棱柱和棱锥

棱柱和棱锥一. 教学内容：棱柱和棱锥【重点和难点】1. 棱柱和棱锥的性质及应用2. 棱柱和棱锥的侧面积和体积【知识要点】知识图表简单几何体的性质【典型例题】例1. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（1）证明PA//平面EDB ；在中，EO 是中位线，∴PA // EO而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDB（2）证明：∵∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥。

①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC 。

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PDC 。

而⊂DE 平面PDC ， ∴DE BC ⊥。

② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 。

而⊂PB 平面PBC ， ∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD 。

（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角。

由（2）知，DB PD EF DE ⊥⊥,。

设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==。

在PDB Rt ∆中，a aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=。

在EFD Rt ∆中，233622sin ===a aDF DE FED ， ∴3π=∠EFD 。

所以，二面角C —PB —D 的大小为3π。

本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。

例2. 如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝2，AA 12=，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M ，求：（I ）三棱柱的侧面展开图的对角线长（II ）该最短路线的长及A MAM 1的值（III ）平面C MB 1与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小1C解：（I ）正三棱柱ABC A B C -111的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形其对角线长为6221022+=（II ）如图，将侧面AA B B 11绕棱AA 1旋转120使其与侧面AA C C 11在同一平面上，点B运动到点D 的位置，连接DC 1交AA 1于M ，则DC 1就是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线，其长为DC CC 212224225+=+= ∆∆DMA C MA ≅11，∴=AM A M 1故A MAM 11=（III ）连接DB ，C B 1，则DB 就是平面C MB 1与平面ABC 的交线A 1 C 1在∆DCB 中∠=∠+∠=+=∴⊥DBC CBA ABD CB DB 603090 又C C CBD 1⊥平面由三垂线定理得C B DB 1⊥∴∠C BC1就是平面C MB1与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）侧面C B BC11是正方形∴∠=C BC145故平面C MB1与平面ABC所成的二面角（锐角）为45本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

例3. 如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4。

E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

（Ⅰ）证法一：连结AC∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1.∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又EF⊥D1D∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ， ∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H. 解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H.∵422221111=⋅==B A B D ， ,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB BB GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴G B B D B B H D 11111=， ∴.1717161442221211=+===G B B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半，即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴G B B B H D d【模拟试题】一. 选择题：1. 长方体三个面的面积为，，，则长方体的对角线长（ ）A.B.C.D.2. M={正四棱柱} N={长方体} P={直四棱柱} Q={正方体}，下列关系正确的是A. B.C. D.3. 在三棱锥A —BCD 中，AB=AC=AD ，BC=1，∠ABC=∠BCD ，∠BDC=2π，∠ABD=3π，则AC 的长为 （ ）A ．1B ．23 C ．22D ．214. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上如图，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）A ．2VB ．3VC ．4VD ．5V5. 过正四棱锥不相邻的两条侧棱的截面一定是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形6. 已知正三棱锥的一个侧面积和底面积之比为，则此三棱锥的高与斜高之比（ ）A. ：4B. 1：4C. ：4D. ：17. 三棱锥的顶点在底面上的射影落在底面三角形的内部，三个侧面和底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心8. 下面命题不正确的是（）A. 底面是矩形的四棱柱是平行六面体；B. 棱长相等的直四棱柱是正方体；C. 平行六面体的对角线互相平分；D. 对角线相等的平行六面体是长方体；9. 正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA中点，则异面直线BE与SC所成角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 正三棱锥的底面边长为6，高为，则这个三棱锥的全面积为（）A. 9B. 18C. 9（+）D.12. 设长方体对角线长度为4，过每一顶点有两条棱与对角线夹角都是60°，则此长方体的体积为（）A. B. 8 C. 8 D. 1613. 表面积为S的多面体的每一个面积都外切于表面积为36的一个球，则这个多面体的体积数为（）A. B. C. S D. S214．ABCD—A1B1C1D1是正方体，M、N分别是AA1、BB1的中点，设C1M与DN所成的角为θ，则sinθ的值为（）A ．91B ．32C ．592D ．59415. 经过长方体一个顶点三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积（ ）A. 20B. 25C. 50D. 200二. 填空题：1. 棱锥的底面面积为150cm 2,平行于底面的截面面积为54cm 2底面和截面距离为14cm,则这个棱锥高为_______2. 已知三棱锥A —BCD 的体积是V ，棱BC 的长是a ，面ABC 和面DBC 的面积分别是S 1和S 2，设面ABC 和面DBC 所成的二面角是α，则sin α= .3. 如果正四面体的棱长为cm ，那么它相邻两侧面所成的角的余弦值_____4. 已知三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D 为AB 中点，E 为AC 中点，则四棱锥S —BCED 的体积为_____5. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是上底面ABCD 中心，若棱长为a ，则三棱锥O —AB 1D 1的体积为 . 三. 解答题1. 过长方体的一个顶点的一条对角线和交在这个顶点的三个面所成角分 别为、、，求证：cos 2+ cos 2+ cos 2=22. 正六棱柱的一条较长对角线长是13cm，侧面积为180cm2，求棱柱体积（6分）3. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各棱长都相等，且∠B1C1D1＝∠CC1B1＝∠CC1D1＝60°(1)求证平面ACC1A1⊥平面BB1D1D；(2)若AA1＝a，求C到平面A1B1C1的距离．4. 如图：三棱锥V—ABC中，VA=VC=1，AB=BC=，且VA⊥VC，平面VAC⊥平面ABC，求：①△VAC的高VE ②二面角V—AB—C的正切值5. 斜三棱柱ABC—A′B′C′，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b，AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求棱柱侧面积6. 在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，AC=BC，D、G分别为PA、AB中点，E是PB上的点，BE=PB，如果PA：AB=1：，求证：①EG⊥平面CDG ②求截面CDE分三棱锥所成的两部分的体积比。

【试题答案】一. 1. D 2. B 3.C 4.B 5. A6. C7. B8. B9. C 10. D11. C 12. B 13. C 14. D 15. C二. 1. 35cm 2.2123S S aV3. 4.5.361a .三. 1. 证明：连结AC∵C 1C ⊥面ABCD ∴∠C 1AC 即为AC 1与底面所成的角令∠C 1AC=则在Rt △AC 1C 中cos =同理，分别连结AB 1、AD 1，令∠B 1AC 1=∠D 1AC 1=则cos = cos =∴cos 2+ cos 2+cos 2=∵AC 2=AB 2+BC 2AB 12= AB 2+BB 12，AD 12= AD 2+AA 12= BC 2+ B 1B 2又∵AC 12= AB 2+BC 2+ B 1B 2∴cos 2+ cos 2+cos 2V=22.解：如图：AD 1、为正六棱柱一条较长对角线，设正六棱柱底面边长为 a,高为hS侧=6ah=180 即ah=30,由已知AD1=13，在Rt△ADD1中，（2a）2+h2=132即4a2+h2=169由解方程ah=30 a1=a2=6得4a2+h2=169 h1=12 h2=5∴a=，h=12 时，V柱=6××（）2×12=（cm3）a=6,h=5时，V柱=6××62×5=270（cm3）3.分析(1)如图，作CO⊥平面A1B1C1于O．∵∠CC1B1＝∠CC1D，∴O在∠B1C1D1的角平分线上．又∵A1B1C1D1是菱形．∴D1B1⊥A1C1，A1C1平分∠B1C1D1∴O∈A1C1，即A1C1是CC1在平面A1B1C1D1内的射影，因此，D1B1⊥CC1∴B1D1⊥平面A1C1CA∴平面BB1D1D⊥平面A1C1CA(2)作OM⊥B1C1于M，连CM，在Rt△CC1M中，CC1＝a，4.解：①∵VE⊥AC于E，平面VAC⊥平面ABC，∴VE⊥平面ABC，Rt△AVC中，VE=②作VD⊥AB于D，连结DE，∵VE⊥平面ABC∴∠VDE为二面角V—AB—C的平面角由已知：AC=2，AB=BC=∴∠ABC=90°∴DE∥BC∴∴DE=∴tg∠VDE=5. 解：作A′O底面ABC垂足为O∵∠A′AC=∠A′AB=45°∴点O落在∠BAC的平分线AD上∵△ABC为正三角形∴AD⊥BC∵A′O⊥平面ABC，由三垂线定理∴A′A⊥BC∵A′A∥B′B∴∠B′BC=90°∴S侧=2absin45°+ab=(1+)ab6. 证明：①在三棱锥P—ABC中，设PA=a, ∵PA：AB=1：∴AB= a又BE=PB∴PB=a，BE=a，PE= a在△BEG中，由余弦定理EG2=（）2+（a）2—2×·a·∴EG= a又∵BG2=EG2+BE2∠BEG=90°∴EG⊥PB∵DG∥PB∴EG⊥DG又∵PA⊥平面ABC，PA平面ABP∵CG⊥AB∴平面PAB⊥平面ABC，CG平面ABC，CG⊥AB∴CG⊥平面PAB∴CG⊥EG∵GD CE=G∴EG⊥平面CDG②又∵V三棱锥C—PDE=S△PDE×CG=×CG××PD×PE·sin∠APB∵V三棱锥C—PAB=×S△PAB×CG=×CG×PA×PB·sin∠APB∴=∴截面分三棱锥P—ABC所成两部分体积比为1：2。