晶体马德隆常数的计算

（4）
根据公式（3）（4），编程计算（附录
2），得出得到
α
2
，
α
' 2
与
n
的对应关系，如下
表：
n
10
α2 1.54824
α2’
1.61541
n
80
α2 1.60676
α2’
1.61554
n
600
α2 1.61437
α2’
1.61554

表2 20 1.58105 1.61553 90 1.60773 1.61554 700 1.61453 1.61554
Zhan Lucheng,Luo Zhilin
Department of Physics, HoHai University, Nanjing (211100)
Abstract This paper amended the Madelung constant’s formula,then calculated and analysised the Madelung constant of one-dimensional ion,two-dimensional ion and three-dimensional ion crystal with Visual Basic and Matlab.The result was that the amended formula of Madelung constant could go to the truth more quickly and be closer to the truth. In addition,with the comparision of three kinds of crystal,we proved that Madelung constant increased when the coordination number of crystal increased. Keywords: ion crystal;Madelung constant;amend
（5）
该正方体晶体有六个表面，这六个表面上的离子对中心离子的贡献不为 1，处于顶点的
8 个离子对中心离子贡献为 1/8，处于棱上的离子对中心离子的贡献为 1/4，面上的离子对中
心离子的贡献为 1/2，此时，马德隆常数就不能用（1）式来表示，而应该修正为
∑ ∑ ∑ n−1 n−1 n−1
α3' = −
图 2 二维正方离子格子修正前后的马德隆常数与 n 之间的关系图
图中“+”对应的是修正前的马德隆常数α2 与 n 的关系，“*”对应的是修正后的马德
隆常数
α
' 2
与
n
的关系。
4．三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算
∑ 三维 Nacl 晶体的马德隆常数一般表达式为α = −
(−1)n1+n2 +n3
n−1
(−1)n2 +n + n−1
(−1)n1+n + n−1
2 ⎢⎣n2 =−n+1 n22 + n2
n + n n1 =−n+1
2 1
2
n2 =−n+1
（n1,n2 不同时为 0）
(−1)n2 −n
n−1
+∑
n22 + (−n)2 n1=−n+1
(−1) n1 − n
⎤ ⎥
n12 + (−n)2 ⎥⎦
α1’
1.38637
n
600
α1 1.38463
α1’
1.38630
表1 20 1.33754 1.38754 90 1.37524 1.38636 700 1.38487 1.38630
一维离子链的马德隆常数与对应的 n
30
40
50
1.35352
1.36161
1.36649
1.38685
1.38661
1．引言
在固体物理的研究过程中，有时为了计算离子晶体的结合能，需要知道该晶体的马德隆 常数（Madelung consant），因此，马德隆常数在离子晶体的研究中占有非常重要的地位。 它的定义式为
α =−∑ n1n2n3
(−1)n1+n2 +n3 n12 + n22 + n32
∑ 其中（n1，n2，n3）是离子晶体中任一离子相对于中心离子的坐标，
，同样的，对于一
n1n2n3 n12 + n22 + n32
个正方体的晶体，假设每一维上的离子数目为 2n+1，那么处于（0，0，0）处的离子的马德
隆常数是
nnn
α3 = − ∑ ∑ ∑ n1=−n n2 =− n n3 =−n
(−1)n1 +n2 +n3 n12 + n22 + n32 （n1,n2,n3 不同时为 0）
∑ α1'
=
− n−1 (−1)n1
n n1 =− n+1
2 1
−1× 2
(−1)−n (−n)2
− 1 × (−1)n 2 n2
（n1≠0）
（2）
根据公式（1）（2）经过编程计算(附录 1)，得到α1 ，α1' 与 n 的对应关系，如下表 ：
n
10
α1 1.29127
α1’
1.39127
n
80
α1 1.37387
1.74756
1.74756
1.74756
画出其关系图如下：
图 3 三维离子晶体 Nacl 修正前后的马德隆常数与 n 之间的关系图
图中“+”对应的是修正前的马德隆常数α3 与 n 的关系图，“*”对应的是修正后的马 德隆常数α3' 与 n 的关系图。
5．结论
本文通过对一维离子链，二维正方离子格子，三维离子晶体（以 Nacl 为例）分别进行 了马德隆常数的计算，并得出了在不考虑边界离子对中心离子的特殊贡献以及考虑边界离子 的特殊贡献时的马德隆常数（表 4）。
70 1.37211 1.38640
500 1.38430 1.38630
画出其关系图如下：
图 1 一维离子链修正前后的马德隆常数与 n 之间的关系图
图中“+”对应的是修正前的马德隆常数α1 与 n 的关系，“*”对应的是修正后的马德 隆常数α1' 与 n 的关系。
-2-
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3．二维正方离子格子的马德隆常数计算
∑ 根据定义式，在二维情况下，晶体的马德隆常数可以表示为α = −
(−1) n1 + n2
，
n + n 2
2
n1n2
1
2
假设每一维上有 2n+1 个离子，若不考虑边界上的离子对中心离子的特殊贡献，则（0，
0）格点上离子的马德隆常数可以用下一式子表示
∑ ∑ α2
nn
1.61554
1.61554
1.61554
60 1.60386 1.61554
400 1.61378 1.61554
2000 1.61518 1.61554
70 1.60551 1.61554
500 1.61413 1.61554
画出其关系图如下：
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=−
n1 =−n n2 =− n
(−1)n1 + n2 n12 + n22
（n1,n2 不同时为 0）
（3）
而当把二维格子边界上的离子对中心离子的特殊贡献考虑在内，四个顶点处的离子对中
心离子的贡献为 1/4，边界上其余的离子对中心离子的贡献为 1/2，由此马德隆常数公式可以
修正为
∑ ∑ α n−1 n−1
∑ ∑ n−1 (−1)n1 +n3 +n + (−1)n1+n3 −n + n−1
∑n−1
( −1) n1 + n2
+n
+
(−1)n1 +n2 −n
⎤ ⎥
2 ⎣⎢n2 =− n+1 n3 =−n+1
n22 + n32 + n2
n1=−n+1 n3 =−n+1
n12 + n32 + n2
n1 =− n+1 n2 =− n+1
虑表面离子的特殊贡献时对这三类晶体进行了马德隆常数的修正，加快了公式的收敛速度，
并且将这两种情况下计算所得的马德隆常数进行了比较和分析。
2．一维离子链的马德隆常数计算
对于正负离子间隔组成的简单一维离子链，马德隆常数的定义式可以写作
∑ α = − (−1)n1
n1
n12
现假设这个离子链是由 2n+1 个离子组成。
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表 4 一维，二维，三维下的马德隆常数结果
修正前的马德隆常数近似值
修正后的马德隆常数近似值
一维离子链
1.38579
1.38629
二维正方离子格子
1.61518
1.61554
三维离子晶体（Nacl）
1.74182
1.74756
根据各个表中的数据，结合对应的关系图，不难得出以下结论: 晶体的马德隆常数是晶体配位数的增长函数[2]，根据本文分析不难看出，随着维度的增 加，马德隆常数也随之增大。修正后的马德隆常数比修正前的稍大，修正后的 Nacl 马德隆 常数更加接近于其实验值 1.747558[3]，这说明在计算 Nacl 晶体的马德隆常数时做此修正是 正确的。经过修正后的马德隆常数有更快的收敛速度，并且维度越大，收敛速度越快。