清华大学微积分16定积分一

k =1
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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因此
x
f (t)dt F ( x) F (a)
a
得
记作
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例3 求
sin xdx.
0
解 由于 cos x 是 sin x 的一个原函数，所以按牛顿
-莱布尼兹公式，有
sin xdx cos x 0
0
cos cos0 1 1 2.
例4 求
11 0 1 x2 dx.
同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
f (x)
d ( x) f (t)d t f [ ( x)]( x)
dx a
d
dx
(x) (x)
f
(t)d
t
d dx
a
f (t)dt
(x)
(x)
a
f
(t )d t
f [( x)]( x) f [ ( x)] ( x)
么么么么方面
• Sds绝对是假的
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例2 求
解 原式 lim e 2 (1 cos x)
x0
x2
因为cos x 1, 所以当x 0时，有
1,
又因为1 cos x ~ 1 x2 , 所以 2
原式
1 2e
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三、牛顿 – 莱布尼兹公式
ln x
b
d
b
x2 f (t )dt ( x2 )
ln x f (t )dt x2
dx ln x
b
ln x
f (t )dt
b
2x b f (t)dt x2 f (ln x) (ln x) ln x
b
2x f (t)dt xf (ln x). ln x

定积分的计算
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词

微积分中的定积分与反常积分——微积分知识要点微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的变化率和积分。

定积分与反常积分是微积分中的两个重要概念，本文将重点介绍这两个概念及其在微积分中的应用。

一、定积分的概念与性质定积分是微积分中的一个重要概念，表示函数在一定区间上的累积变化量。

定积分的计算可以通过求导的逆运算——不定积分来实现。

定积分的计算公式为：∫(a到b) f(x)dx其中，f(x)为被积函数，a和b为积分区间的端点。

定积分的结果是一个数值。

定积分具有以下几个重要性质：1. 定积分的值与积分区间的选取无关，只与被积函数有关。

这是定积分在实际应用中的重要特性。

2. 定积分可以表示函数曲线与x轴之间的面积或有向面积。

当被积函数为正时，定积分表示曲线所围成的面积；当被积函数为负时，定积分表示曲线下方的有向面积。

3. 定积分具有线性性质，即对于两个函数f(x)和g(x)，以及常数k，有以下公式成立：∫(a到b) [f(x) + g(x)]dx = ∫(a到b) f(x)dx + ∫(a到b) g(x)dx∫(a到b) k·f(x)dx = k·∫(a到b) f(x)dx这些性质使得定积分在微积分中具有广泛的应用。

二、反常积分的概念与分类反常积分是指在积分区间上，被积函数存在某些特殊点或者函数在无穷远处趋于无穷或趋于零的情况下，定积分的计算方法。

反常积分可分为以下两类：1. 第一类反常积分：积分区间的一个或两个端点为无穷大或无穷小。

对于这类反常积分，需要对积分区间进行适当的变换，将其转化为有限区间上的定积分。

2. 第二类反常积分：被积函数在积分区间上存在无界或间断点。

对于这类反常积分，需要分别讨论无界点和间断点的情况，进行特殊处理。

反常积分的计算需要注意收敛性与发散性的判断，只有在积分收敛的情况下才能得到具体的数值结果。

三、定积分与反常积分的应用定积分与反常积分在微积分中具有广泛的应用。