2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩． 所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．。