中值定理及泰勒公式

中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。

中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。

1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。

罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。

简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。

2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。

拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。

3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。

柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。

简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。

泰勒中值定理拉格朗日中值定理：误差一次多项式微分的定义：+0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+--000()()()()f x f x f x x x '≈+-的一次多项式1()()p x x ==介于与之间000()()()().f x f x f x x x x ξξ'+-’‘010010()()()()f x P x f x P x ==x )(x f y =oxy1()y P x =在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：2()y P x =函数值相同一阶导相同在点处，0x 二阶导也相同！自然的想法：然后用待定系数法确定系数.令=2012(),nn n P x a a x a x a x ++++ 在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：换一种想法：令=2010200()(-)(-)(-).nn n P x a a x x a x x a x x ++++ 在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：令=2010200()(-)(-)(-).nn n P x a a x x a x x a x x ++++ 则=11200'()2(-)(-),n n n P x a a x x na x x -+++ =220"()2!(1)(-),n n n P x a n n a x x -++- =()()!.n n n P x n a =()0()!(1)(1)(-),k n kn k n P x k a n n n k a x x -++--+则=====000102()0()0(),'(),"()2!,()!,()!.n n n k n k n n n P x a P x a P x a P x k a P x n a=====000102()0()0(),'(),"()2!,()!,()!.k k n n f x a f x a f x a f x k a fx n a=====001002()0()0(),'(),"(),2!(),!().!k k n n a f x a f x f x a fx a k fx a n ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤泰勒（ Taylor ）多项式=2010200()(-)(-)(-),nn n P x a a x x a x x a x x ++++ 在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：其中=()0().!n n fx a n 称为在处的阶多项式0()().n P x f x x n Taylor=2010200()(-)(-)(-),nn n P x a a x x a x x a x x ++++ 在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：其中=()0().!n n fx a n 仍需解决的问题：如何估计误差 ?称为在处的阶多项式0()().n P x f x x n Taylor在点附近，用次多项式=逼近函数的误差估计()1000()()(-)!().k nkn k fx n P x x x k f x x =∑问题：称为的阶余项()()()().n n R x f x P x f x n =-易得,0()n R x 0()n R x '=()0()0.n n R x === ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤在与之间0()n x ξξ10()()n n R x x x +=- ()0()(1)2()n nn n R n x ξξ=+- 10()()n n R x x x +-110()(1)()n n R n x ξξ'=+- 110()(1)()n n R n x ξξ'=+-2120()(1)()nn R n n x ξξ-''=+-=(1)()(1)!n n R n ξ+=+0()n R x -0-0()n R x '-0-()0()n nR x -0-x 在与之间10()x x ξ在与之间201()x ξξ0()n R x 0()n R x '=()0()0.n n R x === 若在以与为端点的区间内具有直到阶导数0()1f x x x n +泰勒（ Taylor ）中值定理的阶泰勒公式.()f x n 定理若在包含的某开区间内具有直到0()(,)1f x x a b n +阶的导数 ,则当时有(,),x a b ∈在与之间(1)100()()().()(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+泰勒 目录 上页 下页 返回 结束200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+()00()()(),!n n n f x x x R x n +-+的阶泰勒公式的拉格朗日余项.()f x n在与之间(1)010()()()()(1)!n n nn R x R x x x x n ξξ++=-+()()()n n R x f x P x =-(1)()0,n nPx += (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+(1)(1)()()n n nRx f x ++∴=当在的某邻域内时(1)0()n x f x M +≤在与之间0()x x ξ1()(1)!n n M R x x x n +≤-+00()(())().nn R x o x x x x ∴=-→泰勒（ Taylor ）中值定理定理若在包含的某开区间内具有直到0()(,)1f x x a b n +阶的导数 ,泰勒 目录 上页 下页 返回 结束200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+()0000()()[()].()!n n n f x x x o x x x x n +-+-→的阶泰勒公式的佩亚诺余项.()f x n 有时在则且界(1)()(,,),(,)n f x a b x a b +∈的带余项的阶泰勒公式诺.佩亚()f x n特例:拉格朗日中值定理()f x ≈0()f x 00()()f x x x '+-00()()()()f x f x f x x ξ'=+-在与之间0()x x ξ20000()()()()()()2!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-在与之间0)(x x ξ当时,泰勒公式变为：(1)0n =当时,泰勒公式变为：(2)1n =210()()()2!f R x x x ξ''=-误差在与之间0)(x x ξ在泰勒公式中若取麦克劳林 (Maclaurin) 公式()2(0)(0)()(0)(0)(),2!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++ (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+若在包含点的某开区间内具有直到()0(,)1f x a b n +阶的导数 ,则当时有(,),x a b ∈在与之间(0)x ξ且在有界(1)()(,),n fx a b +()no x =(0)x →=(1)1()(1)!n n f x x n θ+++(01)(,)θ∈例1、解求 的 阶麦克劳林公式 .()ln(1)f x x n =+ ()()()1(1)!()(1)1n n nn f x n N x --=-∈+ , ()1(0)(1)(1)!(0)0n n fn f -∴=--=故 231ln(1)(1)()23n n n x x x x x R x n-+=-+-+-+ 其中 , , ()11(1)1()011(1)n n n n xR x n x θθ++-=<<++(1)x >-例2、将 在点 处展开为带拉格朗日余项的 阶泰勒公式.0()ln 3f x x x n == 3()ln ln[3(3)]ln 3ln(1)3x f x x x -==+-=++记 则由 3,3x u -=11ln(1)(1)()k n k n k x u R x k -=+=-+∑得 11()ln 3ln(1)ln 3(1)()k nk n k u f x u R u k -==++=+-+∑ 11111(3)ln 3(1)(3)(1)3(1)n nk k n k n k x x k n ξ+-+=-=+--+-⋅+∑ 其中 介于 3 和 之间 )(x ξ解泰勒中值定理可用以：近似计算；求极限 ；证明不等式 ；……泰勒中值定理是利用多项式局部逼近函数的理论基础:给出了多项式的表达式; 进行了误差分析.。

中值定理和泰勒公式中值定理是微积分中的一个基本定理，它主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

这些定理都用于描述函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。

拉格朗日中值定理是最基本的中值定理，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。

换句话说，函数在开区间内的平均变化率等于其中一点的瞬时变化率。

柯西中值定理是对拉格朗日中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)不等于零，那么在(a,b)内存在一点c，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。

柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理在多元函数中的扩展，它给出了函数f(x)和g(x)在区间内的变化率之间的关系。

罗尔中值定理是对拉格朗日中值定理的另一种形式，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=0。

简单来说，罗尔中值定理说明了如果在区间的两个端点处函数取相同的值，并且函数在区间内可导，那么在区间内存在一个点，该点处的导数为零。

泰勒公式是微积分中的另一个重要公式，它可以将一个函数表示为无穷级数的形式，从而方便地进行近似计算。

泰勒公式的基本形式如下：设函数f(x)在点a处具有n+1阶连续导数，那么对于a附近的任意x，函数f(x)可以表示为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)，其中R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是剩余项，是一个无穷小量。

第四章 微积分中值定理与证明4.1 微分中值定理与证明一 基本结论 1．连续性定理：定理1（零点定理） 若()f x 在[,]a b 连续，()()0f a f b ⋅<，则(,)a b ξ∃∈，使得 ()0f ξ=。

定理2（最值定理） 若()f x 在[,]a b 连续，则存在12,x x 使得12(),()f x m f x M ==． 其中,m M 分别是()f x 在[,]a b 的最小值和最大值．定理3（介值定理）若()f x 在[,]a b 上连续，则存在最小值和最大值分别是,m M ，对 于任意的[,]C m M ∀∈，都存在[,]a b ξ∃∈使得()f C ξ=．更一般的结论：若()f x 在[,]a b 上连续，对1x ∀，2[,]x a b ∈，（假设12()()f x f x <），则12[(),()]C f x f x ∀∈，都存在12(,)x x ξ∈，使得()f C ξ=。

2．微分中值定理：定理1（费玛定理）如果0x 是极值点，且()f x 在0x 可导， 则0()0f x '=．定理2 （罗尔定理） 若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，()()f a f b =，则(,)a b ξ∃∈， 使得()0f ξ'=．定理3（拉格朗日定理）若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a b a f ξ'-=-．定理4（柯西定理） 若()f x ，()g x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，且()0g x '≠，则 (,)a b ξ∃∈使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．定理5（泰勒公式和麦克劳林公式）（数三不要求）泰勒公式：设()f x 在0x 的某个邻域内0()U x 具有1n +阶导数，则0()x U x ∀∈，有 ()(1)1000000()()()()()()...()()!(1)!n n nn fx ff x f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+，其中ξ在x 和0x 之间，常常把ξ表示为00()x x x θ+-，01θ<<．麦克劳林公式：设()f x 在0的某个邻域内(0)U 具有1n +阶导数，则(0)x U ∀∈，有()(1)1(0)()()(0)(0)...!(1)!n n nn fff x f f x x xn n ξ++'=+++++，其中ξ在0和x 之间．3．连续定理和微分中值定理特点：（1）证明存在性，使函数在一点的函数值满足某个等式，常应用连续性定理：零点定 理、最值定理、介值定理，其中最常用的是零点定理．（2）证明存在性，使函数在一点的导函数值满足某个等式，常应用微分中值定理：费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式，其中最常用的是罗尔定理．（3）费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理仅仅涉及一个函数，而柯西中值定理涉及到两个函数；（4）若题设涉及到高阶导数，常应用到泰勒公式和麦克劳林公式；二 基本方法题型1 方程的根的讨论（函数的零点）1．方程根（函数的零点）的存在性：主要应用零点定理．2．方程根（函数的零点）的个数的讨论：求出单调区间，对每个单调区间应用零点定理来判断是否有零点，即是否有根，从而得到函数在给定的区间上根的个数以及根所处的位置（范围）．例1 证明：当230a b -<时，实系数方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．证明 令32()f x x ax bx c =+++，则2()32f x x ax b '=++，由于230a b -<，于是2()320f x x ax b '=++>，即()f x 单调递增的．由于lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()x f x →-∞=-∞所以()y f x =与x 轴有且仅有一个交点．即方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．例2 证明：方程1ln 0ex x +=只有一个实根．证明 设1()ln e f x x x =+，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1ex =．显然在10,e⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，于是()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减少；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，于是()f x 在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调增加，而10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以方程1ln 0e x x +=只有一个实根．例3 讨论方程33x x c -=中的常数c ，在什么情况仅有一个根，两个根，三个根？解 令3()3f x x x c =--，则2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±．于是在(,1)-∞-上，()f x 单调增加，在(1,1)-上，()f x 单调减少；在(1,)∞上，()f x 单调增加。

四微分中值定理与泰勒公式一、四微分中值定理若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可微，并且在a 和b处的导数存在，则存在一点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]=f'(a)(b-a)+(1/2)f''(a)(b-a)^2+(1/6)f'''(a)(b-a)^3+(1/24)f''''(a)(b-a)^4其中，f'(a)、f''(a)、f'''(a)和f''''(a)分别是a处的一至四阶导数。

四微分中值定理是一个推广的中值定理，它表示函数在其中一区间上的增量可以用函数及其导数的其中一种组合表示。

这个定理的一个重要应用是近似计算函数的值，特别是当函数的导数容易求出时，可以通过多次求导来逼近函数的值。

二、泰勒公式泰勒公式是函数在其中一点附近的展开近似。

对于函数f(x)在点a 处具有n+1阶连续导数的情况，泰勒公式表述如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+⋯+(1/n!)f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)其中，R_n(x)是带有拉格朗日余项的公式，形式为R_n(x)=(1/(n+1)!)[f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)]其中，c是a和x之间的其中一点。

泰勒公式表示了函数在其中一点附近的多项式展开式，其中的余项由高阶导数决定。

当x足够接近a时，高阶导数的贡献逐渐变小，此时可以截断展开式，用有限项的多项式来近似计算函数的值。

泰勒公式的应用非常广泛，可以用于各种函数近似计算和数值分析问题。

特别地，当取n=0时，泰勒公式变为函数的一阶线性近似，即线性逼近。

总结起来，四微分中值定理和泰勒公式都是微积分中的重要定理，用于近似计算函数的值和研究函数的性质。