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信号与系统练习题 第5章一、选择题1、系统函数()H s 与激励信号()f t 之间的关系是（B)A 、反比关系B 、没有关系C 、线性关系D 、不确定2、信号)()(2t e t f t ε-=的单边拉普拉斯变换=)(s F （D ） A 、2)2(1+s B 、 2)2(+s sC 、 2+s sD 、21+s3、已知某系统的框图如下，则此系统的系统函数表示为（C)A 、21()23H s s s =++ B 、2()23s H s s s =++C 、243()23s H s s s +=++ D 、241()23s H s s s +=-+4、已知某LTI 系统的系统函数()H s ，唯一决定该系统的冲激响应()h t 函数形式的是（B ）A 、()H s 的零点B 、()H s 的极点C 、系统的激励D 、激励与()H s 的极点 5、2(2)()(1)(2)s s H s s s +=+-，属于其零点的是(C)A 、—1B 、2C 、-2D 、1 6、2(2)()(1)(2)s s H s s s +=+-,属于其极点的是（C ）A 、0B 、—2C 、2D 、1 7、已知22()22sF s s s =++,则(0)f +=（C ）8、已知2()22F s s s =++，则()f ∞=（A) A 、0 B 、—2 C 、2 D 、不确定 9、信号2(1)()()t f t e t ε--=的单边拉普拉斯变换=)(s F （A ）A 、2()2e F s s =+B 、2()2s F s s =+ C 、1()2F s s =+ D 、()2s F s s =+10、信号2(1)()(1)t f t e t ε--=-的单边拉普拉斯变换=)(s F (A ）A 、()2s e F s s -=+B 、2()2e F s s =+ C 、1()2F s s =+ D 、()2s F s s =+11、已知信号()cos(2)f t t =的单边拉普拉斯变换2()4s F s s =+，则()[cos(2)]dy t t dt=的单边拉普拉斯变换()Y s =(B ）A 、2se s -+ B 、244s -+ C 、224s s + D 、24s s +12、已知信号()cos(2)f t t =的单边拉普拉斯变换2()4s F s s =+,则()[cos(2)()]dy t t t dtε=的单边拉普拉斯变换()Y s =（C ）A 、2se s -+ B 、244s -+ C 、224s s + D 、24s s +13、已知信号()f t 的单边拉普拉斯变换为()F s ，则()[()]dy t f t dt=的单边拉普拉斯变换()Y s =（A ） A 、()(0)sF s f -- B 、()(0)sF s f -+ C 、()sF s D 、()F s s14、已知信号()f t 的单边拉普拉斯变换为()F s ，则()[()()]dy t f t t dtε=的单边拉普拉斯变换()Y s =（C ）A 、()(0)sF s f --B 、()(0)sF s f -+C 、()sF sD 、()F s s15、已知223()21s F s s s +=++，则(0)f +=(C ）A 、0B 、-2C 、2D 、不确定 16、已知223()21s F s s s +=++，则()f ∞=（A ）A 、0B 、—2C 、2D 、不确定 17、已知1()1F s s =+，则(0)f +=(C ）18、已知()1F s s =+，则()f ∞=（A ） A 、0 B 、—1 C 、3 D 、不确定 19、信号5(1)()t f t e --=的单边拉普拉斯变换=)(s F (A)A 、5()5e F s s =+B 、5()5s F s s =+ C 、1()5F s s =+ D 、()5s F s s =+二、填空题1、某LTI 连续系统的系统函数为235)(2+++=s s s s H ，描述该系统的微分方程为)(5)()(2)(3)(''''t f t f t y t y t y +=++。
【信号与系统】03-系统函数的性质1. 系统函数的性质1.1 变换的对偶性 不管是傅⾥叶变换的频域还是拉普拉斯变换的s域（下⾯统称s域），都是深⼊讨论LIT系统的有⼒⼯具，有时甚⾄是必备⼯具。
s域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是⼀对共⽣体，它们通过拉普拉斯变换⽣成彼此，同时也是连接两个域的纽带。
对⼀个函数解析式，经常要对它做⼀些常规的分析操作，⽐如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。
⼀个很⾃然的问题是，在某个域的分析操作会对另⼀个域带来什么影响呢？本篇就来讨论这个问题。
在正式讨论之前，有必要再回顾⼀下拉普拉斯变换的公式。
你可能⼀开始就注意到，正反变换存在⼀定的“对称性”，⽽仅在局部有微⼩差别。
在数学上，两个概念如果通过类似的⽅法互相定义，它们就称为对偶的，从形式上不难看出，互为对偶的概念的性质也是对偶存在的，这就省去了相似论证的⿇烦。
信号x(t)和拉普拉斯变换H(s)之间不具有严格的对偶性，但这样的相似性仍然可以被使⽤。
如果记χ(ω)=eσ√2πX(σ+jω)，将得到更为对称的式（1），把这个关系记作变换T，显然有式（2）成⽴。
以后变换的性质如果本⾝不是对称的，可以运⽤该式迅速得到另⼀个对称的性质，当然简单的性质直接证明会更快。
x(t)=1√2π∫∞−∞χ(ω)e jωt dω;χ(ω)=1√2π∫∞−∞x(t)e−jωt d t x(t)T↔χ(ω)⇔χ(t)T↔x(−ω)1.2 拉普拉斯变换的性质 以下按函数运算的复杂程度，罗列LT的基本性质，过于直⽩的结论不加证明。
需要注意的是，性质成⽴有它⾃⼰的ROC，并不完全受限于原LT的ROC。
还有我们知道，ROC和积分在具体的s上的收敛性是不同的，以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成⽴的。
⾸先是函数的线性运算，在s域也是线性的（式（3））。
然后看函数的平移，容易有式（4）左成⽴，在s域的平移还有式（4）右成⽴，这是⼀组对偶性质。
当对函数进⾏伸缩时，频谱系数也跟着反⽐例伸缩（式（5）左）；特别地，a=−1时表⽰函数左右翻转（旋转180度），s域则也跟着旋转180度（式（5）右）。
结题报告 矩母函数与拉普拉斯变换一 实验原理1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是分析连续时间信号的重要手段。
对于当t ∞时信号的幅值不衰减的时间信号，即在f(t)不满足绝对可积的条件时，其傅里叶变换可能不存在，但此时可以用拉氏变换法来分析它们。
连续时间信号f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)的定义为：0()()st F s f t e dt ∞-=⎰ 拉氏反变换的定义为： 1()()2j st j f t F s e ds j σωσωπ+-=⎰显然，上式中F(s)是复变量s 的复变函数，为了便于理解和分析F(s)随s 的变化规律，我们将F(s)写成模及相位的形式：()()()j s F s F s e ϕ=。
其中，|F(s)|为复信号F(s)的模，而()s ϕ为F(s)的相位。
由于复变量s=σ+jω，如果以σ为横坐标（实轴），jω为纵坐标（虚轴），这样，复变量s 就成为一个复平面，我们称之为s 平面。
从三维几何空间的角度来看，|()|F s 和()s ϕ分别对应着复平面上的两个曲面，如果绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉氏变换F(s)随复变量s 的变化情况2.矩母函数一个与随机变量X 相关的矩母函数是一个参数s 的函数MX(s)，定义如下：MX(s)=E[exp(sX)]更具体地，当X 是一个离散型随机变量时，相关矩母函数为M(s)=+exp(sx)pX(x)当X 是连续型时，有M(s)=+exp(sx)fX(x)dx不难发现，概率密度函数的矩母函数与概率密度函数的拉普拉斯变换是基本相同的，只是拉普拉斯变换使用exp(-sx)而非exp(sx)。
考虑一个连续型随机变量X ，根据定义M(s)=+exp(sx)fX(x)dx在M(s)定义式两边取s 的导数d/ds M(s) = d/ds + exp(sx)fX(x)dx=+d/ds exp(sx)fX(x)dx = +xexp(sx)fX(x)dx上述等式对s 任何取值都成立。
函数的拉普拉斯变换与逆变换定义函数f(t)的拉普拉斯变换定义为：F(s)=∫e−st∞f(t)dt其中s是一个复数变量。
性质拉普拉斯变换具有以下性质：1.线性性：对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有：L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]2.时移性：对于任意常数a，有：L[f(t−a)u(t−a)]=e−as F(s)其中u(t)是单位阶跃函数。
3.微分性：对于任意可导函数f(t)，有：L[f′(t)]=sF(s)−f(0)L[f″(t)]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)4.积分性：对于任意可积函数f(t)，有：L[∫ft0(τ)dτ]=F(s)s5.卷积定理：对于任意两个函数f(t)和g(t)，有：L[f(t)∗g(t)]=F(s)G(s)其中∗表示卷积运算。
应用拉普拉斯变换在许多领域都有应用，包括：1.微分方程的求解：拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
2.信号处理：拉普拉斯变换可以用于分析和处理信号。
3. 控制理论：拉普拉斯变换可以用于分析和设计控制系统。
4. 电路分析：拉普拉斯变换可以用于分析和设计电路。
逆拉普拉斯变换拉普拉斯变换的逆变换定义为：f (t )=12πi ∫e st γ+i∞γ−i∞F (s )ds 其中 γ 是一个大于所有 F (s ) 的奇点实部的常数。
性质逆拉普拉斯变换具有以下性质：1. 线性性：对于任意常数 a 和 b ，以及函数 f (t ) 和 g (t )，有：L −1[aF (s )+bG (s )]=aL −1[F (s )]+bL −1[G (s )]2. 时移性：对于任意常数 a ，有：L −1[e as F (s )]=f (t −a )u (t −a )3. 微分性：对于任意可导函数 F (s )，有：L −1[sF (s )]=f′(t )L −1[s 2F (s )]=f″(t )4. 积分性：对于任意可积函数 F (s )，有：L −1[F (s )s ]=∫f t 0(τ)dτ 5. 卷积定理：对于任意两个函数 F (s ) 和 G (s )，有：L −1[F (s )G (s )]=f (t )∗g (t )应用逆拉普拉斯变换在许多领域都有应用，包括：1. 微分方程的求解：逆拉普拉斯变换可以将代数方程转化为微分方程，从而更容易求解。
拉普拉斯变换 1、基本定义： ⎰∞∞--=dt e t x s X st )()(2、收敛域：（1）右边信号：−→−=<0)(0t x t t 时，极点右侧 （2）左边信号：−→−=>0)(0t x t t 时，极点左侧（3）双边信号：占有整个时间域的信号−→−带状区域 （4）时限信号：有限长信号，只在某一个时间区间不等于0，在其他所有时间内全为0−→−整个s 区域（意味着变换式中没有极点）4、拉式变换的主要性质：)()()()()()(11s X t x s X t x s X t x LLL−→←−→←−→← ROC: 21R R R5、用拉普拉斯变换分析与表征LTI 系统一个LTI 系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的，即)()()(s X s H s Y =当ωj s =时，)(s H 就是这个LTI 系统的频率响应；在拉普拉斯变换范畴内，一般称)(s H 为系统函数或转移函数（1）因果性（2）稳定性6、由线性常系数微分方程表征的LTI 系统 见504P7、系统函数的代数属性与方框图表示两系统级联：单位冲激响应 )()()(21t h t h t h *=→)()()(21s H s H s H=两系统并联：单位冲激响应 )()()()()()(2121s H s H s H t h t h t h +=→+=两LTI 系统的反馈互联：)()(1)()()()(211s H s H s H s H s X s Y +==−→−+)(t x )(t y8、单边拉式变换：重要价值在于求解非零状态下的系统响应⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰+-∞-ωσωσπj j st st ds e s X t x dte t x s X )(21)()()(0 收敛域：要么在极点的右半平面，要么是整个s 平面（1）单边拉普拉斯变换性质（2）利用单边拉普拉斯变换求解微分方程 见518P。
