中职数学基础模块下册第八章《直线和圆的方程》单元检测试题及参考答案

直线与圆的方程试题及答案试题一给定直线的方程为 x + y = 2 和圆的方程为 x^2 + y^2 = 4，求直线与圆的交点坐标。

解答：首先，化简直线的方程可以得到 y = 2 - x。

将直线的方程 y = 2 - x 求根代入圆的方程中，即：x^2 + (2 - x)^2 = 4将上式展开求解，得到 x^2 - 4x + 4 + 4x - 4 = 0化简后得到 x^2 = 4通过求根公式，可以得到 x = 2 或 x = -2。

将 x 的值代入直线的方程 y = 2 - x 中，得到对应的 y 值。

当 x = 2 时，y = 2 - 2 = 0；当 x = -2 时，y = 2 - (-2) = 4。

因此，直线与圆的交点坐标为 (2, 0) 和 (-2, 4)。

试题二给定圆的方程为 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 和直线的斜率为 -2，求直线与圆的交点坐标。

解答：首先，求出直线的方程为 y = -2x + c。

由圆的方程可知，圆心坐标为 (3, -4)，半径为 3。

直线与圆相交时，直线上的点到圆心的距离等于半径。

将直线的方程 y = -2x + c 代入圆的方程 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 中，得到：(x - 3)^2 + ((-2x + c) + 4)^2 = 9展开后，化简上式，得到：5x^2 + 10cx + c^2 - 36x + 48c - 72 = 0因为直线与圆相交，所以上式必有实数解。

根据二次方程的性质，上式的判别式必大于等于零。

即：(10c - 36)^2 - 4 * 5 * (c^2 + 48c - 72) >= 0通过求解不等式，可以得到c ∈ (-∞, 20)。

取 c = 10，将 c 的值代入直线的方程 y = -2x + c 中，得到直线的方程为 y = -2x + 10。

将直线的方程 y = -2x + 10 代入圆的方程 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 中，求解 x 的值。

中职数学基础模块下册第八章《直线和圆的方程》单元检测试题及参考答案中职数学第八章《直线和圆的方程》单元检测一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1.已知A(2,-3),B(0,5)，则直线AB的斜率是（）。

A。

4 B。

-4 C。

3 D。

-32.设A(-1,3),B(1,5)，则直线AB的倾斜角为（）。

A。

30° B。

45° C。

60° D。

90°3.下列哪对直线互相垂直？A。

l1: y=2x+1.l2: y=2x-5B。

l1: y=-2.l2: y=5C。

l1: y=x+1.l2: y=-x-5D。

l1: y=3x+1.l2: y=-3x-54.以A(1,2),B(1,6)为直径两端点的圆的方程是（）。

A。

(x+1)^2+(y-4)^2=8B。

(x-1)^2+(y-4)^2=4C。

(x-1)^2+(y-2)^2=4D。

(x+1)^2+(y-4)^2=165.若P(-2,3),Q(1,x)两点间的距离为5，则x的值可以是（）。

A。

5 B。

6 C。

7 D。

86.方程为x^2+y^2-2x+6y-6=0的圆的圆心坐标是（）。

A。

(1,3) B。

(-1,3) C。

(1,-3) D。

(2,1)7.过点A(-1,2)，且倾斜角是60°的直线方程为（）。

A。

3x+y-2-3=0B。

3x-y+2+3=0C。

x-y+3=0D。

x+y+3=08.下列哪对直线互相平行？A。

l1: y=-2.l2: x=5B。

l1: y=2x+1.l2: y=2x-5C。

l1: y=x+1.l2: y=-x-5D。

l1: y=3x+1.l2: y=-3x-59.下列直线与直线3x-2y=1垂直的是（）。

A。

4x-6y-3=0B。

4x+6y+3=0C。

6x+4y+3=0D。

6x-4y-3=010.过点A(2,3)，且与y轴平行的直线方程为（）。

A。

x=2B。

y=2C。

x=3D。

y=3二、填空题（共8题，每题4分，共32分）11.直线3x-2y-6=0的斜率为_______，在y轴上的截距为_______。

中职数学基础模块下册第八章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案一、选择题：（每题3分，共30分）1.已知点M(2，-3)、N(-4，5)，则线段MN 的中点坐标是（ ）A ．（3,-4)B ．（-3,4)C ．(1,-1) D.（－1,1)2.直线过点A( -1，3)、B(2，-2)，则直线的斜率为( )A ．－53B ．－35C ． -1 D. 13.下列点在直线2x-3y-6=0上的是( )A.(2，-1)B. (0,2)C. (3,0)D.(6,-2)4．已知点A(2，5)，B(-1，1)，则|AB |＝( )A ．5B ．4 C. 3 D ．175．直线x+y+1＝0的倾斜角为( )A. 45º B ，90º C ．135º D ．180º6.直线2x+3y+6=0在y 轴上的截距为( )．A ．3B ．2C ．-3D ．-27．经过点P(-2，3)，倾斜角为45º的直线方程为( )A. x+y+5=0B.x-y+5=0C ．x-y-5=0 D. x+y-5=08.如果两条不重合直线1l 、2l 的斜率都不存在，那么( )A ．1l 与2l 重合B ．1l 与2l 相交C ．1l //2l D.无法判定9.已知直线y= -2x-5与直线y=ax-4垂直，则a ＝( )A ．-2B ． -21C ．2D ．2110.下列直线与3x-2y+5=0垂直的是( )；A ． 2x-3y-4=0B ．2x+3y-4=0 C.3x+2y-7=0 D ．6x-4y+8=011．直线2x-y+4=0与直线x-y+5＝0的交点坐标为( )．A ．(1，6)B ．(-1，6)C ．(2，-3)D ．(2，3)12.点(5，7)到直线4x-3y-1=0的距离等于( )A ．52B ．252C ．58 D ．8 13.已知圆的一般方程为0422=-+y y x ，则圆心坐标与半径分别是( )A. (0，2)， r=2 B ．(0，2)， r=4C ．(0,-2), r=2D ．(0，-2)， r=414．直线x+y=2与圆222=+y x 的位置关系是( )A.相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定15.点A(l ，3)，B （-5，1），则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．10)2()2(22=-++y xB ．10)2()2(22=-++y xC. 10)3()1(22=-+-y x D ．10)3()1(22=-+-y x16.若点P(2，m)到直线3x-4y+2=0的距离为4，则m 的值为( )A. m=-3 B ． m=7 C ． m=-3或m=7 D ． m=3或m=7二、填空题17.平行于x 轴的直线的倾斜角为 ；18.平行于y 轴的直线的倾斜角为 ；19.倾斜角为60º的直线的斜率为 ;20.若点(2，-3)在直线mx-y+5 =0上，则m= ；21.过点(5，2)，斜率为3的直线方程为：22.在y 轴上的截距为5，且斜率为4的直线方程为：23.将y-4=31（x —6）化为直线的一般式方程为：24.过点(-1，2)且平行于x 轴的直线方程为25.过点(O ，-3)且平行于直线2x+3y-4=0的直线方程是26.两条平行直线3x+4y-2=0和3x+4y+3=0的距离是27.已知直线1l ：mx+2y-1=0与直线2l ：x-y-l=0互相垂直，则m= ；28.圆心在点(0，2)且与直线x-2y+9 =0相切的圆的方程为29.圆086422=++-+y x y x 的圆心坐标为 ，半径为 。

第八章 直线和圆的方程1一、选择题1.已知点A(-12)到原点的距离为 （ ）A.8B.-12C.12D.02.点A(12),B(-6)的中点的坐标是 （ ）A.1B.-2C.3D.-43.不等式5<x 的解为（ ）A.X<5B. X>-5C. -5<X<5D.- X<-54.已知点A(2，0),B(-10，0)，则=AB( )A.8B.-8C.12D.-12( )A.5B.-5C.2D.-27.点A(12,2),B(-6,-6)的中点坐标（ ）A.(-6，-2)B. (3，2)C. (3，-2)D. (6，2)8.点A （3,4）关于X 轴的对称点是（ ）A.(4，3)B. (3，-4)C.(-3，-4)D. (-3，4)9.点（-3,4）到原点的距离是（ ）A.5B.-5C.2D.-210.已知点A(4，-3),B(-2，5),则=AB ( ) A.5 B.10 C.13D.1511.已知△ABC 的顶点A(1，-2),B(-2，6),C(5，4),AC 边的中线长为 （ ）A.5B.25C.10D.1212.X 轴所在的直线方程是 （ ）A.X=0B. X=1C. Y=0D. Y=113.在直线012=+-y x 上的点是（ ）A.(1,1)B.(2,0)C.(-1,-1)D.(1,0)14.过（2，-2）且垂直于x 轴地直线方程是（ ）A.2=xB. 2-=xC. 2=yD. 2-=y 15.点到（-3,1)到x 轴的距离是 （ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1 17.直线01=++y x 与直线01=--y x 的交点坐标是 （ ）A.(1，0) B(-1，0) C. (0，1) D.(0，-1) 18. 直线1=x 的倾斜角的 （ ） A.00B.090 C.1800 D.450 19.如果直线的倾斜角是450，则它的斜率是 （ ） A.0 B.33C.3D.1 20.直线1=y 的斜率是 （ ） A.1 B.0 C.-1 D.不存在 21.直线的斜率是-1，则直线的倾斜角是 （ ） A.00 B 450 C 900 D 135023.下列说法正确的是 （ ） A.直线都有唯一的斜率 B 每一条直线都有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率C 每一条直线都有唯一的倾斜角，但不一定有斜率D 倾斜角相同的直线一定是同一条直线24.直线斜率为-2，则倾斜角是（ ）A.锐角 B 钝角C 直角D 不确定25.直线12+-=x y 的斜率是（ ）A.-2 B 2 C 1 D -1 26.直线2-=x y 在y 轴上的截距是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 27.直线2+=x y 的倾斜角是 （ )A.300B.450C.600D.135028.过点（0，-2）且斜率为-2的直线方程是 （ ） A.2+=x y B 22+-=x y C 2-=x y D 22--=x y 30.直线33-=x y 在y 轴上的截距是 （ ） A.1 B.-1 C.-3 D.3 31.过点A(2，-1)且倾斜角为450的直线的一般方程是 （ ） A.12+=-x y B 21-=+x y C 03=+-y x D 03=--y x 32.32.直线0132=+-y x 的斜率是 （ ）A.32 B 23 C 32- D 23-33.过点（-2,6）且斜率为-4的直线的一般式方程是 （ ）A.24--=x y B 024=--x y C 24+=x y D 024=++y x 36.若直11b k y x +=与直线22b k y x +=平行，则 A.21k k ≠B.2121b b k k ==且C.2121b b k k ≠=且D.2121b b k k ≠≠且37.直线012032=-+=+-y x y x 与直线的交点是 （ ）A.(1，-1) B (2,-1) C.(-1,1) D.(-1,2)38.过点（2,4）且与直线03=+x 平行的直线方程是 （ ） A.2=x B.4=x C.2=y D.4=y40.若直线1l 的方程是0111=++C y B x A ,2l 的方程是0222=++C y B x A ，且2121B B A A ≠,则这两条直线的位置关系是（ ）A.相交 B 平行 C 重合 D 垂直41.直线02640132=-+=-+y x y x 与直线的位置关系是 （ ）A 相交B 平行C 重合D 垂直 42.已知过点（-2，m ）和（m ，4）的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值是 （ ）A.0B.-8C.2D.1043.以A （1,3），B （-5,1）为端点的线段的垂直平分线方程是 （ ）A.3x-y+8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=044.直线012=+-y x 与直线012=++y ax 垂直，则a 的值是A.1B.-1C.4D.-445.过点（-1,2）且与直线0432=+-y x 垂直的直线方程是 （ ）A.023=+y x B 0723=++y x C0532=+-y x D 0832=+-y x46.直线012=++y ax 与直线0)3(=+--a y x a 垂直，则a 的值是 （ ）A.1B.2C.6D.1或247.点（0,1）到直线022=+-y x 的距离为 （ ）A.55 B 554 C 33 D 515A.3 B 0.1 C 0.5 D 749 原点到直线052=-+y x 的距离为 （ ）A.1B.3C.2D.5 50 已知点（3，m ）到直线043=-+y x 的距离等于1，则m 等于 （ ）A.3 B 3- C 33-D 3或33-56已知A （2,4），B （-4,0），则以AB 为直径的圆的方程是 （ ）A. 13)2()1(22=-++y xB.13)2()1(22=+++y xC.13)2()1(22=-+-y xD.13)2()1(22=++-y x 57.圆心为（-2,2），半径为5的圆的标准方程为 （ ）A.5)2()2(22=++-y xB.25)2()2(22=+++y xC.5)2()2(22=-++y xD.25)2()2(22=++-y x59.圆心为（3,4），且过点（4,6）的圆的方程是 （ ） A.3)4()3(22=++-y x B3)4()3(22=-+-y xC 5)4()3(22=-+-y x D5)4()3(22=-+-y x 60.圆04222=-++y x y x 的圆心坐标和半径分别是 （ ） A.（1，-2），5 B （1，-2），5 C 5),2,1(- D (-1,2),5 78.直线063=+-y x 的倾斜角是（ ）A.60°B.120° C 30° D.150°79.经过点A(-1,4),且在x 轴上的截距为3的直线方程是 （ ）A. x+y+3=0 B x-y+3=0 Cx+y-3=0 D x+y-5=083.圆06222=-++y x y x 的圆心是（ ）A.(1,3) B (-1,-3)C (-1,3) D(1,-3)。

中职数学：第八章直线与圆的方程测试题(含答案)第八章直线与圆的方程测试题班级。

姓名。

得分：选择题（共10题，每题10分）1、点（2，1）到直线4x-3y-1=0的距离等于（B）A、2/5.B、4/5.C、2.D、32、直线与x-y+3=0与圆(x-1)^2+(y-1)^2=1的位置关系是（C）A、相交。

B、相切。

C、相离。

D、无法判断3、求过三点O(0，0)，M1 (1，1)，M2（4，2）的圆的方程（A）A、x^2+y^2-8x+6y=。

B、x^2+y^2+8x+6y=。

C、(x-4)^2+(y-3)^2=25.D、(x+4)^2+(y+3)^2=254、已知直线l经过点M(2，-1)，且与直线2x+y-1=0垂直，求直线l的方程（C）A、x-2y+4=0.B、2x-y-4=0.C、x-2y-4=0.D、2x-y+4=05、求经过点P(-2，4)、Q (0，2)，并且圆心在x+y=0上的圆的方程（A）A、(x+2)^2+(y-2)^2=4.B、(x-2)^2+(y-2)^2=4.C、(x+2)^2+(y+2)^2=4.D、(x-2)^2+(y+2)^2=46、设圆过点（2，-1），又圆心在直线2x+y=0上，且与直线x-y-1=0相切，求该圆的方程（B）A、(x-1)^2+(y-2)^2=2或(x-9)^2+(y-18)^2=338.B、(x-1)^2+(y+2)^2=2或(x-9)^2+(y+18)^2=338.C、(x-2)^2+(y-1)^2=12或(x-18)^2+(y-9)^2=36.D、(x-1)^2+(y+2)^2=12或(x-9)^2+(y+18)^2=367、求以C(2，1)为圆心，且与直线2x+5y=0相切的圆的方程（C）A、(x-2)^2+(y-1)^2=1/29.B、(x+2)^2+(y+1)^2=1/29.C、(x-2)^2+(y-1)^2=81/29.D、(x+2)^2+(y+1)^2=81/298、设圆的圆心坐标为C（-1,2），半径r=5，弦AB的中点坐标为M（0,-1），求该弦的长度（D）A、√10.B、√15.C、2√10.D、2√159、求圆(x-3)^2+y^2=1关于点p(1,2)对称的圆的方程（B）A、(x-3)^2+(y-2)^2=1.B、(x+1)^2+(y-4)^2=1.C、(x+3)^2+(y+2)^2=1.D、(x-1)^2+(y+4)^2=1给定三角形ABC的三个顶点坐标A(4,5)。

第 8 章直线和圆的方程练习 8.1两点间的距离与线段中点的坐标1.根据下列条件，求线段P P 的长度：1 2（ 2） P （ -3， 1）、 P （ 2， 4）（1） P （ 0， -2）、P （ 3，0）121 2 （3） P （ 4， -2）、P （ 1，2）（ 4） P （ 5， -2）、 P （ -1， 6）1 2122.已知 A(2,3) 、 B （ x ， 1），且 |AB |= 13 ,求 x 的值。

3.根据下列条件，求线段 P 1P 2 中点的坐标：（1） P 1（ 2， -1）、P 2（ 3，4） （ 2） P 1（ 0， -3）、P 2（ 5，0） （ 3） P 1（ 3， 2.5）、 P 2（4， 1.5）（ 4） P 1（ 6， 1）、P 2（3， 3）4.根据下列条件，求线段P 1P 2 中点的坐标：（1） P （ 3， -1）、P （ 3，5）（ 2） P （ -3， 0）、 P （ 5，0）1 21 2（3） P 1（ 3， 3.5）、 P 2（4， 2.5） （ 4） P 1（ 5， 1）、 P 2（5， 3）参考答案：1.(1) 13 ;(2) 34 ;(3)5; (4)102.-1 或 53.(1) ( 5 , 3) ;(2) ( 5 ,3) ;(3) (7, 2) ; (4) (9, 2)222 222 4. (1)(3, 2) ;(2) (1,0) ;(3) (3.5,3) ; (4)(5, 2)练习 8.2.1 直线的倾斜角与斜率1．选择题（1）没有斜率的直线一定是（）A. 过原点的直线B.垂直于 y 轴的直线C.垂直于 x 轴的直线D. 垂直于坐标轴的直线(2) 若直线 l的斜率为 -1，则直线 l 的倾斜角为（ ）A.90 B.0 C. 45D. 1352 已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：（1） 30 , k ____ （ 2） （3）120 ,k____（ 4）参考答案：1. （ 1） C（ 2） D45 , k____150 , k____2. （ 1）3 3;(2) 1 ;(3) 3 ; (4)33练习 8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程写出下列直线的点斜式方程（1）经过点 A （2,5），斜率是 4；（2）经过点 B （ 2,3），倾斜角为45；（3）经过点 C（ -1,1），与 x 轴平行；（4）经过点 D （1,1），与 x 轴垂直。

GAGGAGAGGAFFFFAFAF第八章：直線與圓測試題一、選擇題（本大題共l0小題，每小題3分，共30分）1.點()1,2M 與點()1,5-N 的距離為 （ ）A 、13B 、14C 、15D 、42.在平面內，一條直線傾斜角的范圍是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π B 、)[π,0 C 、[]0,π- D 、[]ππ,- 3. 直線x=3的傾斜角是( )A 、00B 、 300C 、900D 、不存在 4.已知 A （－5，2），B （0，－3）則直線AB 斜率為 （ ）A 、 －1B 、1C 、 31 D 、0 5.如圖直線1l ，2l ，3l 的斜率分別為1k ，2k ，3k 則（ ） A 、1k ＞2k ＞3kB 、2k ＞1k ＞3kGAGGAGAGGAFFFFAFAFC 、3k ＞2k ＞1kD 、2k ＞3k ＞1k6.經過點（1，2）且傾斜角為450的直線方程為（ ）A 、1+=x yB 、x y 2=C 、3+-=x yD 、x y 2-=7.直線062=+-y x 與兩坐標軸圍成的三角形面積為( )A 、12B 、18C 、9D 、68. 直線02=+x 和01=+y 的位置關系是（ ）A 、相交B 、平行C 、重合D 、以上都不對9.過點(2,1)A ，且與直線0102=-+y x 垂直的直線l 的方程為( )A 、20x y +=B 、20x y -=C 、02=-y xD 、20x y += 10.圓心為（-1,4），半徑為5的圓的方程為( )A 、25)4()1(22=++-y x B 、25)4()1(22=-++y xGAGGAGAGGAFFFFAFAFC 、5)4()1(22=++-y xD 、5)4()1(22=-++y x二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11.已知A （7,4），B （3,2），則線段AB 的中點坐標是 ．12.直線013=++y x 的傾斜角為 ___13.經過點（1，3），（5，11）的直線方程為_____________________14.直線1+=kx y 經過（2，-9），則k =____________________15.直線06=-+y mx 與直線0632=--y x 平行，則m =___ ___16.原點到直線0834=+-y x 的距離為____________17.已知圓的方程為04222=+-+y x y x ，則圓心坐標為__________,半徑為____18.直線與圓最多有多少個公共點______ _三、解答題（本大題共6小題，共46分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.已知三角形的顶点是A(1，5),B(1，1), C(6，3),求证：ABC ∆是等腰三角形。

中职数学直线与圆的方程单元测试（一）含参考答案一、单项选择题1．已知A(2，3)，B(2，5），则线段AB 的中点坐标为（ ）A ．(1，2) B.（0,－1） C ．(0，－2) D ．(2，4)2．若直线l 的倾斜角是o 120，则该直线的斜率是（ ）A ．－1B ．0 C.3- D ．33．已知33+-=x y ，斜率为( )．A ．3B ．－3C ．－1D ．04．直线012=--y x 在y 轴上的截距为( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．经过点P(l ，3)，且斜率为2的直线方程是( )。

A ．012=++y xB ．012=+-y xC ．012=--y xD ．052=++y x6．直线x y 5=与直线3-=ax y 平行，则a ＝( )．A ．-1B ．0C ． 1D ．57．直线52-+y x =0与直线x ＝3的交点坐标为( )．A. (3,1)B. (1,3)C. (3,2)D. (2,3)8．点M(-3，1)到直线0543=-+y x 的距离为( )．A ．2-B ．1-C ． 2D ．19．圆心为C(2，-1)，半径为3的圆的方程为( )．A ．9)1(222=-++y x ）（B ．3)1(222=-++y x ）（ C ．9)1(222=++-y x ）（ D ．3)1(222=++-y x ）（10.圆6)5(222=++-y x ）（的圆心坐标与半径分别是( )A ．），（52-，6=rB ．），（52-，6=r C ． ），（52-，6=r D ．），（52-，6=r 11. 直线02=+-m y x 过圆046422=+--+y x y x 的圆心，则m ＝( )．A ．1B ．0C ．1-D ．212.经过圆25)2(122=-++y x ）（的圆心且与直线04=--y x 垂直的直线方程为( )A ．01=++y xB ．01=+-y xC ．01=-+y xD ．01=+-y x二、填空题13．已知两点A(0，6)，B （－8，0），则线段AB 的长度为14．倾斜角为45。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．2．(山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝± 2.因此p是q的充分不必要条件．4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－32在直线l 上，故可排除A 、B 、C.法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.5．(重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B.2 C. 3D ．2解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.[例1] (1)(安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.[答案] (1)C (2)43——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________． 解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．答案：相交2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y －8.[例2] (1)(北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 ———————————————————求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |x 1－x 2|＝3．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＝22， 所以a ＝0或a ＝4.4．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10[例3] 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)从圆C 外一点P ( ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程． [自主解答] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零， 设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3. 故直线方程为|2＝|PC |2－r 2.又∵|PM |＝|PO |，∴|PC |2－r 2＝|PO |2， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2. ∴2x －4y ＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l 的方程．解：将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得y ＝(2±6)x ； 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上可知，直线l 的方程为 (2＋6)x －y ＝0或 (2－6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.——————————————————— 求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x ＝x 0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(点的圆的切线方程； (2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例] (全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 则圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数； (2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验． [变式训练]1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2D.2－1解析：选A 直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋(b －1)2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋(－5)2<1，解得－13<c <13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝0解析：选C 圆心为(1，－3)，半径为1，故x ＝0与圆相切．2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3D.56π 解析：选D 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝－33，故直线l 的倾斜角为56π.3．(陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON (O 为坐标原点)等于( ) A ．－7 B ．－14 C ．7D ．14解析：选A 设OM ，ON 的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos 2θ＝－7.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)9．(天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．求过点P (4，－1)且与圆C ：，n )，半径为r ， 则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ， 解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为(，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．1．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )A ．4B ．42C ．8D ．82解析：选C 依题意，可设圆心坐标为(a ，a )，半径为r ，其中r ＝a >0，因此圆方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，|C 1C 2|＝2×102－4×17＝8.2．(天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)解析：选D 由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.3．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32. 答案：x ＝324．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，②联立①②消去y 得 2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③ ∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0， 而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2， ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4.∴满足条件的直线l 存在，其方程为 x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.。