数学：2.1.4《实数与向量的积》课件(3)(新人教b版必修4)

思考1 此定理对b 0 成立否？ ——成立!
因为当b 0时, 考虑到a 0，只有一个实数=0,
使得b a成立.
思考2此定理中的 a 0 能否去掉？——不能！
因为当 a 0时, 必有b 0 ，此时可以取任意实数，
使得b a成立.
定理：向量 b 与非零 a 向量共线的充要条 件是有且仅有一个实数，使 b a.
高中数学
实数与向量的积
于无声处听惊雷，于细微处见功夫！
实数与向量的积
1. 实数与向量的积 定义: a
其中 >0时, a 与 a 同向;
a a
<0时, a与 a 反向；
=0时, 0 a 0
a a
注1 实数与向量的积 a 仍是一个向量. 注2 求实数与向量的积的运算叫做向量的数乘.
5 3 8x 5a 6b, x a b. 8 4
5x 5a 3x 6b 0,
例2 如图，已知 AD 3AB, DE 3BC. C 试判断 AC与AE 是否共线. 解: AC AB BC
A
E
AE AD DE 3AB 3BC
实数与向量的积
练习： 1. 命题p：向量 a 与 b 共线；命题q：有 且只有一个实数，使 b a ；则p是q 的( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件
2.下面向量 a 、b 共线的有( A )（ e1、 e2不共线）
（ 1 ） a 2e1， b 2e2 （ 2 ） a e1 e2， b 2e1 2e2 （ 3 ） a 4e1 4e2， b e1 e2 （ 4 ） a e1 e2， b e1 e2

3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
离大于左右两侧之间的距离，如鲫鱼的身体。 【侧耳】’动侧转头，使一边的耳朵向前边歪斜，形容认真倾听：他探身窗外，～细听。 【侧击】ī动从侧面 攻击。 【侧记】名关于某些活动的侧面的记述（多用于报道文章的标题）：《全市中学生运动会～》。 【侧近】名附近：找～的人打听一下。 【侧门】名 旁门。 【侧面】名旁边；勤茶网-专业婚姻情感咨询服务：/ ；的一面（区别于“正面”）：从～打击敌人｜小门在房子 的～◇从～了解｜注意正面的材料，也要注意～和反面的材料。 【侧目】〈书〉动不敢从正面看，斜着眼睛看，形容畏惧而又愤恨：～而视｜世人为之～。 【侧身】∥动（向旁边）歪斜身子：请侧一侧身｜他一～躲到树后。 【侧身】同“厕身”。 【侧室】名①房屋两侧的房间。②旧时指偏房；妾。 【侧线】名 鱼类身体两侧各有一条由许多小点组成的线，叫做侧线。每一小点内有一个小管，管内有感觉细胞，能感觉水流的方向和压力。 【侧翼】名作战时部队的两 翼。 【侧影】名侧面的影像：在这里我们可以仰望宝塔的～◇通过这部小说，可以看到当时学生运动的一个～。 【侧泳】名游泳的一种姿势，身体侧卧水面， 两腿夹水，两手交替划水。 【侧枝】ī名由主枝周围长出的分枝。 【侧重】动着重某一方面；偏重：～农业｜这几项工作应有所～。 【侧足】〈书〉动两脚 斜着站，不敢移动，形容非常恐惧：～而立。 【侧足】同“厕足”。 【测】（測）①动测量：～绘｜目～｜深不可～｜～一～水的温度。②推测；推想：变 化莫～。 【测报】动测量并报告：～虫情｜气象～。 【测查】动测试检查：心理～。 【测定】动经测量后确定：～方向｜～气温。 【测度】动推测；揣度： 她的想法难以～｜根据风向～，今天不会下雨。 【测估】动测算估计：～产品的市场占有率。 【测候】〈书〉动观测（天文、气象）。 【测绘】动测量和 绘图：～地图。 【测控】动观测并控制：卫星～中心。 【测量】动用仪器确定空间、时间、温度、速度、功能等的有关数值：～水温｜～空气的清洁度。 【测评】动①检测评定：对职工进行技术～。②推测并评论：股市～。 【测试】动①考查人的知识、技能：专业～｜经～合格方可录用。②对机械、仪器和 电器等的型能和精度进行测量：每台电视机出厂前都要进行严格～。 【测算】动测量计算；推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，这项工程年内可以完

5.3 实数与向量的积
问题： 在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关
系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、
质量都是数量．
已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
a
aaa
-a -a -a
OA B C OC OA OB OC =a+a+a 记作3a
晚收品质也很好。须根少，表面非常光滑。 [] 日本杂交胡萝卜 根形好，直筒形，收尾好，春季不易抽薹，耐裂根，田间保 红森和日本杂交胡萝卜 红森和日 本杂交胡萝卜(张) 持力好；根色浓，红心，表皮光滑，品质非常优秀；播种后天可采收，根长8～cm，肩宽cm，单果重g左右；株型直立，长势强，耐寒性 强，高抗黑枯病；适应性强，可春夏秋播种。 [] 植株长势强，生育前期适度控制水肥，密植易造成徒长，根部肥大期应注意生长管理；生育期中等，待根部
3a与a方向相同
|3a|=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
宜在～℃条件下生长，幼苗可耐℃以上的高温；直根膨大期的适宜温度是～8℃。胡萝卜对光照有较高的要求，特别在肉质根肥大期间，一定要保证其充足的 光照，否则就会降低产量、影响质量。种植期间要保证土壤湿润，特别是发芽期更是不能缺水，植株形成期若土壤过干，会造成肉质根细小、粗糙，外形不 正，质地粗硬。胡萝卜适宜生长；十四五规划 产业园区规划 / 十四五规划 产业园区规划 ； 在土层深厚肥沃、排水良好的壤土 或沙壤土中。为让根部有充裕的生长空间，栽培容器至少要cm宽，高度至少要～cm。 [] 分布范围 胡萝卜是全球性十大蔬菜作物之一，适应性强，易栽培， 种植十分普遍。胡萝卜在亚洲、欧洲和美洲地区分布最多。根据联合国粮食与农业组织（FAO）统计，年全世界胡萝卜的栽培总面积为.万公顷，其中亚洲为. 万公顷，欧洲为8.万公顷，北美洲为.万公顷，南美洲为.万公顷，非洲为.万公顷，大洋洲为.万公顷。近几年，除了亚洲栽培面积増幅较快之外，其他洲变化 较小。年中国胡萝卜栽培面积达到.万公顷，约占全世界栽培面积的.%，已成为世界第一胡萝卜生产国。 [] 主要品种 根据肉质根的形状特征，一般可分为以 下三种类型： ⑴短圆锥类型。一般根长～cm，最短的根近圆形，长仅～cm。早熟、耐热、产量低，春季栽培抽薹迟。如烟台三寸胡萝卜，外皮及内部均为 橘红色，单根重～g，肉厚、心柱细、质嫩、味甜，宜生食。 [] ⑵长圆柱类型。晚熟，根细长，肩部粗大，根前端钝圆，一般根长8～cm。如南京、的长红 胡萝卜，湖北麻城棒槌胡萝卜，安徽肥东黄胡萝卜，西安齐头红，岐山透心红，凤翔透心红，广东麦村胡萝卜，日本五寸参等。 [] ⑶长圆锥类型。一般根 长～cm，多为中、晚熟品种，味甜，耐贮藏。如宝鸡新透心红，鞭杆红，济南蜡烛台，内蒙古黄萝卜，烟台五寸胡萝卜，汕头红胡萝卜，红芯～号等。 [] 红森 属杂交品种，芯细，根色、芯色不仅着色好，而且有甜味，口感好；根形呈长圆筒形。中熟品种，吸肥性强，耐寒性优，青肩的发生极少；即2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE

注： (1)数乘的结果仍是一个向 量。
(2) | a || || a |
(3)a(a 0)的方向： 0, 与a同向； 0, 与a反向； 特别的 0或a 0, 则a 0
几何意义：把向量 a沿着a的方向或a的反方向 放大或缩小。
(1)根据定义，求作向量 （ 3 2a )和(6a )(a为非零向量), 引例： 并进行比较 . (2)已知向量a, b , 求作向量2(a b )和2a 2b , 并进行
比较。
a
b
3(2a )
3(2a ) = 6 a
a b
2a 2b
a
2b
2a
2(a b ) 2a 2b
设a , b 为任意向量， ，为任意实数，则有：
（ 1）（a ) ( )a (2)( )a a a (3) (a b ) a b
向量数乘
a
记作
a
a
a
a a a
(a ) (a ) (a ) 3a
B
a a a 3a
A
P Q
1 则 AP ___ 3 AB
2 BP ___ 3 AB
实数和向量a的乘积是一个向量，记作a。
例1 计算下列各式：
1 a （1）( 2) 2
（2） 2(a b ) 3(a b ) （3） ( )(a b ) ( )(a b ) (4) 4(2a 3b ) 5(3a 2b )
例2 设x 是未知向量，解方程 （ 5 x a ) 3( x b ) 0