人教版中职数学8.3.2圆的一般方程
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圆的标准方程1中职数学页数:15
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中职教育数学《圆的标准方程》课件
②直径的中点
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
C
O C
A
B
x
1、圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方程为（ B ）
A . (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B .(x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C . (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D . (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r
M r
C 所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式， 点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
O
x
说明：
1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、确定圆的方程必须具 备两个独立条件，注意 符号为—。
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就 唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是
圆心和半径．
知识应用：
圆的标准方程
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆 y 的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
方程 x2 y2 r 2 （x a)2 y2 r2 x2 ( y b)2 r2
位置 图形
圆切 x 轴 ]
圆切 y 轴
圆切两坐标轴
方程 （x a)2 （y b)2 b2 （x a)2 （y b)2 a2 （x a)2 （y a)2 a2
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
C
O C
A
B
x
1、圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方程为（ B ）
A . (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B .(x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C . (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D . (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r
M r
C 所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式， 点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
O
x
说明：
1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、确定圆的方程必须具 备两个独立条件，注意 符号为—。
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就 唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是
圆心和半径．
知识应用：
圆的标准方程
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆 y 的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
方程 x2 y2 r 2 （x a)2 y2 r2 x2 ( y b)2 r2
位置 图形
圆切 x 轴 ]
圆切 y 轴
圆切两坐标轴
方程 （x a)2 （y b)2 b2 （x a)2 （y b)2 a2 （x a)2 （y a)2 a2
中职数学第八章直线方程和圆知识点
中职数学第八章直线方程和圆知识点直线方程和圆1.两点间距离公式：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则AB的长度为AB = √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
当x1=x2时，AB = |y2-y1|。
当y1=y2时，AB = |x2-x1|。
2.中点坐标：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则线段AB的中点M的坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。
当x1≠x2时，M的纵坐标为(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)+y1.3.直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角α∈[0,π)。
直线的斜率k=tanα (α≠π/2)。
当α=30°时，k=√3/3；当α=45°时，k=1；当α=60°时，k=√3；当α=120°时，k=-√3；当α=150°时，k=-√3/3.4.直线方程：点斜式：设直线过点A(x1,y1)，斜率为k，则直线的点斜式方程为y-y1=k(x-x1)。
斜截式：设直线与y轴交点为b，则直线的斜截式方程为y=kx+b。
两点式：设直线过点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则直线的两点式方程为(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)。
截距式：设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，则直线的截距式方程为x/a+y/b=1 (a≠0,b≠0)。
一般式：设直线的一般式方程为Ax+By+c=0 (A和B不同时为0)。
5.两直线的位置关系：当两直线斜率都不存在时，若它们的截距不相等，则两直线平行；若它们的截距相等，则两直线重合。
当两直线斜率都存在时，若它们的斜率相等且截距不相等，则两直线平行；若它们的斜率相等且截距相等，则两直线重合；若它们的斜率乘积为-1，则两直线垂直。
当一条直线斜率不存在时，另一条直线斜率存在且不为0时，它们不可能平行或垂直。
当两直线斜率都存在且不为0时，若它们的斜率不相等，则它们相交，且夹角为arctan|k1-k2|；若它们的斜率相等且截距不相等，则它们平行；若它们的斜率相等且截距相等，则它们重合。
圆的一般方程ppt课件
( − ) +( − ) =
点 在圆外
| | >
( − ) +( − ) >
点 在圆内
| | <
( − ) +( − ) <
圆的标准方程的方法：
（1）几何法，数形结合
（2）待定系数法，计算上必须仔细。
直线的方程中有标准方程与一般式方程。在圆的方程表达式中
,半径长为
8
2 4
8
课本P88 习题2.4
3.已知圆 C 经过原点和点 A 2,1 ，并且圆心在直线 l : x 2 y 1 0 上，求圆 C 的标准方程．
【详解】设圆 C 的标准方程为 x a y b r 2 ，
2
2
6
a
0 a 2 0 b 2 r 2
课本P88 练习
3.如图，在四边形 ABCD 中， AB 6 ， CD 3 ，且 AB / /CD ， AD BC ，AB 与 CD 间的距
离为 3．求等腰梯形 ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
3
【详解】由题意可知 A (-3,0),B (3,0),C ,3 设所求圆的方程为 x2 y 2 Dx Ey F 0 ,
+ + + + = ()
+
+ +
=
+ −
()
当2 + 2 − 4 > 0时，比较方程(2)和圆的标准方程，可以看出方程(1)
《圆的方程》中职数学(基础模块)下册8.3ppt课件2【人教版】
所以所求圆的方程是
(x－3)2＋(y－2)2＝13．
例2 求以直线 x－y＋1＝0 和 x＋y－1＝0 的交点为圆心，
半径为 的圆3的方程．
解：由方程组
x y 1 0 x y 1 0
解得：
x 0
y
1
所以所求圆的圆心坐标为 (0，1)，
又因为圆的半径为 因此所求圆的方程为
教材 P 93 练习 A 第 2 题； P 93 练习 B 第 1 题（选做）．
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
•
2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
圆的一般方程 课件
由题意得25DD＋ ＋23EE＋ ＋FF＋ ＋83＝ 4＝0， 0， 3D－E＋F＋10＝0，
解得DE＝＝－－28，， F＝12，
即三角形 ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
求动点的轨迹方程
探究 1 已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0)的距离的 2 倍，你 能求出点 M 的轨迹方程吗？
圆的一般方程
圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当__D_2_＋__E_2_－__4_F_＞__0__时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一 般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为 __－__D2_，__－__E2__ _，半径长为_12___D_2_＋__E_2_－__4_F_.
求圆的一般方程
圆 C 过点 A(1,2)，B(3,4)，且在 x 轴上截得的弦长为 6，求圆 C 的方 程.
【精彩点拨】 由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般 方程，用待定系数法求解．
【自主解答】 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆过 A(1,2)，B(3,4)，∴D＋2E＋F＝－5，① 3D＋4E＋F＝－25.② 令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.设圆 C 与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1，x2，则 x1＋x2＝－D，x1x2＝F. ∵|x1－x2|＝6，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36， 即 D2－4F＝36.③ 由 ①②③得 D＝12，E＝－22，F＝27，或 D＝－8，E＝－2，F＝7. 故所求圆的方程为 x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或 x2＋y2－8x－2y＋7＝0.
人教版中职数学(基础模块)下册8.3《圆的方程》ppt课件1
2．用待定系数法求圆的一般方程．
P 96 练习 A 第 1，2 题； P 96 练习 B 第 2 题（选做）．
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟 是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
例2 已知一曲线是与两个定点 O(0，0)，A(3，0)
距离比为 的点1轨迹． 求这个曲线的方2程，并画出曲线．
解：在给定的坐标系中，设 M(x，y)是曲线上的任意 一点，点 M 在曲线上的充要条件是
| OM | 1 ， | AM | 2
由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为
x2 y2 1． (x 3)2 y2 2
叫做圆的一般方程．
练习一 求出下列圆的圆心及半径： （1）x2 ＋ y2－6 x＝0； （2）x2 ＋ y2－4 x－6 y＋12＝0.
例1 求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) 的圆的方程，并求出这个圆的半 径和圆心坐标．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定．
两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0 ．
将方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4 ． 所以所求曲线是以 C（－1，0） 为圆心，半径为 2 的圆， 如图所示．
y M
C
A 3x
求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为 的点的轨迹方程2．
1．圆的一般方程： x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 （其中 D2＋E2－4 F＞0）
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
P 96 练习 A 第 1，2 题； P 96 练习 B 第 2 题（选做）．
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟 是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
例2 已知一曲线是与两个定点 O(0，0)，A(3，0)
距离比为 的点1轨迹． 求这个曲线的方2程，并画出曲线．
解：在给定的坐标系中，设 M(x，y)是曲线上的任意 一点，点 M 在曲线上的充要条件是
| OM | 1 ， | AM | 2
由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为
x2 y2 1． (x 3)2 y2 2
叫做圆的一般方程．
练习一 求出下列圆的圆心及半径： （1）x2 ＋ y2－6 x＝0； （2）x2 ＋ y2－4 x－6 y＋12＝0.
例1 求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) 的圆的方程，并求出这个圆的半 径和圆心坐标．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定．
两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0 ．
将方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4 ． 所以所求曲线是以 C（－1，0） 为圆心，半径为 2 的圆， 如图所示．
y M
C
A 3x
求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为 的点的轨迹方程2．
1．圆的一般方程： x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 （其中 D2＋E2－4 F＞0）
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
中职数学第八章第六节圆的方程复习课件
2.求圆方程由圆的标准方程和一般方程两种形式可供选择，一般情况下， 已知圆上三点的坐标用圆的一般方程，其它条件都用圆的标准方程。
例3 求圆心在直线2x-y=3上，且与两坐标轴相切的圆的方程.
设圆心坐标为（a,2a-3），∵与两坐标轴相切， ∴ a 2a 3，解得a=3或a=1；
当a=3时，圆心为（3，3），半径为3，圆方程为(x3)2+(y-3)2=9
② 圆心在点C(-4,-3)，半径是2；
(x+4)2+(y+3)2=4
③ 经过原点，且圆心在点C(3,4);
(x-3)2+(y-4)2=25
④ 经过点A(-3,4)，且圆心为C(-2,1).
(x+2)2+(y-1)2=10
（2）求以点C(-1,-5)为圆心，且和y轴相切的圆的方程.
(x+1)2+(y+5)2=1
答案：
(x+3)2+(y-1)2=
(0
3)2
(0
1) 2
2
10 .
例4 求圆心在点C(1,3)，并与直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.
答案：
2
(x-1)2+(y-3)2=
31
43 32 42
7
256 25
4.当堂训练： （1）求下列各圆的方程 ① 圆心在原点，半径为3；
x2+y2=3
解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题
意得
DEF 20 2D E F 5 0
D 5
E
1
3D 2E F 13 0
F
4
所求△ABC外接圆方程为x2+y2-5x-y+4=0
例3 求圆心在直线2x-y=3上，且与两坐标轴相切的圆的方程.
设圆心坐标为（a,2a-3），∵与两坐标轴相切， ∴ a 2a 3，解得a=3或a=1；
当a=3时，圆心为（3，3），半径为3，圆方程为(x3)2+(y-3)2=9
② 圆心在点C(-4,-3)，半径是2；
(x+4)2+(y+3)2=4
③ 经过原点，且圆心在点C(3,4);
(x-3)2+(y-4)2=25
④ 经过点A(-3,4)，且圆心为C(-2,1).
(x+2)2+(y-1)2=10
（2）求以点C(-1,-5)为圆心，且和y轴相切的圆的方程.
(x+1)2+(y+5)2=1
答案：
(x+3)2+(y-1)2=
(0
3)2
(0
1) 2
2
10 .
例4 求圆心在点C(1,3)，并与直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.
答案：
2
(x-1)2+(y-3)2=
31
43 32 42
7
256 25
4.当堂训练： （1）求下列各圆的方程 ① 圆心在原点，半径为3；
x2+y2=3
解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题
意得
DEF 20 2D E F 5 0
D 5
E
1
3D 2E F 13 0
F
4
所求△ABC外接圆方程为x2+y2-5x-y+4=0
中职直线与圆的方程知识点总结
中职直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程在二维平面上，直线可以由一元一次方程表示，其一般形式为:Ax + By + C = 0其中 A、B 和 C 是实数且 A 和 B 不同时为 0。
斜截式方程：斜率为 k，截距为 b 的直线方程可以表示为：y = kx + b其中 k 是斜率，b 是截距。
点斜式方程：已知直线上一点（x₁, y₁）和直线的斜率 k，可以使用以下点斜式方程表示直线：y - y₁ = k(x - x₁)二、圆的方程在二维平面上，圆可以由圆心的坐标 (h, k) 和半径 r 表示，其标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²三、直线与圆的关系直线与圆有以下几种关系：1.直线与圆相切：当直线与圆只有一个交点时，即直线与圆相切。
相切的直线与圆的切线相切于圆的一点。
2.直线与圆相离：当直线与圆没有交点时，即直线与圆相离。
3.直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，即直线与圆相交。
相交的直线与圆会穿过圆的两个点。
4.直线在圆上：当直线经过圆心时，即直线在圆上。
四、直线与圆的方程求解1.判断直线与圆的位置关系：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个一元二次方程；–计算一元二次方程的判别式；–根据判别式的值得出直线与圆的位置关系。
2.求直线与圆的交点坐标：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个二元一次方程组；–解方程组，求得交点坐标。
五、举例例 1：判断直线与圆的位置关系，直线方程为 y = 2x + 1，圆的标准方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 9。
将直线方程代入圆的标准方程得到：(x - 3)² + (2x + 1 - 4)² = 9化简得：5x² - 14x + 9 = 0计算判别式 D = (-14)² - 4 * 5 * 9 = 4，判别式大于 0，因此直线与圆相交。
数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二中关于圆的方程的内容主要涉及以下几个知识点：
1. 圆的标准方程：圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 圆的一般方程：圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
一般方程推导出标准方程的方法是完成平方并合并同类项。
3. 圆的参数方程：若圆的圆心为(a, b)，半径为r，则圆的参数方程为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中θ为参数。
4. 圆的切线方程：过圆上的一点M(x₁, y₁)的切线方程为xx₁ + yy₁ = r²，其中r为圆的半径。
5. 过圆心的直线方程：过圆心的直线方程为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为圆心的横纵坐标。
6. 圆与直线的位置关系：可以利用圆的一般方程和直线的方程，通过解方程组来判断
圆与直线的位置关系。
以上是数学人教版必修二中有关圆的方程的主要知识点。
希望对你有所帮助！。
中职数学圆的一般方程说课稿
圆的一般方程说课稿【一】教材分析1．教材所处的地位和作用《圆的一般方程》安排在职业中学数学基础模块下册第八章第三节二小节第一课时。
圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。
圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
2．学情分析圆的一般方程是学生在掌握了求直线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的, 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅,且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。
另外我们职业中学的学生运算能力普遍较弱，学生在探究问题的能力，合作交流的意识以及数学学习的自信心都有待加强。
根据上述教材所处的地位和作用分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标知识与技能：(1）掌握圆的一般方程及一般方程的特点（2）能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径（3) 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：（1）在师生合作以及小组合作中进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;(2）探索圆的一般方程的过程中加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用；情感态度与价值观：（1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；（2）培养学生勇于思考，探究问题的精神。
（3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣,增强数学学习的自信心。
根据以上对教材、学情及教学目标的分析,我确定如下的教学重点和难点：4．教学重点与难点重点：（1）圆的一般方程。
(2) 待定系数法求圆的方程。
难点：（1）圆的一般方程的应用（2）二元二次方程与圆的一般方程的关系。
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设问题情境，利用多媒体教学的直观节省时间提高教学效率。
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为 C(a，b)，半径为 r (r＞0) 的圆的标准方程
是什么？ (x－a)2＋(y－b)2＝r2． 2．回答下列问题 （1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是 （2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是 半径是 ． ． ，
2 2 2 2 DD E E
1 2
D
2
E
2
4F
为半径
的圆．
圆的一般方程
当 D2＋E2－4 F＞0时，方程 x2 ＋y2 ＋D x＋E y＋F＝0 叫做圆的一般方程． 练习一 求出下列圆的圆心及半径： （1）x2 ＋ y2－6 x＝0；
（2）x2 ＋ y2－4 x－6 y＋12＝0.
例1 求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) 的圆的方程， 并求出这个圆的半径和圆心坐标． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定． 由题意得
D E (x＋ )2+(y＋ 2 2
)2＝
D E 4F
2 2
．
4
当D2＋E2－4F＝0时，方程 当D2＋E2－4F<0时，方程 当D2+E2-4F>0时，方程 x22＋y22＋Dx＋Ey＋F=0 x x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0 表示点(－ ，－ 不表示任何图形． )． 表示以(－ ,－ )为圆心，以
由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为
x
2
y
2
2
( x 3) y
2
1 2
．
两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0 ． 将方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4 ． 所以所求曲线是以 C（－1，0） 为圆心，半径为 2 的圆， 如图所示． M C y
A 3
x
求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为 2 的点的轨迹方程．
（1）请举出几个形式为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 的方程． （2）以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0；
x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
（1）满足怎样的条件，方程 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 表示圆？ 将方程配方，得：
F 0 D E F 2 0 4 D 2 E F 20 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0． 于是所求圆的方程为 x2＋y2－8 x＋6 y＝0． 将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25． 因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
（1）请将圆心在(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程展开． （2）展开后得到的方程有几个末知数？最高次是几 次？这个方程是几元几次方程？ （3）如果令－2a＝D，－2 b＝E，a2＋b2－r2＝F， 这个方程是什么形式？ （4）任意一个圆的方程都可表示为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 的形式吗？
求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．
例2
已知一曲线是与两个定点 O(0，0)，A(3，0)
距离比为
1 2
的点轨迹．
求这个曲线的方程，并画出曲线． 解：在给定的坐标系中，设 M(x，y)是曲线上的任意
一点，点 M 在曲线上的充要条件是
| OM | | AM | 1 2 ，
1．圆的一般方程： x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 （其中 D2＋E2－4 F＞0） 2．用待定系数法求圆的一般方程．
P 96 练习 A 第 1，2 题；
P 96 练习 B 第 2 题（选做）．
是什么？ (x－a)2＋(y－b)2＝r2． 2．回答下列问题 （1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是 （2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是 半径是 ． ． ，
2 2 2 2 DD E E
1 2
D
2
E
2
4F
为半径
的圆．
圆的一般方程
当 D2＋E2－4 F＞0时，方程 x2 ＋y2 ＋D x＋E y＋F＝0 叫做圆的一般方程． 练习一 求出下列圆的圆心及半径： （1）x2 ＋ y2－6 x＝0；
（2）x2 ＋ y2－4 x－6 y＋12＝0.
例1 求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) 的圆的方程， 并求出这个圆的半径和圆心坐标． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定． 由题意得
D E (x＋ )2+(y＋ 2 2
)2＝
D E 4F
2 2
．
4
当D2＋E2－4F＝0时，方程 当D2＋E2－4F<0时，方程 当D2+E2-4F>0时，方程 x22＋y22＋Dx＋Ey＋F=0 x x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0 表示点(－ ，－ 不表示任何图形． )． 表示以(－ ,－ )为圆心，以
由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为
x
2
y
2
2
( x 3) y
2
1 2
．
两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0 ． 将方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4 ． 所以所求曲线是以 C（－1，0） 为圆心，半径为 2 的圆， 如图所示． M C y
A 3
x
求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为 2 的点的轨迹方程．
（1）请举出几个形式为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 的方程． （2）以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0；
x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
（1）满足怎样的条件，方程 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 表示圆？ 将方程配方，得：
F 0 D E F 2 0 4 D 2 E F 20 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0． 于是所求圆的方程为 x2＋y2－8 x＋6 y＝0． 将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25． 因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
（1）请将圆心在(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程展开． （2）展开后得到的方程有几个末知数？最高次是几 次？这个方程是几元几次方程？ （3）如果令－2a＝D，－2 b＝E，a2＋b2－r2＝F， 这个方程是什么形式？ （4）任意一个圆的方程都可表示为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 的形式吗？
求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．
例2
已知一曲线是与两个定点 O(0，0)，A(3，0)
距离比为
1 2
的点轨迹．
求这个曲线的方程，并画出曲线． 解：在给定的坐标系中，设 M(x，y)是曲线上的任意
一点，点 M 在曲线上的充要条件是
| OM | | AM | 1 2 ，
1．圆的一般方程： x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 （其中 D2＋E2－4 F＞0） 2．用待定系数法求圆的一般方程．
P 96 练习 A 第 1，2 题；
P 96 练习 B 第 2 题（选做）．