数值分析分章复习(第一章误差)

计算方法

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第一章 误差分析的基本概念

§1 误差的来源

1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。

2． 产生误差的主要原因

① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。

② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。这种由观察产生的误差称为观测误差。

③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。

④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。

3.举例说明

例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为Lt ,在 t=0℃时的实际长度为L0,用tl来表示铝棒在温度为t时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t(Llt10,其中α是由实验观察得到的常数 （0.0000238±0.0000001）1/℃，称ttlL为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。这个问题中模型误差产生的原因是：实际上tL与t2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。

例2 已知xe在 x=0 处展开的泰勒级数为：0nnx!nxe

为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e取五位小数时的准确值为e~=2.71828，于是截断误差为:

数值计算方法

1 第一章作业

1.对一个数求和100000次。对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。

问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。

程序编写如下：

运行结果：

实验结果分析：

不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。双精度的情况下，该误差小得多。 数值计算方法

2 2.如果||1x，23111xxxx…

当x=0.1时，从111x开始，然后每次加入一项来分别计算1/0.9。在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。

问题分析：

本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：

256s(0.510)%510

近似百分比误差为：

-100%a当前近似值前一近似值当前近似值

真误差为：

-100%真值近似值真值

跳出循环的标准为：a|s

程序编写如下：

数值计算方法

3 运行结果如下：

实验结果分析：

实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。我们可以通过改变s的值来调节所需要的计算精度。

第一章 绪 论

本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概

念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值

实验指出了算法设计时应注意的问题．

§1.1 引 言

计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内

利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。

由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的.

复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数

据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结

果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型

中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括

(1)非线性方程的近似求解方法；

(2)线性代数方程组的求解方法；

(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；

(4)积分和微分的近似计算方法；

(5)常微分方程初值问题的数值解法；

(6)优化问题的近似解法；等等

从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，

这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．

计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这

样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，

称之为舍入误差．

我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截

断误差． 如的计算是无穷过程，当用

作为的

!21

!11

1e

!1

!21

!11

1

ne

ne

近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差． ee

n

当用计算机计算时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到的近似值，也就是

ne

ne*

e

说最终用近似，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．*

数值分析

——数值泛函分析

主讲任春丽

E-Mail: clren1003@

1第1章绪论

§1.1课程简介

§1.2预备知识

2

§1.1 课程简介

一、数值分析概要： 数值分析（Numerical Analysis）是研究用计算机求解数学问题的数值方法和理论（或计算方法、数值算法），是一门把数学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的基础学科，是培养科学计算能力的重要环节，隶属计算数学的一个分支。

3数值分析在用计算机解决实际问题的过程中起到承上启下的作用

实际问题建立数学模型

程序设计提出数值计算方法程序设计，编程上机计算

分析结果并对实际问题进行解释说明

主要任务是，研究求解数学模型的算法——由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整解题步骤；进行误差分析。4

二、 泛函分析概要：

泛函分析（Functional Analysis）是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换（映射）规律的数学学科，属分析数学。它以各种学科为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间，建立空间之间的映射（距离空间，赋范线性空间，内积空间）。

空间到空间的对应关系（映射）——称为算子

像空间为数域的算子——称为泛函

数集空间到数集空间的泛函——函数

5三、泛函分析与数值分析的关系：

电子计算机的出现和泛函分析在数值分析领域中的应用，使数值分析发生了革命性的变化。计算机是数值分析的计算工具，而泛函分析是进行数值方法研究的理论基础。对数值分析而言，运用泛函分析的观点与语言可使数值分析中很多定理与方法的推导变得简洁、直观，并使得结论具有普遍性。

本课程只介绍与数值分析有密切关系的泛函中的基本概念和理论。

6第一章 绪论

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四、本课程的特点及内容： 特点：自成体系，将泛函分析与数值分析融合在一起，对一些不同的数值方法给出共同的泛函背景与统一的框架。 ：三大空间——距离空间赋范线性空间希内容：三大空间距离空间，赋范线性空间，希尔伯特空间；由内积定义投影，引出函数空间的各种数值逼近，介绍不动点定理及应用；工程和科学实验中最基本、最常用的数值算法：数值积分与数值微分，线性与非线性方程组的数值求解，矩阵的特征值与特征向量的计算。 7五、教材：