第2
1. 有一晶体,平衡时体积为 0V ， 原子间相互作用势为0.如果相距为 r 的两原子互作用势为 ()n m r r a r u β
+
-= 证明
(1) 体积弹性模量为 K=.90
V mn
U (2) 求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.
[解答]设晶体共含有 N 个原子,则总能量为
U(r)=
()∑∑i j
ij r u '
21. 由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为 U=
().2
'
∑j
ij
r u N
设最近邻原子间的距离为R 则有j ij a r =R
再令 A ,1'
∑=
j m j m a A ,1'∑=j
n j n a 得到 U=.200⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n m m R A R A N βα 平衡时R=R 0,则由已知条件U(R 0) = 0U 得
0002U R A R A N n n m m =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-βα 由平衡条件 0)
(0
=R dR
R dU
得
021010=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-++n n
m m R A n R A m N βα. 由(1),(2)两式可解得
.
)
(2,
)
(200
00
n n m m nR n m N U A nR n m N U A -=-=
βα
利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]
K=
0220
20
9R R U V R ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂得K= ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-n n m m R A n n R A m m N V 000)1()1(291βα = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)(2)1()(2)1(2910
00
0000n m N mR U R n n n m N nR U R m m N V n
n
m m = .900V mn U - 由于,00
V mn
U (1) 由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为
.)(12
6r B r A r u +-
=若令 6
1
,42⎪⎭
⎫
⎝⎛==A B B A σε,则N 个惰性气体分子的互作用势能可表示为
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=6
612122)(R A R A N r U σσε.
由平衡条件
0)
(0
=R dR
R dU 可得 R .26
1
6120⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A σ进一步得 .2)(12
2
6
00A A N R U U ε-==
代入K=.900V mn U 并取 m =6，n =12，V 3
00334R N =得 K=512
6123
233⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛A A A σε.
对体心立方晶体有 A .11.9,25.12126==A 于是.1.703
σ
ε
=K 2. 一维原子链,正负离子间距为a ,试证:马德隆常数为2=μ1n2. [解答] 相距ij r 的两个离子间的互作用势能可表示成
.4)(2n ij
ij ij r b
r q r u +=π
设最近邻原子间的距离为R 则有 R a r j ij =, 则总的离子间的互作用势能 U=
()∑
∑∑
-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=j
n j
n j j j ij a b
R
a R q N r u N '
'0'
114[22
πε. 基中 j
j
a 1'±
=
∑
μ 为离子晶格的马德隆常数,式中+;- 号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有
.413121112)1('
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-+-=±=∑ j j
a μ利用正面的展开式 1n(1+x ),432432 +-+-x x x x 并令 1=x 得 +-+-4
1
312111=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为2=μ1n2
3. 计算面心立方面简单格子的6A 和12A
(1) 只计最近邻; (2) 计算到次近邻; (3) 计算到次近邻.
[解答]图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O 原子周围有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O 的最近邻标号为2的原子是O 原子的最近邻,标号为3的原子是O 原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近邻.以最近邻距离度量,其距离分别为:.3,2,1==
=j j j a a a 由 .1,112
'126
'6⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑j
j j j a A a A
