第三章 中值定理与导数的应用
从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角). 又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等. 一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.
在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.
第一节 中值定理
中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.
内容分布图示
★ 费马引理 ★ 罗尔定理
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 拉格朗日中值定理 ★ 例7
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 柯西中值定理 ★ 例11 ★ 例12
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-1
★ 返回
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内可导；在区间端点的函数值相等, 即).()(bfaf 结论：在(a, b)内至少存在一点),(ba使得 .0)(f
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.
第三节 泰勒公式
对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达. 多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近.
英国数学家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献. 其研究结果表明:
具有直到1n阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n次多项式近似表达. 本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.
内容分布图示
★ 引言
★ 多项式逼近
★ 泰勒中值定理
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 常用函数的麦克劳林公式 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-3
★ 返回
内容要点：
一、问题：设函数)(xf在含有0x的开区间(a, b)内具有直到1n阶导数, 问是否存在一个n次多项式函数
nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 (3.1)
使得 )()(xPxfn, (3.2)
且误差)()()(xpxfxRnn是比nxx)(0高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.
二、泰勒中值公式
200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn (3.6)
拉格朗日型余项 10)1()()!1()()(nnnxxnfxR (3.7)
1 第四章 微积分中值定理与证明
4.1 微分中值定理与证明
一 基本结论
1．连续性定理：
定理1（零点定理） 若()fx在[,]ab连续，()()0fafb，则(,)ab，使得
()0f。
定理2（最值定理） 若()fx在[,]ab连续，则存在12,xx使得12(),()fxmfxM．
其中,mM分别是()fx在[,]ab的最小值和最大值．
定理3（介值定理）若()fx在[,]ab上连续，则存在最小值和最大值分别是,mM，对
于任意的[,]CmM，都存在[,]ab使得()fC．
更一般的结论：若()fx在[,]ab上连续，对1x，2[,]xab，（假设12()()fxfx），则12[(),()]Cfxfx，都存在12(,)xx，使得()fC。
2．微分中值定理：
定理1（费玛定理）如果0x是极值点，且()fx在0x可导， 则0()0fx．
定理2 （罗尔定理） 若()fx在[,]ab连续，在(,)ab可导，()()fafb，则(,)ab，
使得()0f．
定理3（拉格朗日定理）若()fx在[,]ab连续，在(,)ab可导，则(,)ab，使得
()()()()fbfabaf．
定理4（柯西定理） 若()fx，()gx在[,]ab连续，在(,)ab可导，且()0gx，则
(,)ab使得
()()()()()()fbfafgbgag．
定理5（泰勒公式和麦克劳林公式）（数三不要求）
泰勒公式：设()fx在0x的某个邻域内0()Ux具有1n阶导数，则0()xUx，有
()(1)1000000()()()()()()...()()!(1)!nnnnfxffxfxfxxxxxxxnn，
其中在x和0x之间，常常把表示为00()xxx，01．
微分中值定理与泰勒公式
微分中值定理是微积分中的一项重要定理，它建立了导数与函数平均变化率之间的关系。而泰勒公式则使我们能够通过已知函数的某一点处的导数值，来逼近该点附近的函数值。在本文中，我们将介绍微分中值定理和泰勒公式的基本原理和应用。
一、微分中值定理
微分中值定理是微积分中的基本定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。这些定理的基本思想都是利用导数的中间值性质，揭示了函数在某个区间内的特殊性质。
1. 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理描述了函数在一个闭区间内，存在一个点，使得该点的切线斜率等于函数在该区间上的平均变化率。具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
拉格朗日中值定理的一个重要应用是证明函数的单调性和判定函数的极值。通过证明函数在某一区间内的导数的符号，可以判断函数在该区间上的单调性和极值点的存在与否。
2. 柯西中值定理
柯西中值定理描述了两个函数在一个闭区间内，满足一定条件时，它们的导数在该区间上至少有一个相等的点。具体而言，若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理在解决一些函数方程的问题时起到了重要的作用。通过构造辅助函数，将原方程转化为柯西中值定理的形式，然后利用中值定理的性质解方程。
3. 罗尔中值定理
罗尔中值定理描述了在一个闭区间内，如果函数在两个端点处的函数值相等，那么在该区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a) = f(b)，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
