研究生入学考试清华大学微积分全

Word-可编辑2023年年全国硕士研究生统一入学考试数学分析科目考试大纲一、考查目标要求考生控制数学分析课程的基本概念、基本定理和基本主意，能够运用数学分析的理论分析、解决相关问题。

二、考试形式和试卷结构1、试卷满分及考试时光本试卷满分150分，考试时光为180分钟。

2、答题方式答题方式为闭卷、笔试3、试卷题型结构全卷普通由十个大题组成，详细分布为计算题：5～6小题，每题10分，约50～60分分析论述题（包括证实、研究、综合计算）：5～6大题，每题15～20分，约75～100分三、考查范围本课程考核内容包括实数理论和延续函数、一元微积分学、级数、多元微积分学等等。

第一章实数集与函数1．了解邻域，上确界、下确界的概念和确界原理。

2．控制函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性。

（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）3．控制基本初等不等式及应用。

第二章数列极限1．熟练控制数列极限的ε-N定义。

2．控制收敛数列的常用性质。

3．熟练控制数列收敛的判别条件（单调有界原理、迫敛性定理、Cauchy准则、压缩映射原理、Stolz变换等）。

4．能够熟练求解各类数列的极限。

第三章函数极限千里之行，始于足下1．深刻领略函数极限的“ε-δ”定义及其它变式。

2．熟练控制函数极限存在的条件及判别。

（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）。

3．熟练应用两个重要极限求解较复杂的函数极限。

4．理解无穷小量、无穷大量的概念；会应用等价无穷小求极限；认识等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小及其性质。

第四章函数延续性1．控制函数在某点及在区间上延续的几种等价定义，尤其是ε-δ定义。

2．认识函数间断点及类型。

3．熟练控制闭区间上延续函数的三大性质及其应用。

4．熟练控制区间上一致延续函数的定义、判断和应用。

5．知道初等函数的延续性。

第五章导数和微分1．控制导数的定义、几何意义，领略其思想内涵；认识单边导数概念及应用。

2．控制求导四则运算法则、熟记基本初等函数的导数。

清华大学数学系硕士生入学考试试题清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期 2003.01 专业考试科目数学分析试题内容:2{(x,y)}，,一、(15分)设(20分)设在R\上定义，=A ,且>0使得limf(x,y)f(x,y)00x,x0y,y0limf(x,y),,当0,,y-y,, 时，Ф(y)存在。

0x,x0求证: lim[limf(x,y)],Ay,y,x,x002222二、(20分)设半径为r的球面?的球心在一固定球面?ˊ:x+y+z=a(a>0) 上，问当r取何值时，球面?含在球面?ˊ内部的部分面积最大,x三、(20分)设(x)[,a,a](a>0), (x)=(t)dt,(n=1,2,…). fff0,Cnn-1,0求证:{(x) }在[,a,a]上一致收敛于0. fn22四、(20分)设(x,y)在R上二阶连续可微，(x,2x)=x, (x,2x)=x, 且(x,y)= fff'f''xxx2(x,y),. ,(x,y),Rf''yy求:(x,2x), (x,2x) 及(x,2x). f'f''f''yyxyyn2f(k/n)五、(25分)设(0)存在，(0)=0,x=. f'fn,k,1,limxlimx求证:存在，且,f(0)/2. nnn,,n,,六、(25分)设(x),C[0,1]且在(0,1)上可导，且 f1/2(1)=. f2xf(x)dx,0求证:存在，使得()= -()/ ,,(0,1)f',f,,g七、(25分)设f，在R上连续，fοɡ(x)= ɡοf(x);, 并且f(x)?ɡ,x,R(x) ,. ,x,R求证:fοf(x)? ɡοɡ(x) ,x,R清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别数学科学系考试日期2003.01 专业考试科目高等代数试题内容:43一、(20分)设(X)=(X+1)(X-1)为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan 标准型Jf有几种可能,(不计Jordan块的次序)二、(20分)设方阵31,1,,,,,6,23A, ,,,,,2,10,,-1A在实数域R上是否相似域对角形(即有实方阵P使PAP为对角形),在复数域C上呢,给出证明。

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。

（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。

（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。

（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。

（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。