高中高一数学直线方程重点学习学习知识点学习重点学习归纳与典型例题.doc

高一数学重点知识点：直线与方程
高一数学重点知识点：直线与方程高中数学可以说是越来越复杂，上半年基础打好之后，下半学期的重点难点会接连而来，下面是高一数学重点知识点讲解，希望学生能以此找到更合适自己的学习方法。

一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0180
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程
①点斜式：
线不在直线系中。

(5)两直线平行与垂直
当，时，;
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

(6)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解;方程组有无数解与重合
(7)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则
(8)点到直线距离公式：一点到直线的距离
(9)两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于G 和P 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为AG+BP+C=0，这个方程(其中A 、B 不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A 、B 不全为零才能表示一条直线，若A 、B 全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A C y x B B =--，它表示过点0,C B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，斜率为A B -的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为AG+C=0，即Cx A=-，它表示一条与G 轴垂直的直线．由上可知，关于G 、P 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于G 、P 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于G 、P 的一次方程（如斜率为2，在P 轴上的截距为1的直线，其方程可以是2G ―P+1=0，也可以是11022x y -+=，还可以是4G ―2P+2=0等．） 要点二：直线方程的不同形式间的关系在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（G 1≠G 2，P 1≠P 2），应用时若采用(P 2―P 1)(G ―G 1)―(G 2―G 1)(P ―P 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=-于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++= 1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是12-，经过点A （8，―2）； （2）经过点B （4，2），平行于G 轴； （3）在G 轴和P 轴上的截距分别是32，―3； （4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）． 【答案】（1）G+2P ―4=0（2）P ―2=0（3）2G ―P ―3=0（4）10x y +-= 【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得G+2P ―4=0． （2）由斜截式得P=2，化为一般式得P ―2=0．（3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2G ―P ―3=0． （4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：G 的系数为正，G ，P 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含G 项、P 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点(3,1)B -，且倾斜角是30︒，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】1(3)3y x +=-330y --= 【解析】因为直线倾斜角是30︒，所以直线的斜率tan tan 303k α==︒=，所以直线的点斜式方程为：1(3)3y x +=-330y --=. 例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线 的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．求与直线3G+4P+1=0平行且过点（1，2）的直线l 的方程． 【答案】3G+4P ―11=0 【解析】解法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3G+4P+1=0平行，∴34k =-． 又∵l 经过点（1，2），可得所求直线方程为32(1)4y x -=--，即3G+4P ―11=0． 解法二：设与直线3G+4P+1=0平行的直线l 的方程为3G+4P+m=0， ∵l 经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11． ∴所求直线方程为3G+4P ―11=0． 【总结升华】（1）一般地，直线AG+BP+C=0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线AG+BP+C=0平行的直线可设为AG+BP+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称AG+BP+m=0是与直线AG+BP+C=0平行的直线系方程．参数m 可以取m≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线AG+BP+C=0平行的直线．当m=C 时，AG+BP+m=0与AG+BP+C=0重合．（2）一般地，经过点A （G 0，P 0），且与直线AG+BP+C=0平行的直线方程为A(G ―G 0)+B(P ―P 0)=0． （3）类似地有：与直线AG+BP+C=0垂直的直线系方程为BG ―A P+m=0（A ，B 不同时为零）． 举一反三：【变式1】已知直线1l ：3mG+8P+3m-10=0和2l ：G+6mP-4=0.问m 为何值时:（1）1l 与2l 平行（2）1l 与2l 垂直.【答案】（1）23m =-（2）0m = 【解析】当0m =时，1l ：8P-10=0；2l ：G-4=0，12l l ⊥当0m ≠时，1l ：310388m m y x -=-+；2l ：1466y x m m=-+由3186m m -=-，得23m =±，由103486m m -=得2833m =或 而31()()186m m-⋅-=-无解综上所述（1）23m =-，1l 与2l 平行．（2）0m =，1l 与2l 垂直．【变式2】求经过点A （2，1），且与直线2G+P ―10=0垂直的直线l 的方程． 【答案】G －2P=0【解析】因为直线l 与直线2G+P ―10=0垂直，可设直线l 的方程为20x y m -+=，把点A （2，1）代入直线l 的方程得：0m =，所以直线l 的方程为：G －2P=0．类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程． 【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在P 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可． 【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±． 设l 的方程为34y x b =±+，令P=0，得43x b =±．∴直线l 与G 轴、P 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在P 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．举一反三： 【变式1】（2015春启东市期中）已知直线m ：2G ―P ―3=0，n ：G +P ―3=0． （1）求过两直线m ，n 交点且与直线l ：G +2P ―1=0平行的直线方程； （2）求过两直线m ，n 交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程． 【思路点拨】（1）求过两直线m ，n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ：G +2P ―1=0平行的直线方程；（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【答案】（1）G +2P ―4=0；（2）【解析】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即两直线m ，n 交点坐标为（2，1），设与直线l ：G +2P ―1=0平行的直线方程为G +2P +c =0， 则2+2×1+c =0，解得c =―4，则对应的直线方程为G +2P ―4=0； （2）设过（2，1）的直线斜率为k ，（k ≠0）， 则对应的直线方程为P ―1=k (G ―2)，令G =0，P =1―2k ，即与P 轴的交点坐标为A （0，1―2k ）令P =0，则1212k x k k -=-=，即与G 轴的交点坐标为21(,0)k B k -， 则△AOB 的面积121|||12|42k S k k-=⨯-=，即2(21)8k k -=， 即244810k k k --+=，若k ＞0，则方程等价为241210k k -+=，解得32k +=32k -=， 若k ＜0，则方程等价为24410k k ++=，解得12k =-．综上直线的方程为11(2)2y x -=--，或12)y x -=-，或12)y x -=- 即122y x =-+，或322y x +=--322y x -=-+ 类型三：直线方程的实际应用例6．（2015春湖北期末）光线从点A （2，3）射出，若镜面的位置在直线l ：G +P +1=0上，反射光线经过B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点A 关于l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A 到B 所走过的路线长．【解析】设点A 关于l 的对称点A ＇（G 0，P 0），∵AA ＇被l 垂直平分，∴0000231022312x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得0043x y =-⎧⎨=-⎩∵点A ＇（―4，―3），B （1，1）在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为341314y x ++=++，即4G ―5P +1=0， 解方程组451010x y x y -+=⎧⎨++=⎩得入射点的坐标为21(,)33--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为1233123233y x ++=++，即5G ―4P +2=0， 光线从A 到B所走过的路线长为|'|A B ==．【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．举一反三： 【变式1】（2016春福建厦门期中）一条光线从点A （－4，－2）射出，到直线P =G 上的B 点后被直线P =G 反射到P 轴上的C 点，又被P 轴反射，这时反射光线恰好过点D （－1，6）．求BC 所在直线的方程．【答案】10G －3P +8=0【解析】如图，A （－4，－2），D （－1，6），由对称性求得A （－4，－2）关于直线P =G 的对称点A ＇（－2，－4）， D 关于P 轴的对称点D ＇（1，6），则由入射光线和反射光线的性质可得：过A ＇D ＇的直线方程即为BC 所在直线的方程． 由直线方程的两点式得：426412y x ++=++． 整理得：10G －3P +8=0．例7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1m 2）【答案】6017【解析】建立坐标系，则B （30，0），A （0，20）．∴由直线的截距方程得到线段AB 的方程为13020x y+=（0≤G ≤30）． 设点P 的坐标为（G ，P ），则有2203y x =-． ∴公寓的占地面积为2(100)(80)(100)(8020)3S x y x x =-⋅-=-⋅-+2220600033x x =-++（0≤G ≤30）． ∴当G=5，503y =时，S 取最大值，最大值为222205560006017(m )33S =-⨯+⨯+≈．即当点P 的坐标为50(5,)3时，公寓占地面积最大，最大面积为6017m 2．【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A 、P 、B 三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求G 与P 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．。

直线的一般式方程及综合【学习目标】1. 掌握直线的一般式方程；2 .能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3 .能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为Ax+By+C=0 ，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式.要点诠释：1 . A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线..、一、. A C ............................................ 一C . A ...................................当B照时，万程可变形为y —x g ,它表示过点°，甘，斜率为E的直线.C …一—………当B=0 , AP时，万程可变形为Ax+C=0，即x 只，它表示一条与x轴垂直的直线.由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线.2 .在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x — y+1=0 ,— 1 1也可以是x —— 0 ,还可以是4x — 2y+2=0 等.）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：方程的形式常数的几何意义适用范围名称求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多(X1方2 , yi句2 ),应用时若采用(y2 —y i)(x — x i) 一(X2— x i)(y — y i)=0的形式，即可消除局限性.截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件.直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式.一般式常化为斜截式与截距式.若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同.要点三：直线方程的综合应用i •已知所求曲线是直线时，用待定系数法求.2. 根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程.对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同.(i) 从斜截式考虑已知直线l i: y k〔x n,l2:y k2x b2,l i //12 i 2k i k2(b i b2)；.. ，，，i …/l i 12 i 2 tan i cot 2 k i k i k2 ik 2于是与直线y kx (2)从般式考虑: b平行的直线可以设为y kx b| ；垂直的直线可以设为y1 -xk b2.11: A1x B1y C1I1 I2 AA20,l2: A2x B2y C2B1B20I1 //12 A1B2A2B1 0 且A1C2 A2C10或B1C2 B2C1 0,记忆式( A1A2邑B2C1C2l i与12 重合，AB2 A2B1 0, A1C2 A2C1 0, B1C2 B2C1 0于是与直线Ax By C 0平行的直线可以设为Ax By D 0 ;垂直的直线可以设为Bx Ay D 0.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1 .根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.(1) 斜率是1 ,经过点A (8 , — 2);(2) 经过点B (4 , 2 )，平行于x轴；(3) 在x轴和y轴上的截距分别是 -，—3 ;2(4)经过两点P1 (3，一2), P2 (5, — 4).【答案】(1) x+2y — 4=0(2) y-2=0 (3) 2x — y — 3=0 (4) x y 1 01 .. ...... ...................... ....【解析】(1)由点斜式方程碍y ( 2) — (x 8)，化成一般式得x+2y — 4=0 .(2) 由斜截式得y=2，化为一般式得y — 2=0 .(3) 由截距式得—1,化成一般式得2x — y — 3=0 .3 32(4) 由两点式得y 2 M化成一般式方程为x y 1 0.4(2) 5 3【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x, y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列.求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式.举一反三:【变式1】已知直线l 经过点B （3, 1）,且倾斜角是 【答案】y 1——（x 3） 3x 3y 3 3 3 0 3【解析】因为直线倾斜角是 30，所以直线的斜率 k tan tan30为：y 1 ■■— （x 3）,化成一般式方程为：J 3x 3 y3/33 0.3例2. ABC 的一个顶点为 A （ 1, 4） , B 、 C 的平分线在直线 y 和x y 1 0上，求直线BC 的方程.【答案】x 2y 3 0【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ，所以可得A 点关于 B 的平分线的对称点 A 在BC 上，B 点关于 C 的平分线的对称点B 也在BC 上.写出直线 AB 的方程，即为直线 BC 的方程.例3 .求与直线3x+4y+1=0 平行且过点（1 , 2）的直线l 的方程.【答案】3x+4y —11=0 【解析】3 解法一：设直线l 的斜率为k, -. l 与直线3x+4y+1=0 平仃，.•• k -.43又..•l 经过点（1 , 2），可得所求直线万程为 y 2 一（x 1）,即3x+4y —11=0 .4解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0 ,•• l 经过点（1 , 2）, .-.3 刈+4 X2+m=0 ，解得 m= —11 . 所求直线方程为3x+4y —11=0 .【总结升华】（1 ）一般地，直线Ax+By+C=0 中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0 平行的直线可设为 Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧.我们称 Ax+By+m=0是与直线 Ax+By+C=0平行的直线系方程.参数m 可以取m 北的任意实数，这样就得到无数条与直线 Ax+By+C=0 平行的直线.当 m=C 时，Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合.(2) 一般地，经过点 A (x o, y o)，且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x — x o )+B(y — y o )=0 . (3)类似地有：与直线30 ,求直线的点斜式方程和一般式方程_3 3所以直线的点斜式方程Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx — Ay+m=0(A , B 不同时为零).举一反三:【变式1】已知直线11 : 3mx+8y+3m-10=0 和12 : x+6my-4=0 . 问m 为何值时： （1） l i 与12平行（2） l i 与I 2垂直.2-【答案】（1） m -（2） m 03【解析】当 m 0时，11 : 8y-10=0 ; 12 : x-4=0 ,1112当m 。

高一数学知识点归纳：直线系方程进入到高中阶段，大家的学习压力都是呈直线上升的，因此平时的积累也显得尤为重要，高一数学知识点归纳为大家总结了高一年级各版本及各单元的素有知识点内容，希望大家能谨记呦！！
高一数学知识点归纳：直线系方程
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数) (二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;
(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。

有的高一学生觉得老师讲过的已经听明白了。

但为什么一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。

因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。

能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。

尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。

如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

知识点是同学们提高总体学习成绩的重要途径，高一数学知识点归纳为大家巩固相关重点，让我们一起学习，一起进步吧!。

直线与方程知识点总结一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。

②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。

特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。

（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

y-
y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直线的截距式方程：已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ，与 y 轴的交点为 B (0,b) ，
其中 a 0,b 0
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 （A，B 不同时为
C．－3
D．－1
1 a6 解析：由题意，两直线斜率存在，由 l1∥l2 知a－2＝3≠2a，∴a＝－1 答案：D
14．直线 3x－2y－4＝0 的截距式方程是( )
3x y A. 4 －4＝1
xy 11 B.3－2＝4 3x y C. 4 ＋－2＝1 x 4y D.3＋－2＝1
答案：D
15．已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )
B．3x－4x＋9＝0
C．3x－4y－11＝0 或 3x－4y＋9＝0
D．3x－4y＋11＝0 或 3x－4y－9＝0 答案：C
强化练习
一 选择题 1．直线 y＝－2x＋3 的斜率和在 y 轴上的截距分别是( )
A．－2,3
B．3，－2
C．－2，－2
D．3,3
[答案] A
2．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为( )
2 A.5
2 C．－ 5
B．6 D．－6
解析：令 y＝0，得(m＋2)x＝2m，将 x＝3 代入得 m＝－6，故选 D.
答案：D
8．过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是( )
xy
xy
A.3＋2＝1
B.2＋3＝1
xy
xy
C.3－2＝1
D.2－3＝1
答案：B

高一下册《直线与方程》知识点总结一、直线与方程直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;与P1、P2的顺序无关;以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

直线方程①点斜式：直线斜率，且过点注意：当直线的斜率为0°时，=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直线斜率为，直线在y轴上的截距为b③两点式：直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：⑤一般式：注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：;平行于y轴的直线：;直线系方程：即具有某一共同性质的直线平行直线系平行于已知直线的直线系：过定点的直线系斜率为的直线系：，直线过定点;过两条直线，的交点的直线系方程为，其中直线不在直线系中。

两直线平行与垂直当，时，;注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

两条直线的交点相交：交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解;方程组有无数解与重合两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则点到直线距离公式：一点到直线的距离两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

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α0°。

则直线的l 与x l 做直线的倾斜角。

当直线轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为倾斜角的取值2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。

3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。

4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即α的正切值叫做这条直线的斜率5.斜率：一条直线的倾斜角，我们用斜率表示直线的倾斜程度。

斜率常用表示，小写字母k注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。

的直线的斜率公式(,),(,)6.经过两点≠P x y P x y x x 11122212()为l 1与l 2l l 1k 1=k 2l 1和l 2注意：若直线可能重合时，我们得到⇔∥2或重合8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于1⊥2⇔12=--1，那么它们互相垂直，即l l k k 15二、直线的方程（个）-0==0,l l 与x l 的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0y -y 0=k (x -x 01.直线的点斜式方程（简称点斜式）：)【当直线，这是直线轴平行或重合，的方程就是y y y y 或0】注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。

0,y l x a l 与x 截距：我们把直线轴交点,0()的横坐标a 叫做直线在轴上的截距。

我们把直线与轴交点b () l 在y 的纵坐标b 叫做直线轴上的截距。

注意：截距不是距离，截距是数。

2.直线的斜截式方程（简称斜截式）：=+y kx b 注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。

注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。

一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的夹角α叫高一数学必修：直线与方程（知识点）②若P x y P x y ,,,111222()()中有=x x 12或=y y 12时，直线PP 12没有两点式方程。

高一数学重点知识点：直线与方程高中数学可以说是越来越复杂，上半年基础打好之后，下半学期的重点难点会接连而来，下面是高一数学重点知识点讲解，希望学生能以此找到更合适自己的学习方法。

一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：(A，B不全为0)⑤一般式：(A，B不全为0)注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数) (二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。

(5)两直线平行与垂直当，时，;注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

高一年级数学上册三单元直线的方程必修二知识点青春是一场远行，回不去了。

青春是一场相逢，忘不掉了。

但青春却留给我们最宝贵的友情。

友情其实很简单，只要那么一声简短的问候、一句轻轻的谅解、一份淡淡的惦记，就足矣。

当我们在毕业季痛哭流涕地说出再见之后，请不要让再见成了再也不见。

这篇《高一年级数学上册三单元直线的方程必修二知识点》是小编高一频道为你整理的，希望你喜欢！定义：从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与_轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于_轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。

在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。

因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

表达式：斜截式:y=k_+b两点式:(y-y1)/(y1-y2)=(_-_1)/(_1-_2)点斜式:y-y1=k(_-_1)截距式:(_/a)+(y/b)=0补充一下：最基本的标准方程不要忘了,A_+BY+C=0,因为,上面的四种直线方程不包含斜率K不存在的情况,如_=3,这条直线就不能用上面的四种形式表示,解题过程中尤其要注意,K不存在的情况。

练习题：1.已知直线的方程是y+2=-_-1，则()A.直线经过点(2，-1)，斜率为-1B.直线经过点(-2，-1)，斜率为1C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1D.直线经过点(1，-2)，斜率为-1【解析】选C.因为直线方程y+2=-_-1可化为y-(-2)=-[_-(-1)]，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1.2.直线3_+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有()A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3【解析】选C.直线方程3_+2y+6=0化为斜截式得y=-_-3，故k=-，b=-3. 3.已知直线l的方程为y+1=2(_+)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为()A.B.2C.log26D.0【解析】选B.由题意得a=2，令_=0，得b=4，所以logab=log24=2.4.直线l：y-1=k(_+2)的倾斜角为_5°，则直线l在y轴上的截距是()A.1B.-1C.2D.-2【解析】选B.因为倾斜角为_5°，所以k=-1，所以直线l：y-1=-(_+2)，令_=0得y=-1.5.经过点(-1，1)，斜率是直线y=_-2的斜率的2倍的直线是()A._=-1B.y=1C.y-1=(_+1)D.y-1=2(_+1)【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2_=.则所求直线方程为y-1=(_+1).高一年级数学上册三单元直线的方程必修二知识点.。

(完整版)直线方程知识点总结直线方程知识点总结
直线方程是数学中的重要概念，我们可以通过直线方程来描述
直线的特征和性质。

以下是直线方程的一些关键知识点总结：
1. 一般形式的直线方程
直线的一般形式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，A和B不同时为0。

这种形式的方程可以表示任意直线。

2. 斜率截距形式的直线方程
直线的斜率截距形式方程为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

通过斜率和截距，我们可以轻松地确定
直线的位置和形状。

3. 点斜式的直线方程
直线的点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。

通过给定直线上的一点和斜率，可以轻
松地确定直线的方程。

4. 两点式的直线方程
直线的两点式方程为(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。

通过给定直线上的两个点，可以轻松地确定直线的方程。

5. 向量法的直线方程
直线的向量法方程为r = a + t*ab，其中r是直线上一点的位置矢量，a是直线上的已知点的位置矢量，ab是直线的方向向量，t 是参数。

通过给定直线上的一点和方向向量，可以轻松地确定直线的方程。

以上是直线方程的一些基本知识点总结。

直线方程的选择取决于已知条件和问题的要求，可以根据具体情况选择合适的形式进行计算和分析。

高中数学直线方程的知识重点总结高中数学直线方程的知识重点总结直线方程作为高中数学的重点内容之一，是数学学科中最基础的章节之一。

在高中阶段中，学生需要学习如何确定直线的坐标、直线的斜率、使用不同的方法确定直线方程等等。

在这篇文章中，我们将对高中数学直线方程的知识点进行总结，以便更好地掌握和复习这一重要内容。

一、基础概念(1) 直线的坐标在数学中，直线也称为一条“线段”。

直线的坐标通常用两个点来表示。

例如，一条直线通过坐标系上的点A(2,3)和B(4,7)，则可以表示为直线AB。

(2) 直线的斜率斜率也常被称为“坡度”。

它是两个点之间高度差和水平距离之比。

其计算公式为：斜率=（y2-y1）÷（x2-x1）例如，一条直线通过坐标系上的点A(2,3)和B(4,7)，则可以计算斜率为（7-3）÷（4-2）=2。

(3) 直线的截距“截距”指的是一条直线与x轴和y轴相交时的两个交点。

具体来说，截距可以分为x轴截距和y轴截距。

二、直线方程的求解(1) 一般形式直线的一般形式为：Ax+By+C=0其中，A、B和C均为常数，x和y为未知数。

(2) 截距式直线的截距式通常表示为：y=kx+b其中，k为斜率，b为y截距。

(3) 斜截式直线的斜截式通常表示为：y-y1=k(x-x1)其中，k为斜率，（x1，y1）为直线上的一点。

(4) 点斜式直线的点斜式通常表示为：y-y1=k(x-x1)其中，k为斜率，（x1，y1）为直线上的一点。

三、直线方程的性质(1) 平行线的斜率相同。

对于两条平行线，它们的斜率是相同的。

(2) 垂直线的斜率为相反数。

对于两条垂直的直线，它们的斜率是相反数。

(3) 两个点确定一条直线。

通过任意两个不同的点，我们可以确定一条直线。

(4) 一般情况下，两直线交点的坐标可以通过联立两直线方程求解。

总之，直线方程是高中数学中最基础的内容之一。

理解直线方程的基本知识，并掌握直线方程的求解方法和性质，可以帮助学生更好地应用相关数学知识，提高应对各种数学问题的能力。

直线方程（知识整理）.一．基础知识回顾 （1）直线的倾斜角一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.（2） 直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b ya x .附直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.（3）两条直线的位置关系 10两条直线平行1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . 20两条直线垂直两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）（4）两条直线的交角①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k kk +-=θ.②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.（5）点到直线的距离 ①点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.②两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离2221BA C C d +-=.（6）对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x –2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二．范例解析例1．已知直线l 过点P(-1,1)且与A(-2, 3)、B(3,2)为端点的线段相交，试求直线l 倾斜角α的取值范围。

高一数学下册直线与方程知识点
(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。

(5)两直线平行与垂直
当，时，;
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

(6)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解;方程组有无数解与重合
(7)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则
(8)点到直线距离公式：一点到直线的距离
(9)两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

最后，希望小编整理的高一数学下册直线与方程知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。