中职数学8.4.1圆的标准方程ppt课件

核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。

点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐 标适合方程。
反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明 点M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)， 半径为r 的圆上。
(x a) 2 (y b) 2 r2
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）。
(3 a)2 (4 b)2 r2
(-2
a)2
(5 b)2
r2
(-3 a)2 (-6 b)2 r2
解此方程组，得：
a
15 28
,
b
19 28
,
r 2
22345 . 784
所以，ABC的外接圆的方程
(x 15 )2 (y 19 )2 22345
28
28 784
例三
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心 C在直线上l：x-y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程。
y
M11
点到圆心的距离AM > 半径 r ，则点在圆内。 点到圆心的距离AM< 半径 r ，则点在圆外。
例二
ABC的三个顶点的坐标分别A(3,4), B(-2,5)， C(-3, -6)，求它的外接圆的方程。
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个 圆，三角形有唯一的外接圆。
解：设所求圆的方程为 (x a) 2 (y b) 2 r2， 点A,B,C都在圆上，故都满足圆的方程，于是有
难点
➢圆的标准方程的应用。
思考
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ y
O
x
Ar M
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定 了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径。

(xa)2(yb)2r2
O C(a,b) x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2y2 r2
说出下列圆的方程： （1）以 C（1，－2）为圆心，半径为 3 的圆的方程； （2）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程．
答案： （1）(x－1)2＋(y＋2)2＝9； （2）x2＋y2＝9．
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
探究新知
问题三：圆心是C(a,Байду номын сангаас),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
y M(x,y)
(xa)2(yb)2r
O C(a,b) x
(x-a)2+(y-b)2=r2
所以 a=-7 ,b=4,r=6
所以圆的圆心坐标为（-7,4），半径为r=6
(2) x2 + （y+2）2 = 1
(x-0)2 + 【 y-(-2)】2 = 12
所以 a=0 ,b=-2,r=1
几何画板直观演示
所以圆的圆心坐标为（0,-2），半径为r=1
方法小结
• （1）设圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r2
8.4.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
奥运五环
y
形
数
l:AxByC0
o
x
直线可以用一个方程表示，圆也可以 用一个方程来表示吗？怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
复习引入
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义 的？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。

_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .

回忆一下：义务阶段，我们是如何给圆定义的呢？
在一个平面内，一动点以一定点为中 心，以一定长度为距离旋转一周所形 成的封闭曲线叫做圆。
在平面直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？ 定点、倾斜角
动手操作：用一根固定长度的细绳画圆 思考：确定圆的基本要素是什么？
圆心、半径
1、圆的概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
定点
圆心
定长
半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了。
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆 y
的定义，点M到圆心C的 距离等于r， 所以圆C就是集合
r C
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，
O
M x
点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
解 （1）因为圆心C(1,2)，半径为2，所以圆的标准方程为 (x-1)2+(y-2)2=4；
（2）因为圆心为坐标原点，半径为5，所以圆的标准方程为 x2+y2=25．
练习
写出下列圆的标准方程; （1）圆心C(0,0)，半径r=1； （2）圆心C(0,1)，半径r=3； （3）圆心C(3,0)，半径r=2； （4）圆心C(2,-1)，且圆过点(5,5)．
把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 ( y b)2 r2 O
圆的标准方程
C x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
例1 写出下列各圆的标准方程． （1）圆心C(1,2)，半径为2； （2）圆心为坐标原点，半径为5．

通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。

点在 │MA│<r⇔点M在圆 圆内 A内
点在 │MA│>r⇔点M在圆 圆外 A外
点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＝r 2 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＜r 2 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＞r 2
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课后作业：每日小练
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练习 P.121第4题；
解：设圆的标准方程为x a2 y b2 r2
分别把三点代入圆的方程得
4 a2 b2 r2 1 a2 b 32 r2 2 a2 b2 r 2 3
把点M (5,1)代入方程得，r2 25
即圆的标准方程为（x-8)2 ( y3)2 25.
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例2.△ABC的三个顶点的坐标分别是
A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它 y
的外接圆的方程.
A(5,1)
分析，由于圆的标准方程 有（a，b）和r三个参数决 定，把三点代入联立方程 组即可
(2
y
3)2 1. ( x,3），r 2.
2.圆心为（ 4,5），r 2 2.
3.圆心为（ 1 , 3），r 7 .
22
2
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探究三：点与圆的位置关系
平面上的点
M
x0 ,
y 0
与圆（xa）2
(
y b)2
探究二:圆的标准方程
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？

3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。

圆心在点C(a,b),半径是r，圆上任意找一点M(x,y)
y
M(x,y)
r C(a,b) b
由两点间距离公式可得 化简得：
a
0x
8
2
圆的 标准方程
M(x,y)
r
C(a,b)
求解参数
求解方程
9
3
写圆方程 小试身手
10
1.根据下列条件，写出圆的标准方程，并画出圆
① 圆心C(a,b) 半径r
圆的方程F(x , y)=0
第8章 直线和圆的方程
8.4圆
创作：博爱县职业中等专业学校 李小富
教学目标
1
美好回忆 圆
2
2
圆的 标准方程
3
题型示例 ①写圆的标准方 ②求圆的参数C、r
1
美好回忆 圆
圆的画法：好回忆 圆
圆的画法：用圆规、用线段、用细杆
4
1
美好回忆 圆的参数
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹
3
求圆参数 小试身手
11
2.根据下列圆的标准方程,写出圆的参数并画圆
① 圆心C(a,b) 半径r
圆的方程F(x , y)=0
② (-3, 0)
r =5
(x+3)2+y2=25
③ (1, 2)
r =2
(x-1)2+(y-2)2=4
④ (0 , 3)
r =2
x2+(y-3)2=20
⑤ (-3, 2)
r =3
② (-2, 0)
r =3
(x+2)2+y2=9
③ (-1, 2)
r =2
(x+1)2+(y-2)2=4

-7-
4.1.1 圆的标准方程
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
解:解方程组
2������ + ������-1 = 0, 得 ������-2������ + 2 = 0,
������ = 0, ������ = 1,
-3-
4.1.1 圆的标准方程
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D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
12
做一做 1
圆 x2+y2=1 的圆心为( )
A.(0,0) C.(0,1) 答案:A
B.(1,1) D.(1,0)
做一做 2
圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( ) A.x2+(y-4)2=25 B.x2+(y+4)2=25 C.(x-4)2+y2=25 D.(x+4)2+y2=25
解法一:(直接法)
由题意,得 AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0.
由
3������ 3������
+ +
2������-15 = 0, 解得 10������ + 9 = 0,
������ ������
= =
7, -3.
则圆心 C 为(7,-3),
圆 C 的半径 r=|CB|= 72 + (-3-1)2 = 65. 故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.

思
则 x2 y2 Dx Ey F 0．
考
这是一个二元二次方程．观察发现具有下列特点：
探
⑴ 含 x 2 项的系数与含 y 2 项的系数都是1；
索
⑵ 方程不含xy项．
新
知
具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗?
8．4 圆
x2 y2 Dx Ey F 0．
将方程配方整理得
2
2
故所求圆的方程为
(x 5)2 ( y 1)2 5．
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(−2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
典
02 02 D 0 E 0 F 0,

12

12 D1 E 1 F 0,

42
22
D 4 E 2 F
0,
型
解得D=−8，E=6，F=0．
例
故所求圆的一般方程为
题
x2 y2 8x 6 y 0．
8．4 圆
脑
思
x2 y2 Dx E y F 0，可以发现：这两个方程中各分别
考
含有三个字母系数 a, b, r或D, E, F．确定了这三个字母系
探
数，圆的方程也就确定了．因此，求圆的方程时，关键是确
索 新
定字母系数 a, b, r（或D, E, F）的值．
知
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：