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高等数学上册第一章函数与极限习题答案

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习题答案

习题1-1 (A)

1.(1)),2()2,1()1,(

(2)]1,0()0,1[

(3)),1()1,1()1,(

(4)kx且),2,1,0(2kkx

(5)),2,1,0()352,32(kkk

(6)]3,1[

2.202)(6,916,6hx

3.0,22,22,21

5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数

(4)奇函数 (5)奇函数

(6)当)(xf为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；

当)(xf为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数.

(7) 非奇非偶函数 (8)奇函数

6.(1)是周期函数，2T (2)是周期函数，4T

(3)是周期函数，4T (4)不是周期函数

7.(1)acxbdxy (2)2arcsin31xy

(3)21xey (4)xxy1log2

(5)2xxeey

8.(1)2,xauuy (2)2,xueyu

(3)cos,lguuy (4)xvtgvuuy6,,2

(5)21,,cos,xwevvuarctguyw

(6)22,ln,ln,xwwvvuuy

9.(1)]1,1[ (2)zkkk])12(,2[ (3)]1,[aa

(4)若210a,则]1,[aaD；若21a，则DФ.

10.4)]([xx，xx22)]([，xx22)]([，22)]([xx.

11.1,4ba

12.0,10,00,1)]([xxxxgf，1,1,11,)]([1xexxexfg

13.)20(,])2([22rhhrhV

14.20,4)2(242223rV

15.),2(,])[(32232rrrhhrV

16.(1)1600,751600100,01.0)100(901000,90xxxxp

(2)

1600,151600100,01.0311000,30)60(2xxxxxxxxpp

(3)21000p(元)

习题1-1 (B)

1.)(xf为偶函数. 2.41)1(,2)(222xxxxfxxf

3.0,0,0)]([2xxxxgf，0,0,0)]([2xxxxfg

4.22123xx

8.1,101,1)(xxexfx

9.]0,(,)1ln()(xxg

10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数.

12.1)2005(f

习题1-2 (A)

1.(1)121n,0 (2)11)1(1nn,0

(3)2nn,1 (4)1)1()1(nn,没有极限

(5)222)1(1)1(2)1(1nnnn,21

(6)2)2)(1()1(nn,没有极限.

2.(1)17; (2)24; (3)]3[

3.0,]1[

习题1-3 (A)

3.0002.0

4.397X

6.1)(lim)(lim00xfxfxx,1)(lim0xfx

1)(lim0xx,1)(lim0xx,)(lim0xx不存在.

习题1-4 (A)

3.(1)0; (2)0; (3)0

4.0lim1yx; yx1lim

习题1-4 (B)

3.xxycos在),(上无界，但当x时，此函数不是无穷大.

5.当1,0ba时，)(xf是无穷小量；

当ba,0为任意实数时，)(xf是无穷大量.

习题1-5 (A)

1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103;

(5)231aa; (6)23x; (7)34; (8)1.

2.(1)43; (2)0; (3); (4)41;

(5)503020532; (6) 41.

3.(1)1,11,010,1aaa; (2)3; (3)34; (4)21

4.(1)10; (2)2)(mnmn; (3)nm; (4)0;

(5)0; (6)21; (7)43; (8)21.

习题1-5 (B)

1.(1)2; (2)21; (3)561; (4)2)13(2a

(5)23; (6)2,2,12,0kkk; (7)2; (8)0 .

2.1,1 3.9a

4.1,1ba

5.不一定.

习题1-6 (A)

1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)acos；

(6)2; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x.

2.(1)1e; (2)2e; (3)2e;

(4)2e; (5)1e; (6)2e.

习题1-6 (B)

1.(1)21; (2)2; (3)1; (4)0;

(5)0; (6)1; (7)0; (8)1e.

2.(4)3; (5)251.

习题1-7 (A)

1. 当0x时，34xx比32xx为高阶无穷小.

2. (1)同阶，但不是等价；

(2)同阶，且为等价.

3.21

4.m

6.(1)23; (2)nmnmnm,,1,0; (3)21;

(4)21; (5)ba; (6)41.

习题1-7 (B)

1.(1)32; (2)2e; (3)21; (4)0;

(5)1; (6)41; (7); (8)1.

5.xxxxp32)(23.

6.aAln.

习题1-8 (A)

1.1a

2.)(xf在0x处连续

3.(1)1x为可去间断点，补充2)1(f

2x为第二类间断点

(2)0x和2kx为可去间断点，补充0)2(,1)0(kff；

)0(kkx为第二类间断点.

(3)1x为第一类间断点

(4)0x为第二类间断点.

4.(1)1x为可去间断点，补充32)1(f;

(2)0x为可去间断点，补充21)0(f；

(3)1x为可去间断点，补充2)1(f；0x为第二类间断点；

(4)2x为可去间断点，补充41)2(f；0x为第一类间断点；

2x为第二类间断点.

(5)0x为第一类间断点；

(6)ax为第一类间断点;

(7)1x为第一类间断点; (8)1x为第二类间断点.

习题1-8 (B)

1. 1x为第一类间断点.

2. 1,0ba

3. 25a

4. ),2,1,0(22nna

5. 0,ba

6. (1)当1,0ba时，有无穷间断点0x；

(2)当eba,1时，有无穷间断点1x.

习题1-9 (A)

1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(

21)(lim0xfx，58)(lim3xfx，)(lim2xfx.

2.连续区间为：),0(),0,(.

3. (1) -1; (2) 1; (3) h; (4) -1;

(5) 22; (6) -2; (7) 1; (8) 1;

(9) ab; (10) 5e; (11) -1; (12) 2.

4. 1a

5. 1a

习题1-9 (B)

1. (1)0x为第一类间断点； (2)1x为第一类间断点；

(3)0x为第一类间断点; (4)1x为第一类间断点;

(5)无间断点. 2. 1,0ba

3. (1)1e; (2)21e; (3)aecot; (4)0;

(5)0; (6)-2; (7)21; (8)82.

4. 21

总复习题一

一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C

6. D 7. D 8. C 9. D 10. D

二.1. 0,0,)(22xxxxxxf

2. ]2,2[,)1arcsin(2x

3. －1

4. 充分，必要

5. 充分，必要

6. 充分必要

7. 21

8. ba

9. 56

10. 第二类，第一类

三. 1. 11)(xxx 2. 20051,20052004 3. 1limnnx

4. 4 5. 4e 6. －50

7. aln21

8. 当0时，)(xf在0x处不连续； 当1,0时，)(xf在0x处不连续；

当1,0时，)(xf在0x处不连续.

9. 82

习题选解

习题1-2 (B)

1. 根据数列极限的定义证明：

(1))0(1lim时aann

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高等数学一上册教材答案

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第一章：函数与极限

1.1 函数的概念与性质

函数的概念

函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。用数学符号表示为：y = f(x)，其中 x 是自变量，y

是因变量，f(x) 是函数关系。

函数的性质

（1）定义域和值域

定义域是自变量可能的取值范围，值域是因变量对应的所有可能取值的范围。

（2）奇偶性

如果对任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对任意 x，有

f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

（3）单调性

如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有 f(x1) ≤ f(x2)，则函数为增函数；如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有 f(x1) ≥ f(x2)，则函数为减函数。

1.2 一次函数与二次函数

一次函数 一次函数的标准式表示为 y = kx + b，其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。

一次函数的图像是一条直线，它的性质包括：与 y 轴平行的直线的斜率为零，与 x 轴平行的直线的斜率为无穷大。

例题：已知函数 f(x) = 3x + 2，求 f(2) 的值。

解：将 x 替换为 2，得到 f(2) = 3(2) + 2 = 8。

二次函数

二次函数的标准式表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，它的性质包括：抛物线开口向上（a > 0）或向下（a < 0），顶点的横坐标为 -b/2a。

例题：已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 1，求 f(-1) 的值。

解：将 x 替换为 -1，得到 f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = -2。

1.3 幂函数与指数函数

幂函数

幂函数的定义形式为 y = x^p，其中 p 是常数。

幂函数的图像随着 p 的取值不同，可能是增函数、减函数或常数函数。

例题：已知函数 f(x) = x^3，求 f(2) 的值。

函数及极限习题及答案

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第一章 函数与极限

（A ）

一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=

，其定义域为 。

2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。

4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。

5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2

x f y =的定义域为 。

6、43

2lim

23=-+-→x k

x x x ，则k= 。 7、函数x

x

y sin =

有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x

x

x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222n

n n

n n n n n Λ 。

10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。

11、=++++∞→352352)

23)(1(lim x

x x x x x 。 12、3)

2

1(lim -∞

→=+e n kn

n ，则k= 。

13、函数2

31

22+--=x x x y 的间断点是 。

14、当+∞→x 时，

x

1

是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。

16、函数x

e y 1=在x=0处是第 类间断点。

17、设1

1

3

--=

x x y ，则x=1为y 的 间断点。

18、已知33=??

πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设??

>+<=0)1(02sin )(1x ax x x

x

x f x 若)(lim 0

x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2

-+=x x

x y 水平渐近线方程是 。

21、1 14)(2 2-+

高等数学：函数 、极限与连续习题含答案

高等数学：函数 、极限与连续习题含答案

1第一章函数、极限与连续

一、选择题

1．函数)(xf的定义域为

10，，则函数)

51

()

51

(xfxf的定义域是（）.A．





54

,

51B．





56

,

51C．





54

,

51

D．

1,0

2．已知函数

62xf的定义域为

4,3，则函数)(xf的定义域是（）.

A．

4,3B．

14,0C．

14,0D．





1,

29

3．函数2

11

ln

x

xy的定义域是（）.

A．1xB．2xC．2x且1xD．

1,2

4．下列函数)(xf与)(xg是相同函数的是（）.

A．11)(xxxf

，1)(2

xxgB．

2)(

xf，xxxgarccosarcsin)(

C．xxxf22tansec)(，1)(xgD．1)(xf，xxxg22cossin)(

5．下列函数)(xf与)(xg是相同函数的是（）.

A．xxgxxflg2)(,lg)(2



B．2)(,)(xxgxxf

C．33341)(,)(xxxgxxxfD．xxxgxf22tansec)(,1)(

6．若1)1(2

xxf，则)(xf=（）.

A．2)1(xxB．2)1(xxC．)2(xxD．)1(2

xx

7．设xxfcos2)(，x

xgsin

21

)(





，在区间





20

，内成立（）.

A．)(xf是增函数，)(xg是减函数B．)(xf是减函数，)(xg是增函数

C．)(xf和)(xg都是减函数D．)(xf和)(xg都是增函数

2

8．函数)1lg()1lg(22xxxxy（）.

A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数

9．下列函数中（）是奇函数.

A．1cossinxxyB．

2xxaa

y

C．

22

11

xx

y



D．)1)(1(xxxy

10．函数xxxfsin)(2

的图形（）.

同济大学高数上习题答案

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高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于大多数学生来说是一座难以逾越的高山。而同济大学的高数上课程更是以其难度和复杂性而著称。为了帮助同学们更好地理解和掌握高数上的知识，我整理了一些习题答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

第一章：函数与极限

1. 设函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值。

答案：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 6。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 2x + 1 的极限 lim(x→2) f(x)。

答案：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^3 - 2(2) + 1 = 5。

3. 求函数 f(x) = √(x + 1) 的定义域。

答案：由于函数中有根号，要使函数有意义，需要满足 x + 1 ≥ 0，即 x ≥ -1。所以定义域为 [-1, +∞)。

第二章：导数与微分

1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x - 3。

2. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = e^x。

3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。

第三章：微分中值定理与泰勒展开 1. 利用微分中值定理证明函数 f(x) = x^3 - x 在区间 [0, 1] 上存在一个点 c，使得 f'(c) = 2c - 1。

答案：由微分中值定理可知，存在一个点 c 属于 (0, 1)，使得 f'(c) = (f(1) - f(0))

/ (1 - 0) = 2c - 1。