中职数学8.4.1圆的标准方程课件

【技法点拨】求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的标 准方程. (2)待定系数法： ①设：根据题意,设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列：根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解：解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的标准 方程中,就得到所求的圆的标准方程.
［2 (3)］2 ［ 3 (3)］2 5, | ON | (2 5)2 (3 2)2 34＞5, | OQ | (2 4)2 (3 7)2 20＜5,
所以点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.
【互动探究】题1中,若点在圆外,则a的取值范围又是什么? 【解析】若点在圆外,则(1-a)2+(1+a)2>4,解得a2>1,即a<-1 或a>1
【探究提升】 1.对圆的标准方程的理解 (1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的 定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现. (2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆 的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准 方程的优越性.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b) 为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确 定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起 到定形作用,即影响圆的大小.
3.几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程：x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程：(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程：x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).

核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。

点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐 标适合方程。
反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明 点M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)， 半径为r 的圆上。
(x a) 2 (y b) 2 r2
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）。
(3 a)2 (4 b)2 r2
(-2
a)2
(5 b)2
r2
(-3 a)2 (-6 b)2 r2
解此方程组，得：
a
15 28
,
b
19 28
,
r 2
22345 . 784
所以，ABC的外接圆的方程
(x 15 )2 (y 19 )2 22345
28
28 784
例三
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心 C在直线上l：x-y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程。
y
M11
点到圆心的距离AM > 半径 r ，则点在圆内。 点到圆心的距离AM< 半径 r ，则点在圆外。
例二
ABC的三个顶点的坐标分别A(3,4), B(-2,5)， C(-3, -6)，求它的外接圆的方程。
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个 圆，三角形有唯一的外接圆。
解：设所求圆的方程为 (x a) 2 (y b) 2 r2， 点A,B,C都在圆上，故都满足圆的方程，于是有
难点
➢圆的标准方程的应用。
思考
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ y
O
x
Ar M
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定 了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径。

编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
2
2
故所求圆的方程为
(x 5)2 ( y 1)2 5．
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(−2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
固
知
⑶ 由于圆心在直线 x y 0上，故设圆心为C(x0, x0 )，
识
于是有
CP CQ ，
典
(x0 2)2 (x0 4)2 (x0 0)2 (x0 2)2，
型
解得
x0 2
例
因此，圆心为(－2，2)．半径为
题
r (2 0)2 (2 2)2 2，
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(－2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
固
分析 根据已知条
知
件求出圆心的坐标和 解 ⑴ 由于点（−2，5）与点（半3径，，− 从）而间确的定距字离母就是半径，

_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .

通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。

点在 │MA│<r⇔点M在圆 圆内 A内
点在 │MA│>r⇔点M在圆 圆外 A外
点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＝r 2 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＜r 2 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＞r 2
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课后作业：每日小练
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练习 P.121第4题；
解：设圆的标准方程为x a2 y b2 r2
分别把三点代入圆的方程得
4 a2 b2 r2 1 a2 b 32 r2 2 a2 b2 r 2 3
把点M (5,1)代入方程得，r2 25
即圆的标准方程为（x-8)2 ( y3)2 25.
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例2.△ABC的三个顶点的坐标分别是
A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它 y
的外接圆的方程.
A(5,1)
分析，由于圆的标准方程 有（a，b）和r三个参数决 定，把三点代入联立方程 组即可
(2
y
3)2 1. ( x,3），r 2.
2.圆心为（ 4,5），r 2 2.
3.圆心为（ 1 , 3），r 7 .
22
2
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探究三：点与圆的位置关系
平面上的点
M
x0 ,
y 0
与圆（xa）2
(
y b)2
探究二:圆的标准方程
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？

(x 2)2 (y 3)2 25
几何方法
y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
一、圆的定义:
平面内到定点距离等于定长的点 的集合叫做圆。定点叫做圆心， 定长叫做半径。
已知圆心C(a,b),半径等于r,求圆的方程。
解:设M(x , y)为圆上任意点
y
P = { M | |MC| = r }
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r O C x
x a2 y b2 r2
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位
置关系？
A
A A
O
O
O
OA<r
OA=r
OA>r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)
和圆C：(x a)2 ( y b)2 r2 ，如何判断
点M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2
(2) (x+4)2+(y-2)2 = 7 (-4,2) r 7
(3) x2+(y+1)2 = 16
(0,-1) r=4
(4) 2x2+2y2=8
(0,0) r=2
练习2：写出下列圆的方程
(1)圆心在原点,半径是3.
x2+y2=9
(2)圆心在(3,4),半径是 5
(x-3)2+(y-4)2=5
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置 关系？
的外接圆的方程.

-7-
4.1.1 圆的标准方程
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
解:解方程组
2������ + ������-1 = 0, 得 ������-2������ + 2 = 0,
������ = 0, ������ = 1,
-3-
4.1.1 圆的标准方程
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D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
12
做一做 1
圆 x2+y2=1 的圆心为( )
A.(0,0) C.(0,1) 答案:A
B.(1,1) D.(1,0)
做一做 2
圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( ) A.x2+(y-4)2=25 B.x2+(y+4)2=25 C.(x-4)2+y2=25 D.(x+4)2+y2=25
解法一:(直接法)
由题意,得 AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0.
由
3������ 3������
+ +
2������-15 = 0, 解得 10������ + 9 = 0,
������ ������
= =
7, -3.
则圆心 C 为(7,-3),
圆 C 的半径 r=|CB|= 72 + (-3-1)2 = 65. 故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.

思
则 x2 y2 Dx Ey F 0．
考
这是一个二元二次方程．观察发现具有下列特点：
探
⑴ 含 x 2 项的系数与含 y 2 项的系数都是1；
索
⑵ 方程不含xy项．
新
知
具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗?
8．4 圆
x2 y2 Dx Ey F 0．
将方程配方整理得
2
2
故所求圆的方程为
(x 5)2 ( y 1)2 5．
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(−2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
典
02 02 D 0 E 0 F 0,

12

12 D1 E 1 F 0,

42
22
D 4 E 2 F
0,
型
解得D=−8，E=6，F=0．
例
故所求圆的一般方程为
题
x2 y2 8x 6 y 0．
8．4 圆
脑
思
x2 y2 Dx E y F 0，可以发现：这两个方程中各分别
考
含有三个字母系数 a, b, r或D, E, F．确定了这三个字母系
探
数，圆的方程也就确定了．因此，求圆的方程时，关键是确
索 新
定字母系数 a, b, r（或D, E, F）的值．
知
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：

(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程 解决实际问题。
圆的标准方程PPT完美课件
圆的标准方程PPT完美课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
5
(3)已知点A（2，3），B（4，9）, 圆以线段AB为直径；
待定系数法 关键：求圆心和半径
类比于直线 方程求法
(1) (x-1)2+(y-3)2 = 9
(2) (x-1)2+(y+1)2 = 5 或 (x-1)2+(y-3)2 = 5
（3） (x-3)2+(y-6)2=10
圆的标准方程PPT完美课件
圆的标准方程PPT完美课件
圆的标准方程PPT完美课件
[点与圆的位置关系]
例题4、设圆 C : (x a)2 ( y 1)2 2a
(a 0,且a 1), 则坐标原点的位置是（ A）。
(A) 在圆外 (B) 在圆上 （C）在圆内 (D) 与a的取值有关而无法确定.
圆的标准方程PPT完美课件
圆的标准方程PPT完美课件
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。

a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
例3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位 置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面 下降1米后，水面宽多少米？
【分析】 建立坐标系求解．
【解】以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖 直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法：
①待定系数法 ②几何法
r＝|CM|＝ 4－32＋5－82＝ 10，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关
系？
M
M
OM
O
O
点在圆内
点在圆上
|OM|<r
|OM|=r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2; (x0-a)2+(y0-b)2=r2
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
跟踪训练 已知两点M(3,8)和N(5,2)． (1)求以MN为直径的圆C的方程； (2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在 圆内，还是在圆外？

知识点一：圆的标准方程
y
标准方程
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
OC
x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
应用举例 1.说出下列圆的方程： (1)圆心在点C(3, -4), 半径为7. (2) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
解：建立图(2)所示的直角坐标系，则圆心在y轴 上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那 么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面用待定系数 法求b和r的值．因为P、B都在圆上，所以它们 的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解．于
是得到方程组
02＋4－b2＝r2 102＋0－b2＝r2
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解2:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
点在圆外 |OM|>r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.