清华大学微积分A(1)期中考试样题

清华大学《大学物理》期中考试题班级：_________________姓名：_________________学号：____________________大学物理试卷a2021-2021学年第2学期期中课程名称：大学物理（一）使用课堂：考试时间：100分钟考试形式：闭卷，共5页，共4道题题一二三四总分号（10）（20）（30）（40）（100）得分得分阅卷人签字一、判断题（每小题1分，共10分）1.当速度方向和加速度之间的夹角为钝角时，粒子的运动为加速运动。

（2）当运动方程已知时，采用积分法计算速度和加速度。

（3）当粒子以抛射体的形式运动时，其加速度保持不变。

（4）当粒子以匀速圆周运动时，其加速度始终为零。

（5）当保守力做正功时，其相应的势能将减小。

（6）作用在刚体上的外部力矩等于刚体角动量随时间的变化率。

（7）摩擦总是产生负功。

（8）一对相互作用力所做功的代数和必须为零。

（9）转动惯量是描述刚体转动惯量的物理量。

（10）内力不会改变系统的总动量，但可以改变总动能。

（）得2分。

填空（每空2分，共20分）21.1．已知一质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x?2t?3t（si），则质点在5秒时刻的加速度大小为m/s2。

2.当粒子以匀速圆周运动时，加速度始终为零。

（填写“切线”或“法线”）3。

粒子的圆周运动方程是？？2t3？3（RAD），半径为1m，粒子在2秒时的切向加速度为m/S2。

4．物体做斜抛运动，在最位置处的曲率半径最小。

（填“高”或“低”）第1页，共5页班级：_________________姓名：_________________学号：____________________5.刚体的转动惯量取决于三个因素：、和。

16．一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其速率随时间变化的关系为v?3?t2(m/s)，2那么在t=2S时，粒子的切向加速度是a=_________M/S2，角加速度=_________;rad/S2。

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。

（A ）连续，且可偏导。

（B ）沿任何方向的方向导数都存在。

（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。

2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。

（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。

（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。

（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。

哈尔滨理工大学第一学期期中考试试题 考试科目高等数学（经济类Ⅰ）考试时间：100分钟 试卷总分100分一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分） 1．设函数2,1()1,1x f x x x ≤=+>⎪⎩，则[()]f f x = 。

2、极限 sin lim x x x →∞ 的值为 . 3、极限 3lim()1x x x x +→∞+ 的值为 . 4、设()f x 满足()()()0f x f x x α=++，且()0lim 0x x x α→=， 那么()0f '= . 5、设211y x =-，则y '= .二、单项选择题（将正确的选项填在横线上）（每小题3分，总计15分）1、设()f x 为奇函数，()()11x x a F x f x a +=-必定为 .(A)奇函数； (B)偶函数； (C)奇偶性与a 有关； (D)非奇非偶函数.2、设13x y =，则当0x →时 ．(A) y 为无穷小量； (B) y 为无穷大量；(C) y 不为无穷大量，但为无界变量；(D) y 存在极限，但极限不为0．3、设 ()sin ln 1()1cos x x f x x⋅+=- ，则 0=x 是 )(x f 的 . （A ）可去间断点 ； (B) 跳跃间断点； (C) 第二类间断点； (D) 连续点.4、当0x →时，下列变量 与 x 为等价无穷小量。

（A； (B) sin x x ；(D) 1sinx x . 5、下列各式中()y f x =在给定点处的导数都存在，则 不正确。

（A ）()()()00lim 0x f x f f x→-'=； (B) ()()()02lim h f a h f a f a h→+-'=； (C) ()()()0000lim x f x f x x f x x∆→--∆'=∆； (D) ()()()0000lim 2x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆. 三、解答下列各题（每小题9分，总计63分）1、计算极限8x →2、计算极限()()2013sin coslim 1cos ln 1x x x x x x →+++.3、计算极限2lim 2xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭.4、设 21cos ,02(),0x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≤⎩， 讨论()f x 在点0x =处的连续性和可导性.5、设函数()y y x =由函数1xy y xe =+所确定，求()0y '.6、设sin y x =计算 y '.7、设2156y x x =++，求()100y .四、证明题（7分）证明方程sin x a x b =+()0,0a b >>至少有一个不超过a b +的正根。

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。

（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。

（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。

（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。

（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。

2006级微积分（二）期中考试试卷院系_________ 班级_____________ 姓名____________ 学号__________一、填空题（每小题4分，共24分）1．同时垂直于矢量{}1,2,1和矢量{}1,2,1-的单位矢量为 _____________。

2．用参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x2311表示的直线L 的点向式方程为_________________。

3．曲线:L ⎩⎨⎧=+=012xy z 绕z 轴旋转的旋转曲面在点P )3,1,1(处的切平面方程为 （化简为一般方程） 。

4．函数32),,(z xy z y x f =在点)1,1,1(P 处的微分P df =________________。

5．设 y xx y e x z xy arctan )2(sin 5-+⋅=π 。

则函数),(y x z 在点)1,2(P 的 偏导数=∂∂P x z。

6．逐次积分 ⎰⎰20104x xdy dx 的值 = 。

二、选择题（每小题4分，共16分）7．关于函数),(y x f 在点),(b a P 的性态，下列结论中不对的是（ ）A ． 在点),(b a P 的偏导数),(b a f x '存在推不出沿方向{}0,1的方向导数存在；B ． 在点),(b a P 沿方向{}0,1的方向导数存在推不出偏导数),(b a f x '存在；C ． 在点),(b a P 的两个偏导数存在推不出在点),(b a P 连续；D ． 在点),(b a P 连续推不出在点),(b a P 的两个偏导数存在。

8．在空间直角坐标系中，方程 053=+y x 表示的几何对象为（ ）A ．通过原点的直线；B ．Oxy 平面上的直线；C ．垂直于Oz 轴的平面；D ．包含Oz 轴的平面。

9．函数3xy z =在原点处的函数值（ ）A ．是极小值；B ．是极大值；C ．不是极值D ．无法判定是否为极值。