PASS9-1 二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质

第一篇：第一节二重积分的概念与性质

第九章重积分

第一节 二重积分的概念与性质

与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示

★ 曲顶柱体的体积

★ 非均匀平面薄片的质量

★ 二重积分的概念

★ 二重积分的性质

★ 例

1★ 例

4★ 内容小结

★习题9-1

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★ 二重积分的中值定理 ★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习

内容要点：

一、二重积分的概念

引例1 求曲顶柱体的体积； 引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质

性质1—性质6

二重积分与定积分有类似的性质.性质1

[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d.DDD

性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则 f(x,y)df(x,y)df(x,y)d.DD1D

2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)1,为D的面积, 则

1dd.DD

这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)g(x,y),则

f(x,y)dg(x,y)d.DD

特别地, 有f(x,y)d|f(x,y)|d.DD

性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, 为D的面积, 则

mf(x,y)dM.D

这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：

二重积分的概念及性质

前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。

二重积分的定义

设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：

(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；

(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；

(3)把所有这些乘积相加,即作出和数

(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:

即：=

其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.

关于二重积分的问题

对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。

上述就是二重积分的几何意义。 如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。

二重积分的性质

(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.

(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.

(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:

(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:

≤

(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使

其中σ是区域(σ)的面积.

二重积分的计算法

直角坐标系中的计算方法

第九章 重积分

Chapter 9 Multiple Integrals

9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties)

一、二重积分的概念 (Double Integrals)

定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy平面的有界闭区域 ,f是定义在 D 上的函数。将 D 任意分成 n 个小区域i,它们的面 积用(1,2,)iin 表示。在每个(1,2,)iin上任取一点(,)ii，并作和1(,)niiiif。假设存在一个确定的数I满足：任给0，存在0，使得当各小区域i的直径中的最大值小于时，就有

1(,)niiiifI

不管区域D的分法如何，(,)ii的取法如何。这样就称f在D上可积，I称为f在D上的二重积分，记作(,)DfxydI或01(,)lim(,)niiiiDfxydf

Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧

1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions

i，whose area is denoted by (1,2,)iin Choose arbitrarily a point (,)ii

in (1,2,)iin and then form the sum

1(,)niiiif。Suppose

that there exists a fixed number I such that for any 0, there exists a

0such that if the length  of the longest diameter of those subregions i

1 章节题目 第一节 二重积分的概念与性质

内容提要 二重积分的定义

二重积分的几何意义、性质

重点分析 二重积分的概念与性质

难点分析 对二重积分概念的理解

利用二重积分的性质解决有关问题

习题布置 93P 4（单）、5（单）

备注 2 教 学 内 容

一、问题的提出

１．曲顶柱体的体积

柱体体积=底面积×高

特点：平顶.

柱体体积=？

特点：曲顶.

曲顶柱体

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法．

步骤如下：

先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，

用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲

顶柱体的体积，

曲顶柱体的体积.),(lim10iiniifV ),(yxfzD 3

２．求平面薄片的质量

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？

将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和

近似等于薄片总质量

.),(lim10iiniiM

二、二重积分的概念

定义 设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积 ),(iifi),,2,1(ni， 并作和

iiniif),(1，

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此i

xyoxzyoD),(yxfzi),(ii 4 极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，

记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10.

对二重积分定义的说明：

(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.