第二章 随机变量及其函数的概率分布
§2.1 随机变量与分布函数
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
一、 填空题
1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k的概率)(kXP 3,2,1,0,)2.0()8.0(33kCkkk ；
2. 设随机变量X服从泊松分布，且)2()1(XPXP，则)4(XP 0.0902 ；
3. 设X服从参数为p的两点分布，则X的分布函数为
1 ,110 ,10 ,0)(xxpxxF ；
4. 已知随机变量X的概率分布：P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5, 则其分布函数)(xF=0 10.2 120.5 231 3xxxx，，，，；
5. 设随机变量X的分布函数为3 ,131 ,8.011 ,4.01 , 0)xxxxxF（, 则X的概率分布为
(1)0.4,(1)0.4,(3)0.2PXPXPX。
二、选择题
设离散型随机变量X的分布律为则且,0),,2,1()(bkbkXPk为（B）
(A) λ>0的任意实数; (B) ；11b (C) λ=b+1; (D) 11b.
三、 计算下列各题
1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X表示取出5个球的最大号码，试求X的分布列。
解 X的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(51041kCCkXPk
所以X的分布列为 1 X
郑州轻工业学院数学与信息科学系第二章：随机变量及其分布概率统计教研组结束放映第二章随机变量及其分布我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题．为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量．本章首先引入随机变量的概念，介绍一些常用的随机变量，最后讨论随机变量函数的分布．结束放映第二章随机变量及其分布主要内容§2.1随机变量§2.2离散型随机变量§2.3连续型随机变量§2.4随机变量函数的分布第二章：总结结束放映第二章随机变量及其分布【工作效率问题】某工厂有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一人处理．为了提高设备维修的效率，节省人力资源，考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种配备维修工人方法的工作效率，即比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小．结束放映§2.1 随机变量2.1.1随机变量的概念随机试验的结果有些本身就是数量，例如，一只灯泡的寿命，每天的最高气温等；随机试验的结果有些不是数量例如，检查一个产品，结果可能是“合格”与“不合格”，但是我们可以将其数量化，比如用“1”表示“合格”，用“0”表示“不合格”．这样，随机试验的结果就是随机变化的变量．把随机试验的结果数量化，便于应用数学知识研究随机现象，使对随机现象的研究更深入和简单．结束放映§2.1 随机变量2.1.1随机变量的概念【例2-1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车，或者乘飞机，记1={乘船}，2={乘火车}，3={乘飞机}，这就是以={1，2，3}为样本空间的随机试验，现考虑该客人的旅费，假定乘船，火车与乘飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数X=X()是随试验结果而变化的变量,称之为随机变量321 ,若若若,300,200100)(XX结束放映§2.1 随机变量2.1.1随机变量的概念【定义2.1】设随机试验的样本空间为={}，X=X()是定义在样本空间上的实值单值函数，称X=X()为随机变量．常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示．这个定义表明：随机变量X是样本点的一个实值函数，一个样本点只能对应一个实数，不同样本点可以对应不同的实数，也可以对应同一个实数．随机变量的取值随试验的结果而定，在试验之前不能预知它取到的值，且它的取值有一定的概率，这些性质显示了随机变量与普通函数和普通变量有着本质的区别．结束放映§2.1 随机变量2.1.1随机变量的概念【定义2.1】设随机试验的样本空间为={}，X=X()是定义在样本空间上的实值单值函数，称X=X()为随机变量．常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示．引入随机变量后，我们很容易用随机变量表示随机事件及其概率．如用随机变量X表示掷一枚骰子朝上一面的点数，则{X=1}和{X3}分别表示事件“朝上一面的点数为1”和“朝上一面的点数小于等于3”两事件，P{X=1}=1/6，P{X3}=1/2则分别表示两事件发生的概率．结束放映§2.1 随机变量2.1.2随机变量的分布函数为了计算与随机变量X有关事件的概率，下面引入随机变量分布函数的概念．【定义2.2】设X是一个随机变量，对任意实数x，称事件{Xx}发生的概率(2.1)为随机变量X的分布函数,且称X服从F(x),记为X～F(x)由分布函数的定义易知，对任意实数a，b（ab），有},{)(xXPxFx}{bXaP}{}{aXPbXF}{aXP,．)()(aFbF}{1aXP)(1aF结束放映§2.1 随机变量2.1.2随机变量的分布函数容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：(1)单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调非减函数，即对任意的x1
第二章随机变量及其分布
§2.1随机变量及其分布函数
§2.2 离散型随机变量及概率分布
§2.3 连续型随机变量及概率分布
§2.4 多维随机变(向)量及其分布
§2.5 随机变量的独立性
§2.6随机变量函数的分布
基本要求
重点与难点
JXHD2-7概率篇CH2LX基本要求
1．理解随机变量、随机变量的分布函数概念及性质。
2．理解概率分布的概念及其性质。
3．会利用概率分布及分布函数计算有关事件的概率。
4．掌握六种常用分布，会查泊松分布、正态分布表。
5．了解多维随机变量的概念。了解二维随机变量的联合分布函数及其性质,了解二维随机变量的联合概率分布及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。
6．知道二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分布。
7．理解随机变量独立性的概念及应用独立性进行有关计算。
8．会求简单随机变量函数的概率分布及两个独立随机变量的函数（和、最大值、最小值）的分布。重点与难点
1．随机变量的分布函数概
念及性质。
2．概率分布（离散型随机
变量的分布律,连续型随机变量
的概率密度）的概念及性质。
3．概率分布与分布函数的
关系及正态分布的有关计算。
4．二维随机变量的边缘分
布以及与联合分布的关系。
5．随机变量独立性及应用。
6．简单随机变量函数的分
布。1．随机变量
的分布函数、概率
分布及其关系。
2．二维随机
变量的边缘分布及
计算。
3．随机变量
函数的分布及两个
独立随机变量的函
数的分布。§2.1 随机变量及其分布函数
掷骰子试验}654321{，，，，，； 掷硬币试验}{TH，
一．随机变量
[引例1] 掷骰子试验，}654321{，，，，，，令
），，，，，（654321)(iiiX
则X是定义在上的单值实函数，称X为随机变量。
[引例2] 掷硬币试验，样本空间}{TH，，令
TeHeeY，，
01)(
则Y是定义在上的单值实函数，称 Y为随机变量。 “骰子的点数不超过3”这一事件可用}3{X来表示； “出现正面H”这一事件可用}1{Y来表示。( Random Variables ) Random Variables and Distribution function 定义2-1 设E是随机试验，它的样本空间为
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
习题1
随机变量的特征是什么？
解答：
①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.
②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.
③随机变量取特定值的概率大小是确定的.
习题2
试述随机变量的分类.
解答：
①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.
②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.
习题3
盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.
解答：
分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：
X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3
则X取每个值的概率为
P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,
P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,
P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.
2.2 离散型随机变量及其概率分布
习题1
设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.
解答：
由P{X=1}=P{X=2}, 得
λe-λ=λ22e-λ,
解得
λ=2.
习题2
设随机变量X的分布律为
P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,
试求
(1)P{123}. 解答：
(1)P{12
(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}
=115+215+315=25;
