1-4无穷小与无穷大1-5(部分)

.
三、证明函数
y
1 x
cos
1 x
在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 .
x 0 时 , 这个函数不是无穷大
$1-5无穷小与无穷大
19
练习题答案
一 、 1、 0； 3、 ； 二、0 x
10 1
4
2、 lim f ( x ) C ；
x x
4、 .
证 必要性 设
x x0
lim f ( x ) A , 则 lim [ f ( x ) A ] 0
x x
0
令 ( x ) f ( x ) A , 则有 lim ( x ) 0 ,且
x x0
f ( x ) A α ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
6
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数 u 在 U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则 M 0 , ( δ1 0 ), 使 得 当 0 x x 0 δ1时 恒有 u M .
又设 是当 x x 0 时的无穷小 ,
0 , 2 0 , 使得当 0 x x 0 2 时 恒有 M .
$1-5无穷小与无穷大 11
不是无穷大．
例 ( P 5 3 例 2 ） 证 明 lim
1 x1
x1
.
证
M 0 . 要使
1 x 1
M,
y 1 x 1
只要 x 1
1 M
,
取 1 M 时,
1
1 M
,
当0 x 1
就有 1 x 1

1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限 四、函数极限的性质
四、函数极限的性质
1、唯一性：函数极限是唯一的.
2、有界性：若 lim f (x) A ，则 f (x) 在点x0 附近有界. xx0
3、保号性：若 lim f (x) A ，且 A 0，则当 x 充分接 . xx0 近 x0时恒有 f (x) 0 .
第一章 函数、极限与连续
1-1 函数及其特性 1-2 初等函数 1-3 函数极限的重要引例 1-4 函数极限的概念 1-5 无穷小与无穷大、无穷小的比较 1-6 函数的连续性及间断点 1-7 闭区间上连续函数的性质
1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限 四、函数极限的性质
【极限定义】 lim f (x) A x 对于 0 ，X 0，使得当 | x | X 时，恒有 | f (x) A |
三、自变量趋于无穷大时函数的极限
【例】已知 f (x) 2x 1 x
（1）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.1 ？ （2）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.01 ？ （3）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.001 ？ （4）推测当 x 时该函数的极限，并证明之.
思考：怎样定量描述函数极限中“无限趋近”这个行为？ 转化：“f(x)无限趋近于3” = “| f(x) – 3| 要多小有多小”
= “| f(x) – 3| 可以小于任意小的一个正数”
定量：用一个任意小的正数 来衡量 f (x)与3的接近程度.

是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

lim x2
x2
x4 2x 4
1 2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例6 计算 lim ( x2 x x) x
解 lim ( x2 x x) lim
x
x
x x2 x x
lim
1
1
x 1 x1 1 2
x2 x x2 1 x1 x 1 x1
11
首页
所以lim 1 . x1 x 1
y 1 x 1
1
铅直渐近线
5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖铅直渐近线
如果 lim f (x) x x0
则称直线 x x0 是函数 yf(x)的图形
的铅直渐近线
❖水平渐近线
如果 lim f(x) A 则直线 yA称为函数 yf(x)的图形的 x
水平渐近线
y 1 x 1
ann bmm
ab0000
nm nm nm
10
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例5
计算
lim（
x2
x
1
2
12 x3
） 8
解
lim（ x2 x
1
2
12 x3
） 8
lim
x2
(x2 (x
2x 4) 12 2)(x2 2x 4)
lim x2
(x 2)(x 4) (x 2)(x2 2x 4)
当 xx0 时的无穷大 记为
lim f (x) . (形式记法,实际上极限不存在)
x x0
❖无穷大的精确定义
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M