轨迹方程经典例题

轨迹方程的五种求法例题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有λ=MQMN ，即λ=-MQONMO 22，λ=+--+2222)2(1yx y x ．整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．若1=λ，方程化为45=x ，它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，13122-+λλ为半径的圆．二、代入法若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．例2 已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解析】：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PBAPλ，∴.2121,212311++=++=y y x x 解得2123,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),31(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．例3 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A ）012122=+-x y （B ）012122=-+x y （C ）082=+x y （D ）082=-x y【解析】：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．例4 一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为 （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆【解析】：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支，选（C ）． 四、参数法若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例5设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQOP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解析】：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a bx a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b ab a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分． 五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例6 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ，设长为2的线段AB 在直线λ上移动，求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．【解析】：PA 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设)1,1(),,(++t t B t t A ，则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ，得.082222=+-+-y x y x 当t =－2，或t =－1时，PA 与QB 的交点坐标也满足上式，所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．。

高考数学轨迹问题专题练习题讲解第1讲 轨迹问题一．选择题（共12小题）1．方程|1|x −=所表示的曲线是( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x − 得22(1)(1)1x y −+−=，其中02x 剟，02y 剟．因此方程|1|x −表示以(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆． 故选：A ．2．方程||1x −=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y −=−， 化简得22(||1)(1)1x y −+−=，由||10x −…得||1x …，即1x …或1x −…， 当1x …时，方程为22(1)(1)1x y −+−=， 表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆； 当1x −…时，方程为22(1)(1)1x y ++−=， 表示圆心为(1,1)−且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x −= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5． 其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)−，(0,1)，(0,1)−，(1,1)，(1,1)−，(1,1)−，(1,1)−−，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)−−均在曲线C 上，而这两点间的距离为2，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y −+−=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay −剟；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =， 将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，③正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误． 故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y −剟；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，②正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =−∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠…，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +−=（原点除外）B ．2220x y py +−=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OM AB ⊥得x k y=−， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +−+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =−， 所以(2)y kx b k x p =+=−，把xk y =−代入得2220(0)x y px y +−=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3 C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得3||2OP ． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍， 当0x …且0y …时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+， 即22220x y x y +−−=， 即22(1)(1)2x y −+−=，圆心(1,1)C ，半径R ， 则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+， 故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y −−−+=B ．( 22)(1)0x y −+=C ．2(||1)(10x y x −−−+=D ．(2)(10x −+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y −−=或2210x y −+=，表示折线||1y x =−的全部和双曲线，故错误； 选项B 等价于22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…，或||10x y −−=，||10x y −−=表示折线||1y x =−的全部，故错误； 选项C 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或2210x y −+=，22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示折线||1y x =−在双曲线的外部 （包括有原点）的一部分，2210x y −+=表示双曲线，符合题中图象，故正确； 选项D 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…， 22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示表示折线||1y x =−在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误． 故选：C ．10．已知点集22{(,)|1}M x y y xy =−…，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( ) A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy …时，只需要满足21x …，21y …即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +…，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x −，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y −，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y −，y 换为x −，可得方程不变，则曲线关于直线y x =−对称； 曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==或y x ==C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误； 设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +…， 则223223()8()x y x y xy +=…，即18xy …，当且仅当x y =取得最大值，故③正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确． 故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M −、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为( )（1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x −+，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立， 则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x −代替x ，y −代替y 22(2)16x −−成立，16也成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在−到同理y 的取值只可能在−所以曲线C 在一个面积为= 综上，正确的命题有（2）（3），共2个． 故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a −，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a −的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”． 故点(P x ，0)y 满足2a ，点(M x −，0)y −代入2a ，得2a ，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a −+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误； 对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =， 化简得2222222()220x y a x a y +−+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=， 所以2PO 的最大值为22a ，22PO a −的最大值为2a ，故D 错误．故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈−C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++， 去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y −+−=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分， 因为点(,)x y −，(,)x y −，(,)x y −−都在曲线C 上， 所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示，由图可知曲线C关于原点对称，故选项A正确；令2214xy+=中的0y=，解得2x=，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x−剟，故选项B错误；令2214xy+=中的0x=，解得1y=，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32，曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C正确；令22(1)1()142xy−+−=中的0x=，可得12 y=所以到点1(0,)2，故选项D正确．故选：ACD．三．填空题（共6小题）15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y xy+=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C③曲线C所围成的“花形”区域的面积小于4．其中，所有正确结论的序号是②．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+…，方程化为：||1xy …，∴曲线C 上任意一点到原点的距离d ==，即曲线C③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②． 故答案为：②．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y −替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x …时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++…，可得222x y +…， 所以曲线经过点(0,1)，(0,1)−，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)−，(1,1)−，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x …时，222x y +…，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)−，(1,0)，(1,1)，(1,1)−围成的矩形面积122⨯=， 在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)−，(1,0)，(0,1)−围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误． 故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y +=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论： ①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限． 其中正确结论的序号是 ②④ ．【解答】解：22223222()16()2x y x y x y ++=…，224x y ∴+…（当且仅当222x y ==时取等号）， 则②正确；将224x y +=和22322()16x y x y +=联立， 解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得方程22322()16x y x y +=表示的曲线C 在第二象限和第四象限，故④正确． 故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =−的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是(0, ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ． 【解答】解：（1）设动点(,)P x y|1|3x +=， ①当4x <−时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x −−剟4x +，化为231015(1)2y x x =+−−厖，与y 轴无交点；③当1x >−2x −，化为223y x =−+，3(1)2x −<…． 令0x =，解得y =综上①②③可知：曲线C 与y轴的交点为(0,； （2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+−−⎪⎪=⎨⎪−+−<⎪⎩剟…．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x −+=， 解得 1.4x =−或1．①当 1.4a −…或1a …时，||||||PA PB AB +…，d ∴（a）||AB ==； ②当11a −<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =−+−<…相交时的交点P 满足||||PA PB +取得最小值， 此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）||2QB a ==−；③当 1.41a −<−…时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+−−剟相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =−，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q −，此时d （a ）||4QB a ==+．综上可知：d （a） 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a −=+−<−⎨⎪−−<<⎪⎩或剠…19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ． 【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+−+−==，所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+−，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=||AB ，所以可得P的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a =c =2221b a c =−=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b −−=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =−③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b −+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+； 设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤， 由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+． 故答案为：2233y x =+． 四．解答题（共5小题）21．如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以A ，B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，||AM =||3AN =，且||6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．【解答】解：法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为22(0)y px p =>，(A B x x x 剟，0)y >， 其中A x ，B x 分别为A ，B 的横坐标，||p MN =． 所以(2p M −，0)，(2pN ，0)．由||AM =||3AN =得 2()2172A A p x px ++=，① 2()292A A p x px −+=．② 由①，②两式联立解得4A x p =．再将其代入①式并由0p >解得421 2.A Ap p x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去22Ap x =⎧⎨=⎩ 所以4p =，1A x =．由点B 在曲线段C 上，得||42B px BN =−=． 综上得曲线段C 的方程为 28(14,0)y x x y =>剟．解法二：如图建立坐标系，分别以1l 、2l 为x 、y 轴，M 为坐标原点．作1AE l ⊥，2AD l ⊥，2BF l ⊥，垂足分别为E 、D 、F ． 设(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 、(N N x ，0)． 依题意有||||||3A x ME DA AN ====，||A y DM =，由于AMN ∆为锐角三角形，故有 ||||N x ME EN =+||4ME = ||||6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，222)|()N y x x y x −+=，A B x x x 剟，0}y >．故曲线段C 的方程为28(2)(36y x x =−剟，0)y >．22．已知双曲线2212x y −=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y −是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x 1(A 0)，2A 0)， 直线1A P 的斜率为1k =，∴直线1A P 的方程为y x =，⋯①同理可得直线2A Q 的方程为y x ．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =−−．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y −=上，∴221112x y −=，可得22211111(2)22x y x =−=−，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x −=−=−−，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程． 点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A 重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y ++=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)， 由题意得：12||2||2CF CF +=−或21||2||2CF CF +=−，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴−==<=，可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为 因此2a =，c =2221b c a =−=， 所以轨迹L 的方程为2214x y −=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10FQ =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =． （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△12F MF 的面积9S =，求12F MF ∠的正切值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ． 记1122||,||F P r F P r ==，则12r r = 由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=−===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)−在轨迹上． 当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点． 在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=． 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；（Ⅲ）结论：在点T 的轨迹C 上，存在点M 使△12F MF 的面积9S =，此时12F MF ∠的正切值为2． 理由如下：C 上存在点0(M x ，0)y 使9S =的充要条件是22000254||9x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，显然09||54y =<，∴存在点M ，使9S =； 不妨取094y =，则10(4MF x =−−，9)4−，20(4MF x=−，9)4−， 121212||||cos MF MF MF MF F MF =∠0(4x =−−，09)(44x −−，9)4−220916()4x =−+21 / 21 2209()164x =+− 25169=−=， 又12121||||sin 92S MF MF F MF =∠=， 121212121||||cos ||||sin 2MF MF F MF MF MF F MF ∴∠=∠， 12tan 2F MF ∴∠=．。

轨迹方程综合练习题轨迹方程综合练习题在数学中，轨迹方程是描述一个物体运动轨迹的数学表达式。

它可以帮助我们理解和预测物体在空间中的运动规律。

本文将通过一些综合练习题来加深对轨迹方程的理解和应用。

练习题一：抛物线轨迹方程假设有一个抛物线轨迹，顶点坐标为（0，0），焦点坐标为（2，0）。

求该抛物线的轨迹方程。

解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，由于顶点坐标为（0，0），所以c = 0。

又因为焦点坐标为（2，0），根据抛物线的性质可知焦距等于顶点到直线的距离的两倍，即2a = 2。

解得a = 1。

所以，该抛物线的轨迹方程为y = x^2 + bx。

练习题二：椭圆轨迹方程现有一个椭圆轨迹，长轴长度为6，短轴长度为4。

求该椭圆的轨迹方程。

解答：设椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。

根据题意，a = 6/2 = 3，b = 4/2 = 2。

所以，该椭圆的轨迹方程为x^2/9 + y^2/4 = 1。

练习题三：双曲线轨迹方程给定一个双曲线轨迹，焦点坐标为（0，2），离心率为2。

求该双曲线的轨迹方程。

解答：设双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a为双曲线的焦点到中心的距离，b为离心率。

根据题意，a = 2/2 = 1，离心率为2。

所以，该双曲线的轨迹方程为x^2 - y^2/4 = 1。

练习题四：直线轨迹方程给定一个直线轨迹，过点（2，3），斜率为2。

求该直线的轨迹方程。

解答：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

根据题意，斜率k = 2，过点（2，3），代入方程可得3 = 2*2 + b，解得b = -1。

所以，该直线的轨迹方程为y = 2x - 1。

通过以上练习题，我们可以看到轨迹方程的应用广泛且多样化。

无论是抛物线、椭圆、双曲线还是直线，轨迹方程都可以帮助我们更好地理解和描述物体的运动规律。

求轨迹程求曲线的轨迹程常采用的法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

(1)直接法 直接法是将动点满足的几条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的程，通过转换而求动点的轨迹程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数程. （5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹程.(6)待定系数法 求轨迹程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹程”是两个不同的概念.一、选择题：1、程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平，则动点的轨迹程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1) 7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹程是 （ ）A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹ B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹ C 、(x －2)2－(y+4)2=16 D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y 14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹程为 。

求解轨迹方程的常用方法主要有以下几种：
参数方程法：通过引入参数，将轨迹上的点的坐标表示为参数的函数形式，然后通过给定参数的取值范围，确定轨迹上的点的位置关系。

隐式方程法：将轨迹方程中的自变量与因变量通过一个方程联系起来，形成一个隐式方程，然后通过对方程进行求解和化简，得到轨迹的几何性质。

极坐标方程法：对于某些曲线，使用极坐标系可以更方便地描述其轨迹。

通过将轨迹上的点的极坐标表示，可以得到轨迹的极坐标方程。

下面是一个例题：
例题：求解椭圆的轨迹方程。

解答：椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义特点是到两个焦点的距离之和恒定。

我们可以使用参数方程法来求解椭圆的轨迹方程。

假设椭圆的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

取参数θ，定义点P在椭圆上的坐标为(x, y)。

那么根据椭圆的定义，可以得到以下参数方程：
x = a * cos(θ) y = b * sin(θ)
其中，θ的取值范围为0到2π。

通过给定θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的点的坐标关系。

进一步化简参数方程，可以得到椭圆的隐式方程：
(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
这就是椭圆的轨迹方程，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。

以上是求解轨迹方程的常用方法和一个椭圆轨迹方程的例题。

根据具体的问题和曲线类型，选择合适的方法进行求解和推导。

一、知识概要：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。

二、基本训练：1OC例OB例2、过点M( -2, 0)作直线L 交双曲线x 2－y 2 = 1于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB 。

求动点P 的轨迹方程。

例3、已知常数0a >，经过定点(0,)A a -以(,)m a λ=为方向向量的直线与经过定点(0,)B a ，且以(1,2)n a λ=为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中R λ∈．⑴ 求点Ｐ的轨迹Ｃ的方程，它是什么曲线；⑵ 若直线:1l x y +=与曲线Ｃ相交于两个不同的点Ａ、Ｂ，求曲线Ｃ的离心率的范围．解: (1) （用交轨法）过Ａ以m 为方向向量的直线方程为：ay a x λ+=．．．．．．．① 过Ｂ以n 为方向向量的直线方程为：2y a ax λ-=．．．．．．②由①②消去λ得：222112y x a-=．Ｐ的轨迹为双曲线．．．．．．．．６分(2)联立方程222211y x a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩消去y 得222(12)210a x x a --+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分依题意有21200a ⎧-≠⎨∆>⎩，即22212044(12)(1)0a a a ⎧-≠⎨--->⎩∴620a a <<≠ 又22222112321223a c ce e a aa a +====+>≠．．．．．．．．．．．．．１２分课外作业：1．设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A. 14922=+y xB. 14922=+x y2ΔABC3*. 过抛物线y 2 = 4 p x ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

轨迹方程一．解答题（共4小题）1．已知点P到A（﹣2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹Γ交于E，F两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2．已知动点M在x2+y2＝4上，过M作x轴的垂线，垂足为N，若H为MN中点．（1）求点H的轨迹方程；（2）过作直线l交H的轨迹于P、Q两点，并且交x轴于B点．若，，求证：为定值．3．已知抛物线C上的点到F（1，0）的距离等于到直线x＝﹣1的距离．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点D（6，0）的直线l与C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过F点，求直线l的方程．4．已知圆O：x2+y2＝1，点A（0，2），动点P与点A的距离等于过点P所作圆O切线的长的倍．（1）求点P的轨迹；（2）过点Q（1，﹣1）的直线交点P的轨迹于B，C两点，且弦BC被Q点平分，求直线BC的方程．圆锥曲线---轨迹方程参考答案与试题解析一．解答题（共4小题）1．已知点P到A（﹣2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹Γ交于E，F两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得|PA|＝2|PB|，即，化简可得（x﹣2）2+y2＝4．（2）设点Q（x0，y0），由（1）P点满足方程：（x﹣2）2+y2＝4，，代入上式消去可得，即Q的轨迹方程为x2+y2＝4，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣1），由，消去y，得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，显然Δ＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2）则，，又，，则＝＝．当直线l的斜率不存在时，，，．故是定值，即．2．已知动点M在x2+y2＝4上，过M作x轴的垂线，垂足为N，若H为MN中点．（1）求点H的轨迹方程；（2）过作直线l交H的轨迹于P、Q两点，并且交x轴于B点．若，，求证：为定值．【解答】解：（1）设H（x，y），M（x0，y0），由题意得，∴，由M在圆x2+y2＝4，得x2+4y2＝4，即，∴点H的轨迹方程为；（2）证明：当PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为，令y＝0，可得B（﹣，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵，∴，同理，，由，得（4k2+1）x2+4kx﹣3＝0，∴由韦达定理可得，∴＝2+＝2+＝，当PQ斜率不存在时，P（0，1），Q（0，﹣1），B（0，0），此时，∴，∴，∴；综上所述，为定值．3．已知抛物线C上的点到F（1，0）的距离等于到直线x＝﹣1的距离．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点D（6，0）的直线l与C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过F点，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意抛物线的焦点F（1，0），准线方程是x＝﹣1，则，故抛物线C的标准方程为y2＝4x；（2）显然l的斜率不为0，设l：x＝my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4my﹣24＝0，Δ＝16m2+4×24＝16（m2+6）＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣24，又AF⊥BF，所以，又，则（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，即，即﹣24（m2+1）+5m×4m+25＝0，解得，所以直线l的方程为，即2x﹣y﹣12＝0或2x+y﹣12＝0．4．已知圆O：x2+y2＝1，点A（0，2），动点P与点A的距离等于过点P所作圆O切线的长的倍．（1）求点P的轨迹；（2）过点Q（1，﹣1）的直线交点P的轨迹于B，C两点，且弦BC被Q点平分，求直线BC的方程．【解答】解：（1）设P（x，y），A（0，2），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2，又过点P的直线与圆O相切，设切点为M，则|PO|2＝|OM|2+|MP|2，即x2+y2＝1+|MP|2，∴切线长为|MP|2＝x2+y2﹣1，由题意得x2+（y﹣2）2＝2（x2+y2﹣1），即x2+（y+2）2＝10，故点P的轨迹为以（0，﹣2）为圆心，半径为的圆，且方程为x2+（y+2）2＝10；（2）由（1）得点P的轨迹方程为x2+（y+2）2＝10，圆心（0，﹣2），半径为，当直线BC的斜率不存在时，此时直线BC的方程为x＝1，当x＝1时，y＝1或﹣5，则B（1，1），C（1，﹣5），此时BC的中点坐标为（1，﹣2），与Q（1，﹣1）矛盾，不符合题意；则直线BC的斜率存在，此时圆心（0，﹣2）与点Q（1，﹣1）所在直线的斜率k＝＝1，则直线BC的斜率为﹣1，∴直线BC的方程为y+1＝﹣（x﹣1），即x+y＝0．。

轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。

在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。

在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。

一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。

2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。

3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。

二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。

3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。

轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。

设点。

列式。

化简。

说明等，圆锥曲线标准方程的推导。

1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。

26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。

求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。

求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程. （5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)yB 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)yC 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y B 、22(2)(3)194x yC 、22(2)(3)194x y D 、22(2)(3)149x y13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。

轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在 x 轴和y 轴上移动，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程:1必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点(0,0)，A ( 3,0 )的距离之比为 _ ,求点M 的轨迹方程；(一般地：必修 2课2本P i4启组2：已知点M(x , y )与两个定点 的距离之比为一个常数 m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程(分 m =i .为22，在y 轴上截得线段长为 2・..3。

( 1)求圆心的P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y = x 的距离为—，求圆P 的方程。

2如图所示，已知 R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A B 是圆上两动点，且满足/ APB 90°，求矩 形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R 坐标为(x ,y ),则在Rt △ ABP 中，|AR =| PR .又因为R 是弦AB 的中点, 依垂径定理：在 Rt △ OAF 中，| AR 2=|AQ 2—| OR 2=36— (x 2+y 2)又| AR =| PR = - (^4)2 y 2 所以有(x — 4)2+y 2=36 — (x 2+y 2),即x 2+y 2 — 4x — 10=0因此点R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运 动.设 Qx , y ) , Rx 1,y 1),因为 R 是 PQ 的中点，所以X 1= _ , y 1= ―，代入方程 ^+y 2 — 4x — 10=0,得 2 2(宁)2 •(寸)2 -4 —10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系 xOy 中，点A(0,3)，直线丨：y = 2x-4 •设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直 线y = x -1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA =2MQ ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.与2进行讨论)戈（2013陕西卷理20）已知动圆过定点 A （4,0），且在y 轴上截得弦 MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点B （_1,0），设不垂直于x 轴的直线|与轨迹C 交于不同的两点 P,Q ，若x 轴是.PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点。

高考数学复习---轨迹方程规律方法及典型例题【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线为y =，(1)求双曲线方程；(2)过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程. 【解析】（1）由渐近线为y知，ba=(),0c 到直线y ==2c =，224a b +=②，联立①②，解得21a =，23b =，则双曲线方程为2213y x −=.（2）因为直线l 与双曲线交于异支两点,P Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过()01，点，可设直线:1l y kx =+，与双曲线联立得：()223240kxkx −−−=，设()()()1122,,,,,M x y P x y Q x y ，则有122122Δ023403k x x k x x k ⎧⎪>⎪⎪+=⎨−⎪−⎪⋅=<⎪−⎩解得k <由OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r 知，()1221212223623k x x x k y y y k x x k ⎧=+=⎪⎪−⎨⎪=+=++=⎪−⎩两式相除得3x k y =，即3x k y =代入263y k=−得22230y y x −−=，又k <2y …， 所以点M 的轨迹方程为()222302y y x y −−=…. 例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x −=于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；(2)若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．【解析】（1）由题得l 方程为：1y x =+，将其与2214yx −=联立有22114y x y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得：23250x x −−=，解得=1x −或53x =. 则令A ()1,0−，B 5833⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则AB=. （2）由题，直线l 存在，故设l 方程为：1y kx =+.将其与2214y x −=联立有：22114y kx y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得：()224250k x kx −−−= 因l 与双曲线有两个交点，则2240Δ80160k k ⎧−≠⎨=−>⎩， 得205k ≤<且24k ≠.设()()1122,,A x y B x y ，. 又设M 坐标为()00x y ，，则12120022，x x y y x y ++==. 因A ，B 在双曲线上，则有()221112012212120222144414y x x x x y y k y y x x y y x ⎧−=⎪+−⎪⇒=⇒=⎨+−⎪−=⎪⎩. 又M ，()01P ，在直线l 上，则001y k x −=.故000014y x x y −=2200040x y y ⇒−+= 由韦达定理有，12224k x x k +=−，12284y y k +=−. 则M 坐标为22444,k k k ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭.又0244y k=−，205k ≤<且24k ≠，则01y ≥或04y <−. 综上点M 的轨迹方程为：2240x y y −+=，其中()[)41y ⋃∞∈−∞−+，，. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．【解析】（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形， 所以点P 在以O 为圆心，||OP长为半径的圆上，且|||OP OA ， 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则03x ≠±， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k−，1l 的方程为00()y y k x x −=−，联立22194x y +=， 得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++−+−−=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得22222000018()4(49)9[()4]0k y kx k y kx −−+⋅−−=， 化简，2222200009()(49)()(49)40k y kx k y kx k −−+−++=，进而2200()(49)0y kx k −−+=，所以2220000(9)240−−+−=x k x y k y 所以k 是方程222000(9)240−−+−=x k x y k y 的一个根， 同理1k−是方程222000(9)240−−+−=x k x y k y 的另一个根， 202041()9y k k x −∴⋅−=−，得220013x y +=，其中03x ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：(3,2)±±，P 点坐标也满足220013x y +=，综上所述，点P 的轨迹方程为：220013x y +=．（3）动点Q 的轨迹方程是222200x y a b +=+以下是证明： 设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则0x a ≠±， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k−，1l 的方程为00()y y k x x −=−，联立22221x y a b+=， 得2222222220000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++−+−−=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得()222222220000222()4()[()]0a k y kx k y kx b a a b −−+⋅−−=，化简，222220002222202()()()()0a b a b a k y kx k y kx b k −−+−++=， 进而220220()()0y x b k a k −−+=，所以222000022()20x k x y k y a b −−+−= 所以k 是方程22200022()20x k x y k y a b −−+−=的一个根， 同理1k−是方程222000022()20x k x y k y a b −−+−=的另一个根，2020221()y k ax b k −∴⋅−=−，得222200x y a b +=+，其中0x a ≠±， ②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：(,)a b ±±，P 点坐标也满足222200x y a b +=+，综上所述，点P 的轨迹方程为：222200x y a b +=+．。

专题 轨迹方程的求法例1、 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.例2、已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线例3、【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

M(x,y)B(a,0)A(-a,0)oyx例4、已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．例5、【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。

证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

例6、过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.122=+y x MQ ()0>λλ例7、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线例8、[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.例9、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程例10、如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

高考动点轨迹方程的用求法〔含练习题及答案〕轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2:在4ABC 中,BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为 39,求4ABC 的重心的轨迹方 程.：P 点轨迹为抛物线.应选D.、代入法：此方法适用于动点随曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例3:△ ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y轨迹方程.3 1 X O,一 、一 一 x一； 一,x 3x 2,①解：设G(x, y) , A(x 0, y o ),由重心公式,得3:,y 弛,V .3y.②3又「 A(x .,y .)在抛物线y x 2上,「. y .x 2 .③将①,②代入③,得3y (3x 2)2(y .),即所求曲线方程是y 3x 2 4x -(y 0).3解：以线段BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,如图1, M 为重2 心,那么有 BM CM — 3926 . 3「.M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆, 其中 c 12, a 13 . b ,a 2 c 2 5.2:所求^ABC 的重心的轨迹方程为 — 169 2y—i(y 0) . 25、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例 1 :点 A( 2,0) B(3,0),动点 P(x,y)满足P A PBx 2 ,那么点P 的轨迹是(A.圆B.椭圆C,双曲线D.抛物线解析：由题知PA ( 2 x y) , PB(3x, y),由 PA PB x 2 ,得(2 x)(3x) y 2x 2,即x 2上运动,求 4ABC 的重心G 的6四、待定系数法：当曲线的形状时,一般可用待定系数法解决(1)求E 点轨迹方程;(2)过A 作直线交以A, B 为焦点的椭圆于M, N 两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为公,5且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程.解：(1)设 E(x, y),由 AE -(AB AD)知 E 为 BD 中点,易知 D(2x 2,2y). 2又 AD 2 ,那么(2x 2 2)2 (2 y)2 4.即 E 点轨迹方程为 x 2 y 2 1(y 0); (2)设 M(x, y i ), N(x 2, v2 ,中点(x 0, y (o ). 22由题意设椭圆方程为xr1 ,直线MN 方程为y k(x 2).a a 4••・直线MN 与E 点的轨迹相切,,/k L 1,解得k 眄.k 1 3将yX3(x 2)代入椭圆方程并整理,得4(a 2 3)x 2 4a 2x 16a 2 3a 4 0, 3 2x 〔 x 2a一 x o ------------------- -2——,2 2(a 3)222又由题意知x o4,即 T-解得a 2 8.故所求的椭圆方程为 上 £ 1.5 2(a 3) 58 4五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数),把例4:线段AA 2a ,直线l 垂直平分AA 于O ,在l 上取两点P, P ,使其满足解：如图2,以线段AA 所在直线为x 轴,以线段AA 的中垂线为y 轴建 立直角坐标系. 设点 P(0, t)(t 0), 那么由题意,得P 0彳.由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y -(x a), y —(x a).ata例5:A, B, D 三点不在一条直线上,且A( 2,0) , B(2,0) , A D 2, A E ^(A B A D).4,求直线AP 与AP 的交点M 的轨迹方程.两式相乘,消去t,得4x 2 a 2y 2 4a 2(y 0).这就是所求点M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程,关键有两点：一是选参,容易表示出动点；二是消参,消参的途 径灵活多变.配套练习、选择题1.椭圆的焦点是 F i 、F 2, P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F i P 到Q,使得|PQ|二|PF 2|,那么动点 Q的轨迹是()二、填空题迹方程为4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(- 5,0)、B(5, 0),那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是三、解做题5.A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,.0'切直线l 于点A,又过B 、C 作.O'异于l 的 两切线,设这两切线交于点P,求点P 的轨迹方程.A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2一 .一 X 2.设A 1、A 2是椭圆一 92匕=1 的长轴两个端点,P i 、P 2是垂直于 A 1A 2的弦的端点,那么直线A i P i 与A 2P 2交点的轨迹方程为22A.L 工9 42 B.—92 C.—92D.—93. △ ABC 中,A 为动点,B 、B(-2a 1,0),C (2,0),且满足条件 sinC —sinB=^sinA,那么动点 A 的轨的交点为Q,求Q点的轨迹方程.. ..x2=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点,弓I A i QXA l P, A2QLA2P, A1Q与A2Q6.双曲线—ab22 2.「一 x y8.椭圆 - q=1(a>b>0),点P为其上一点,F i、F2为椭圆的焦点,/ F1PF2的外角平分线为1,点a bF2关于1的对称点为Q, F2Q交1于点R(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C,直线1: y=k(x+J2a)与曲线C相交于A、B两点,当^ AOB的面积取得最大值时,求k的值.参考答案配套练习一、1.解析：|PF i|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,,|PF i|+|PF2|=|PF i|+|PQ|=2a,即|F i Q|=2a,.••动点Q到定点F i的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆答案：A2.解析:设交点P(x,y) ,A i(—3,0),A2(3,0),P i(X0,y o),P2(X0, —y o)A i、P i、P 共线,-一应—y—A2、P2、P 共线,x x0 x 3y Vo yx x0x 3解得x o=9,y o 型,代入得冬- 久-i,即止亡 i x x 9 49 4仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢6答案：C二、3.解析：由 sinC —sinB=』sinA,得 c — b=- a, 2 2・•・应为双曲线一支,且实轴长为 a ,故方程为285x+100=0.答案：4x 2+4y 2—85x+1..=.三、5.解：设过 B 、C 异于l 的两切线分别切..’于D 、E |BA|=|BD|, |PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD |+|PD|+FC|=|BA|+|PE|+FC| 二|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+I2=I8>6=|BC|,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以 B 、C 为两焦点的椭圆,以 l所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为 6.解:设 P(x o ,y o) (xw ± a),Q(x,y).「A i (—a,0),A 2(a,0).22 b 2x .2—aVJa 为2,即 b 2(-x 2)-a 2(---)2=a 2b 2yQ 点坐标为(x i , —y i ),又有 A i ( — m,0),A 2(m,0),22 2 答案:竽崇i(xJ)4.解析：设 P(x,y),依题意有 5 ,(x 5)2 y 2(x 5)2=,化简彳导P 点轨迹方程为4x 2+4y 2 -yy一八 x a由条件yx a y . x . ax . y . x . ay .x(x . a)22x a那么A i P 的方程为:y= -y I (xx i mm)A 2Q 的方程为：y=-必/-------- (x x i mm)m 2)i6x 2 * 2~ a i6y ar i(x ).3a 2 4两点,两切线交于点 P.由切线的性质知:2 2x y一 一 二i(yw0)8i 72而点P(x o ,y o )在双曲线上,化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2—b 2y 2=a 4(xw ± a).7.解:⑴设P 点的坐标为(x i ,y i ),那么2n 八,2 〜2、 2 (x 1 m ). m21=1.此即为M 的轨迹方程. n(2)当mwn 时,M 的轨迹方程是椭圆.2 m 一 一 2 2e =lm__.e= ----------- , m8.解：(1)二.点F 2关于l 的对称点为Q,连接PQ,,/F 2PR=/QPR, |F 2R|=|QR|, |PQ|=|PF 2|又由于l 为/ F 1PF 2外角的平分线,故点 F i 、P 、Q 在同一直线上,设存在R(X 0,y o) ,Q(x i ,y i ),F i(— c,0),F 2(c,0).|F 1Q|=|F 2P|+|PQ|=|F 1P|+|PF 2|=2a,那么(x 1+c)2+y 12=(2a)2x 〔 c 2y 1 2得 x 1二2x .一 c,y 1=2y o .(2x o )2+(2y o )2=(2a)2, •1- x o 2+y o 2=a 2 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(yw 0)(2)如右图,••• S AAOB =1|QA| |OB| - sinAOB= a- sinAOB , 一 , .... 1c 当/AOB=90 时,S AAOB 最大值为-a 2. 此时弦心距|OC|二 I"2ak|1 k2 ,在 RtAAOC 中,/ AOC=45° ,|OC | | . 2ak |2 1 .3cos45 ——,k ——.22,离心率m n(ii)当mvn 时,焦点坐标为(0, 土 Jm ―n 7,准线方程为y= ±2n 2,n —2 ,离心率 m 2 2n m e= ------------- n又因点P 在双曲线上,2代入③并整理得 Jm(i )当m>n 时,焦点坐标为(土 J m ―n 2 ,0),准线方程为x=±xo又V .|OA| a1 k2 2 32 2x y7.双曲线—今=1(m>0,n>0)的顶点为A i、A2,与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q. m n(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mwn时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率① X ②得：y2=_ 2yi2(x2x i m。