清华大学2016年微积分A期中考试A卷

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2016.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则 A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。

21 3. 31 4。

34 5. 1 6．第一类间断点 7。

()dx x x x ln 1+ 8。

22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。

0 10。

11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。

13 13。

0 14。

)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。

…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。

…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。

一、求下列数列的极限（每题5分，共10分）：1.21lim(1)n n n -→∞+解：2222111lim(1)lim[(1)][lim(1)]n n n n n n e n n n----→∞→∞→∞+=+=+=2.2222lim()123n n n n nn n n n n→∞+++⋅⋅⋅++++ 解：222222221231n n n n n n n n n n n n n n ≤+++⋅⋅⋅≤++++++ ， 又2222211lim lim 1,lim lim 111111n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞====++++ 所以由夹逼准则知，2222lim()1123n n n n nn n n n n→∞+++⋅⋅⋅=++++二、求下列函数的极限：（每小题5分,共20分）.1. x →解：23x →==厦门大学《微积分IV 》课程期末试卷试卷类型：（A 卷） 考试日期 2016.01.122. 2211lim x x x x→--解：221111lim lim 2x x x x x x x →→-+==-或者用洛必达法则，2211122lim lim 22121x x x x x x x →→-===---3.30lim sin x x x x →-解：3200036limlim lim 6sin 1cos sin x x x x x xx x x x→→→===--4. lim )x x x →+∞解：lim )limlimlimx x x x x x →+∞===12==。

三、求函数的微分或导数：（每小题5分,共20分）1. 已知2sin y x x =，求dy .解：2(2sin cos )dydy dx x x x x dx dx==+2.已知sin xy x =，求y '. 解：y '=22(sin )()sin cos sin x x x x x x xx x''⋅--=3.已知32cos (1)y x =-，求(1)y '解：22222223cos (1)[cos(1)]3cos (1)(sin(1))(1)y x x x x x '''=-⋅-=-⋅--⋅-2222223cos (1)sin(1)(2)6cos (1)sin(1)x x x x x x =--⋅-⋅-=⋅-⋅-所以222(1)61cos (11)sin(11)0y '=⋅⋅-⋅-=4. 设()y y x =由方程y e xy e +=所确定，求(0)y '.解：方程ye xy e +=两边对x 求导，得0y e y y x y ''++⋅=，从而y y y e x -'=+，又(0)1y =，因此(0)(0)1(0)0y y y e e-'==-+。

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第一学期《微积分》第二次期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、()()ln 101.arcsin x x x+<<<证明：设()()ln 1f x x x =-+，则()00f =。

又因为()()'11001f x x xx x =+=<<<所以01x <<时，()()ln 10,f x x x =-+<()ln 1.arcsin x x+< 二、设0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的范围。

解：设()()2110f x kx x x =+->，则()'32.f x k x=-（1）0k <时，()()()'0,,0,f f f x +=+∞+∞=-∞<所以0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解；（2）0k =时，显然0x >时方程211kx x+=有且仅有一个解； （3）0k >时，()()0,,f f +=+∞+∞=+∞当x ⎛∈ ⎝时，()'0,f x <当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0,f x >所以1f =为其最小值，只有当其为零时方程211kx x +=有且仅有一个解；此时得k = 总之，k 的范围为(]23,0.⎧⎫⎪⎪-∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 三、设函数32,1x y x =-求（1）y 的定义域；（2）y 的单调区间和极值，图形的凹凸区间及拐点；（3）y 图形的渐近线方程。

解：（1）y 的定义域为 1.x ≠± （2）()()()()222'"2322323,.11x x xx y y xx-+==--所以(,-∞为单增区间，()1-为单减区间，()1,1-为单减区间，(为单减区间，)+∞为单增区间。

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式:设)(x f 为],[b a 上的下凸函数,则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλ ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλ ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk ==λ时，就是AG 不等式。

（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11.（4）Holder 不等式:设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k ,则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。

（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。

（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。