泰勒公式(泰勒中值定理)教学提纲

泰勒中值定理教案教案标题：泰勒中值定理教案教案目标：1. 了解泰勒中值定理的概念和原理；2. 掌握泰勒中值定理的应用方法；3. 培养学生的数学推理和问题解决能力。

教案步骤：引入：1. 引导学生回顾导数的概念和应用，以及泰勒展开式的相关知识。

2. 提出问题：当我们用泰勒展开式近似计算一个函数的值时，我们如何确定近似值的准确性呢？探究：3. 介绍泰勒中值定理的概念和原理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

4. 通过示例和图示解释泰勒中值定理的几何意义和应用场景。

实践：5. 给出一些具体函数的问题，要求学生利用泰勒中值定理计算近似值，并评估近似值的准确性。

6. 组织学生进行小组讨论，分享解题思路和结果，并互相评价和纠正。

7. 指导学生在实际问题中应用泰勒中值定理，例如在物理、经济等领域中的应用。

拓展：8. 引导学生思考泰勒中值定理的局限性和适用范围，并与其他数学理论进行比较和讨论。

9. 鼓励学生进一步探究和研究泰勒中值定理的相关拓展内容，如带余项的估计等。

总结：10. 总结泰勒中值定理的概念、原理和应用方法。

11. 强调泰勒中值定理在数学和实际问题中的重要性，并鼓励学生继续深入学习和应用。

教学资源：1. 教材：根据教学大纲和学生的学习水平选择合适的教材章节和习题；2. 多媒体：投影仪、电脑等设备，用于展示示例和图示；3. 小组讨论材料：提供给学生进行小组讨论和分享的问题和解题思路。

评估方式：1. 参与度评估：观察学生在课堂讨论和活动中的积极程度；2. 解题能力评估：布置作业或小测验，考察学生对泰勒中值定理的理解和应用能力；3. 问题解决能力评估：设计开放性问题，要求学生运用泰勒中值定理解决实际问题，并评估解决方案的合理性和准确性。

教案建议和指导：1. 在引入部分，可以通过提出问题引发学生的思考和兴趣，激发学习动力；2. 在探究部分，可以通过图示和实例来帮助学生理解泰勒中值定理的几何意义和应用场景；3. 在实践部分，可以设计一些具体的问题，让学生进行实际计算和评估，加强对泰勒中值定理的应用能力；4. 在拓展部分，可以引导学生进行更深入的探究和研究，培养学生的自主学习和探索能力；5. 在评估方式中，可以结合不同形式的评估，全面考察学生的学习情况和能力发展。

泰勒中值定理与泰勒公式计算思路与典型题分析泰勒（Brook Taylor）英国数学家，主要以泰勒公式和泰勒级数出名。

一、泰勒多项式与麦克劳林多项式设函数f(x)在x0某邻域内有定义，并且在x0处有n阶导数，则称为函数f(x)在x0处的n阶(次)泰勒多项式. 其中系数称为f(x)在x0处的泰勒系数.特别，如果x0=0时，称为函数f(x)的n阶麦克劳林多项式.二、泰勒中值定理与泰勒公式定理(泰勒中值定理)如果函数f(x)在x0的某个邻域内具有直到n+1阶导数，则对邻域内任一点x，至少存在介于x0与x之间的一点ξ，使得该公式也称为带拉格朗日余项的泰勒公式，其中ξ也可以表示成三、带皮亚诺余项的泰勒公式如果函数f(x)在x0处具有直到n阶导数，则存在x0的一个邻域，对于该邻域内任一x，有此公式称为带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.【注】以上两个公式当x0=0时，分别称为n阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式和带皮亚诺余项的麦克劳林公式，即有四、泰勒公式的意义及使用原则泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高问题；提供了误差的估计公式，并可实现对误差的有效控制.【注1】函数f(x)在x=x0的n阶导数存在，则可以写出该函数在x=x0处的n次泰勒多项式，但是泰勒多项式不一定会随着n的增加逐渐逼近函数在x处的函数值.【注2】只要存在常数C>0使当x∈(a,b)时，恒有|f(n+1)(x)|≤C(n=0,1,2,…)则用n次泰勒多项式P n(x)来近似代替f(x)时，余项的绝对误差|R n(x)|(x∈(a,b))随n的增大可变得任意小. 对于初等函数而言，在任意定义区间上一般都满足这个条件，所以对应的泰勒多项式可以满足这个要求.【注3】记住几个基本初等函数的带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，其他的常见初等函数的在任意点的泰勒公式，一般都可以基于等式恒等，公式唯一的间接法来获得相应的泰勒公式.五、常用的几个麦克劳林公式带拉格朗日余项的麦克劳林公式带皮亚诺余项的麦克劳林公式【注1】一般在应用中都使用麦克劳林公式，因为一般位置的泰勒公式通过平移变换可以转换为麦克劳林公式描述.【注2】借助泰勒公式，可以计算函数在指定点的任意阶导数，即有六、计算函数泰勒公式的方法与典型题1. 直接法(1)计算n阶带拉格朗日余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n+1阶导数，然后由公式代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.(2)计算n阶带皮亚诺余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n阶导数，然后由公式代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.【注】计算麦克劳林公式即为x0=0处的泰勒公式. 该方法适合于所求阶数较低，函数不方便描述为具有以上几个已知泰勒公式的初等函数结构，或者函数求导结果具有一定规律的问题，比如上面几个基本初等函数的麦克劳林公式的计算.例1 求f(x)=secx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.【分析】该函数不好直接描述为以上五个函数，即sinx, cosx, e x, ln(1+x), (1+x)a的结构，所以使用直接法计算系数来获取相应的麦克劳林公式，由于要计算三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，所以要求x0=0处的函数值及三阶导数值，于是有所以有【注1】由于secx是偶函数，所以在计算导数的过程中也只需要计算偶数阶导数，奇数阶导数肯定为0.【注2】对于抽象函数一般使用直接法.例2(1996年数学一(199607)) 设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a, |f’’(x)|≤b.其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点.(1)写出f(x)在点x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；(2)证明|f’(x)|≤2a+b/2.【分析】首先，这是一个抽象函数的泰勒公式计算问题，并且在x=c处各阶导数都无法直接计算出，所以只能用抽象函数的导数描述形式描述，于是直接由泰勒公式定义形式，有其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1. 这就是该考题第(1)的结果.对于第二问，考虑的是f’(x)，由于c为任意点，所以就相当于考察泰勒公式中的f’(c)，所以希望将它用有相关已知条件的函数与二阶导数来描述，如果直接用一阶泰勒公式表示，则分母中出现x-c，无法获取最小下界. 因此，按照常规的泰勒公式的应用于证明题的思路，写出在某点的泰勒公式后，分别求其它已知点，或者中点、端点的函数值，然后借助两个泰勒公式消去一些不好讨论的项，得出能够讨论出结果的表达式.比如这里，除了c，就只有两个相关端点了，于是对一阶泰勒公式求x=0,x=1的值，有两式相减，则可以将f’(c)的变量系数消去，从而有而有绝对值不等式，有由于g(c)=(1-c)2+c2的导数为g’(c)=4c-2，所以驻点只有一个，即c=1/2，比较函数g(c)在0，1/2，1的值，即1,1/2,1，所以有1/2<g(c)<1，从而有结论成立.2. 间接法该方法基于函数表达式恒等变换与泰勒公式的唯一性.(1)将函数的变量描述为x-x0的函数形式，x变量不再以其它形式存在于函数表达式中；(2)将函数描述为已知麦克劳林公式的基本初等函数的结构，即sinx,cosx, e x, ln(1+x), (1+x)a，其中x可以是任意的表达式，如果将其替换为x-x0，则得函数在x=x0处的泰勒公式.【注】变换思路可以考虑两个方向，求麦克劳林公式则从考虑变换函数结构出发，求非零点的泰勒公式，则先考虑变量结构，在考虑函数结构.(3)写出构成函数的各基本初等函数的泰勒公式，合并化简系数，写出最终泰勒公式例2 分别求x2/(4+x)的n阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式和x=2处的n阶带皮亚诺余项的泰勒公式.【分析】(1)求带皮亚诺余项的麦克劳林公式，它从变换函数结构出发：具有x2/(4+x)结构的，已知泰勒公式的初等函数为于是有或者(2)求带皮亚诺余项的x=2泰勒公式，首先从变量出发，把变量都变为x-2，则有例3 求f(x)=e sinx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.【分析】：直接法：该函数不具有直接的以上五个函数结构，所以考虑直接法，于是有所以有间接法：于是有例4(2000数学二)：求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(3≤n).【解题分析】由于是求x=0处的n阶导数，所以由麦克劳林公式，有于是由ln(1+x)的麦克劳林公式：可得【另解】由于这是一个幂函数与对数函数的乘积，所以它的导数也可以由莱布尼兹计算公式来求，其中公式为：如果令则由于有所以有因此当x=0时，代入上式，则有相关推荐•柯西中值定理证明中值命题的基本思路与典型例题分析•拉格朗日中值定理证明中值命题的基本概念、基本步骤与典型题思路分析•罗尔定理证明中值命题的基本概念、步骤与典型题思路分析关于泰勒公式、泰勒中值定理的应用实例思路探索与分析可以参见全国大学生数学竞赛初赛非数学解析视频课堂，主要视频有：•第二届第2题：基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限（1个视频片段）•第三届第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析（3个视频片段）•第三届第三题：借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式（1个视频片段）•第四届第三题：借助麦克劳林公式探索方程近似解（1个视频片段）•第六届第三题：用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析（2个视频片段）•第八届第1题：函数极限计算的一般思路与方法（3个视频片段）。