泰勒公式(泰勒中值定理)

泰勒中值定理一、泰勒中值定理若)(x f 在含有0x 的某个区间I 内具有直到1n +阶导数，则当x I ∈时，有()20000000()()()()'()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n ''=+-+-++-+ ，其中拉格朗日型余项(1)0()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ+=-+位于0x 与x 之间．当0n =时，泰勒中值定理就是拉格朗日中值定理．取00x =，()(1)2(0)(0)()()(0)'(0),2!!(1)!n n n nf f f f x f f x x x x x n n ξξθ+''=+++++=+ 位于0与x 之间，(0,1)θ∈，其为n 阶麦克劳林公式．二、基本函数的高阶导数公式⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-mn x A m n n m n x n m n mn m !0)()( 1)()(!)1(1+±-=⎪⎭⎫ ⎝⎛±n n m a x n a x ， nn n a x n a x )()!1()1()][ln(1)(±--=±-，a a a nx n x ln )()(=， )2sin()(sin )(πn ax a ax n n +=，)2cos()(cos )(πn ax a ax n n +=；()()()()()()12120[()()]()(),[()()][()][()]nn n n n kn k k n k k u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x -=+=+=⋅∑； 三、基本函数的麦克劳林展开式(1)2(1)(1)(1)(1)12!!mnm m m m m n x mx x x n ---++=+++++ ,1x < (2) ++-++-+-=++1)1(432)1ln(1432n x x x x x x n n )11(≤<-x (3) ++++++=!!3!2!1132n x x x x e n x)(+∞<<-∞x (4) +--+-+-=--)!12()1(!5!3sin 12153n x x x x x n n )(+∞<<-∞x (5) +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n )(+∞<<-∞x 当0x →时，有233(1)(1)(2)(1)1()2!3!mm m m m m x mx x x o x ---+=++++12332111(1)1()2816x x x x o x +=+-++,233ln(1)()23x x x x o x +=-++2331()1!2!3!x x x x e o x =++++,23233ln ln ln 1()1!2!3!xa a a a x x x o x =++++355sin ()3!5!x x x x o x =-++,244cos 1()2!4!x x x o x =-++,3552tan ()315x x x x o x =+++3553arcsin ()640x x x x o x =+++,355arctan ()35x x x x o x =-++例1、求下列高阶导数)()(x yn（1）设502)54(+=x y ，则!100450)100(⋅=y ．（2）设232+-=x x x y ，求)(n y ． 解： ])2(2)1(1[!)1()21(2)11(11)()()(++-++⋅-=-++=n n n n n n x x n x x y． （3）设x y x y=-，则1(2,1)1!(1),2!()n n n n n n z n x z n y y x y ++∂∂=-=⋅∂-∂ （3）设x x y 44cos sin +=，则)24cos(4)4(cos 41)43()1()()()(πn x x y n n n n +=+=-．（4）设n n x x x y )4(cos )2(2π-+=，求)()(x f n ，)1()(n f ．解：()()()0()[(1)][(2)(cos )]4nn k n k nn n k n k x f x C x x π-==-+∑ 21)(2!3|)4(cos)2(!)1(n n x nnnnn n xx n C f=+==π．（5）设函数2()sin f x x x =，求 (2009)(0)f．解：321221sin [(1)]3!(21)!n n x x x x x x n --=-++-+- 52131(1)3!(21)!n n x x x n +-=-++-+- 则(2009)(0)12009!2007!f =，故(2009)(0)20082009f=⨯． 注（1）： 若01()nn f x a a x a x =++++ ，则()(0)()(0)(0)!n n f f x f f x x n '=++++ ，于是()(0)!n n f a n =，故()(0)!n n f n a =． 注（2）：若求(2009)()4fπ，则只能用莱布尼兹公式完成．例2、计算下列极限（1）4301sin sinlim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1x x x x x e →-++-；（3）21lim ln(1)x x x x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦； （1）解：原式33303033000tan ~()sin 113!lim lim sin lim 6x x x x x x o x x x x x x x →→→+-=+==． （2）解：原式22222200(1)[()]()122lim lim 2x x x xx x x o x o x x x →→-+-+-+===-． （3）解：原式21222()ln(1)12lim lim 2x t x x t o x t t t t =∞-∞→∞→∞+-+=== 或（泰勒）2221111lim (())22x x x o x x x →∞⎡⎤=--+=⎢⎥⎣⎦．例3、设lim )0x ax b →+∞-=，求b a ,．解：10lim )lim x tx t bt aax b t =→+∞→--=3021001(2)()1()223lim lim 0333a t t t t o t bt o t t b b t t =→→++-⎡⎤==++-=-=⎢⎥⎣⎦∴ 32,1==b a ． 例4、当0→x 时，x x33tan -是关于x 的k 阶无穷小，则3=k ．解：（一）tan tan 00003331(tan )ln 3lim lim lim3limx x x x xk k kx x x x x x x x x -→→→→---== 3330()ln 33ln 3lim 3k k x x x o x x x =→++-==故3=k ． 解：（二）tan 0000333(tan )tan lim ln 3lim ln 3lim lim3x x k k k x x x x x x x x x xξξξ→→→→---== 33300()tan ln 33ln 3lim ln 3lim 3k k k x x xx o x x x x x x =→→++--==，故3=k ． 例5、设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值．解： 由条件可知),()0()0()(h h f f h f ο+'+=).()0(2)0()2(h h f f h f ο+'+= 所以)0()2()(f h bf h af -+=).()0()2()0()1(h h f b a f b a ο+'++-+从而⎩⎨⎧=+=-+0201b a b a ,可得⎩⎨⎧-==12b a ．注（1）：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，则当0x →时，有 ()(0)()(0)(0)()!n n n f f x f f x x x n ο'=++++ ．证明：()0(0)()[(0)(0)]!lim n nn x f f x f f x x n x→'-+++ ()1'10(0)'()(0)''(0)(1)!lim n n L Hn x f f x f f x x n nx --→'-----= ()2'20(0)''()''(0)(2)!lim (1)n n L Hn x f f x f x n n n x--→----=- (1)(1)()'0()(0)(0)lim !n n n L Hx f x f f x n x --→--== (1)(1)()01()(0)[lim (0)]0!n n n x f x f f n x--→-=-=．注（2）：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有(1)n +阶导数，利用注（1）的结论，则有()(1)10(0)()(0)(0)(0)!lim (1)!n nn n x f f x f f x xf n x n ++→'---=+ ．例6、设()f x 在0x =处具有二阶导数，且有42260()ln(1)2lim 3x x f x x x x →++-=， 求(0),'(0),''(0)f f f ．解：当0x →时，22''(0)()(0)(0)()2!f f x f f x x x ο'=+++46226ln(1)()23x x x x o x +=-++于是，422602()ln(1)lim 3x x f x x x x →++-=4566601''(0)1[(0)](0)[]()22!3lim x f f x f x x x x ο→'-++++= 201[(0)](0)''(0)12lim []2!3x f f xf x →'-+=++故有1(0),2f ='(0)0f =，而''(0)122!33f +=，即2''(0)3f =．例7、设函数)(x f 在(1,1)-内任意阶可导， ()(0)0n f ≠，1,2,n = ，且满足泰勒公式 (1)()1(0)()()(0)'(0),(1)!!n n n nf f x f x f f x x x n n θ--=++++- (0,1)θ∈，求0lim x θ→．解：()()(1)0()(0)lim (0)0n n n x f x f f xθθ+→-=≠(1)()1()()100(0)(0)()(0)'(0)()(0)(1)!!lim !limn n n nn n n x x f f f x f f x x xf x f n n n x x θ--+→→-------= (1)(1)(0)(0)!(1)!1n n f f n n n ++==++则01lim 1x n θ→=+． 例8、设()f x 在(0,)+∞内满足''()1f x ≤，且lim ()x f x →+∞存在，求证：lim '()0x f x →+∞=．解：当(0,)x ∈+∞时，任取0ε>，有2'()()()'(),(,)2f f x f x f x x x ξεεεξε+=++∈+则()()''()()()''()'()22f x f x f f x f x f f x εξεξεεεε+-+-=-≤+ 1()()2f x f x εεε≤+-+ 注意到lim ()x f x →+∞存在，有1lim '()lim[()()]22x x f x f x f x εεεε→+∞→+∞≤+-+=于是00lim '()lim lim '()lim 02x x f x f x εεε++→+∞→+∞→→=≤=故lim '()0x f x →+∞=．练习题1、设xx x f +-=11)(，则nn n x n x f )1(!2)1()()(+⋅⋅-=． 2、设函数)1ln()(2x x x f +=，则当3≥n ，2!)1()0(1)(--=-n n fn n ． 3、设222xy x y=-，则(2,1)n nz y ∂=∂ 1(1)![1]3nn n +-+．4、设函数()(1)sin f x x x x =-，则(2010)(0)f =2010-．5、计算下列极限（1）0x →=14-（2）0x x →=1（3）30arctan lim ln(12)x x x x →-=+16- （4）0tan 22tan lim sin 33sin x x x x x →-=-12-（5）22201cos lim()sin x x x x →-=43（6）30sin(sin )sin[sin(sin )]lim sin x x x x →-=166、若0)(6sin lim 30=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x xf x x ，则206()lim x f x x →+=36． 7、设2)()1l n (lim 220=+-+→x bx ax x x ，则------------------------------------------AA 25,1-==b aB 2,0-==b aC 25,0-==b a D 2,1-==b a8、当0,1cos cos 2cos3x x x x →-对于无穷小x 的阶数为2．9、设当)1(,02++-→bx ax e x x 是比2x 高阶的无穷小，则-------------------------AA 1,21==b aB 1,1==b aC 1,21=-=b a D 1,1=-=b a10、当230,(1)1()x x e ax bx cx o x →++=++是比2x 高阶的无穷小，试确定,,a b c ．121,,633a b c ==-=11、当0,()ln(1)1xx f x ax bx→=-++关于无穷小x 的阶数最高，试确定,a b ．11,2a b ==-12、设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0(≠'f ，(0)0f ''≠， 求证： 存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．。

无穷小的泰勒中值定理无穷小是微积分中的一个重要概念，而泰勒中值定理是无穷小的应用之一。

今天我们就来一起探讨一下无穷小的泰勒中值定理。

一、无穷小的定义无穷小是指当自变量趋近于某一点时，其函数值趋近于零的函数。

换句话说，就是说函数在某一点附近的取值与零非常接近。

它可以用极限的语言来表达：如果对于$\forall\ \varepsilon > 0$，都存在一个正实数$\delta$，使得当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，恒有 $|f(x)| < \varepsilon$，那么我们就称 $f(x)$ 为 $x\to a$ 时的无穷小。

其中，$a$ 是自变量 $x$ 的极限，$f(x)$ 与 $0$ 的距离不能超过 $\varepsilon$。

二、泰勒公式下面我们来看一下泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f^{(n)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $a$ 处的 $n$ 次导数。

泰勒公式是一个很强大的工具，在计算函数的近似值时有很大的作用。

我们只需要求出自变量所处的位置，再把这个值代入泰勒公式中，就可以得到函数在那个位置的近似值。

三、泰勒中值定理泰勒中值定理就是在泰勒公式的基础上，将其展开到前$n$ 项，然后再加上一个无穷小。

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n$$其中，$c$ 是 $a$ 和 $x$ 之间的某个值。

根据泰勒中值定理，我们可以用函数在某个位置的前 $n$ 项式子加上一个无穷小来近似地表示函数在另一个位置的值。

这里的无穷小可以很小，可以小到足以忽略不计。

四、无穷小的泰勒中值定理的应用无穷小的泰勒中值定理在微积分中有很多应用，下面列举几个：1、用泰勒中值定理来证明不等式。

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!•(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。

）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。

设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。

显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。

至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.接下来就要求误差的具体表达式了。

0 泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧一、理论系统与考点f ( x ) = ∑ k =0 f (k )(x ) k ! + R n = f ( x 0 ) + f '( x )( x - x ) + 1 f 0 0 2!'( x 0 )( x - x 0 ) + ... + R n 。

其中：R n 称为余项。

余项的形式需要掌握以下两种：(1) R n = f (n +1) (ξ ) ( x - x 0 ) n +1称为拉格朗日余项，其相应的定理形式表达如下：(n +1)！ n f (k ) (x ) f (n +1) (ξ ) n +1f ( x )在区间(a , b )上具有直到 n +1 阶导数，那么f ( x ) = ∑ 0 + ( x - x 0 ) 。

• ξ 介于x 0和x 之间，但不一定等于它们。

k =0k !(n +1)！• 注意x 0与x 都不能保证取到区间的端点值，即 x 0 ∈(a , b ), x ∈(a , b )。

• 由于ξ - x 与x - x 同号，且0<ξ - x 0<1,如令θ ∈(0, 1) ⇒ ξ = x + θ ( x - x ) = x + θ h = x + θ ( x ) h ，其中h = x - x ；x - x 00 0 0 0 0n f (k ) (x ) f (n +1) (ξ ) + n f (k ) (x ) f (n +1) ( x + θ (h ))f ( x ) = ∑ 0 + ( x - x )n 1 =∑ 0 + 0 h n +1。

k =0 k ! (n +1)！ 0k =0 k ! (n +1)！• 只要求在开区间(a , b )有直到n +1阶导数, 它并不要求f ( x )在[a , b ]上连续，而且不要求f (n +1)( x )的连续性。

拉格朗日余项中值定理的两个常用加强型(重要考点)(a )如果增加条件f ( x )在[a , b ]连续 ⇒ x 0 ∈(a , b ), x ∈[a , b ],即x 可以取端点值，x 0不一定能取端点值。

常见泰勒公式的推导或麦克泰勒展开推导过程对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道,当lxl很小时,有如下的近似等式:，ex≈1+x，ln(1+x)≈x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子。

显然，在x =0处这些一次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。

但是这种近似表达式的精确度不高，它所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小。

为了提高精确度，自然想到用更高次的多项式来逼近函数。

于是，提出如下问题：设f(x)在x0处具有n阶导数,试找出一个关于(x−x0)的n次多项式：pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+···++an(x−x0)n (3−1)来近似表达f(x)，要求使得p(x)与f(x)之差是当x→x0时比(x−x)n高阶的无穷小.下面我们来讨论这个问题，假设pn(x)在x0处的函数值及它的直到n 阶导数在x处的值依次与f(x),f′(x),…,f(n)(x)相等，即满足：pn(x0)=f(x0),pn′(x0)=f′(x0),pn″(x0)=f″(x0),···,pn(n)(x0)=f(n)(x0),按这些等式来确定多项式(3-1)的系数a0,a1,a2,…,an，为此，对(3-1)式求各阶导数,然后分别代入以上等式，得：，，，，a0=f(x0)，1·a1=f′(x0),2!a2=f″(x0)，···，n!an=f(n)(x0)，即得：a0=f(x0),a1=f′(x0),a2=12!f″(x0),···,an=1n!f(n)(x0)将求得的系数a0,a1,a2,…,an代人(3-1)式，有：pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n (3−2)下面的定理表明，多项式(3-2)的确是所要找的n次多项式泰勒(Taylor)中值定理1如果函数f(x)在x0处具有n阶导数，那么存在的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) (3−3)其中佩亚诺余项Piano：Rn(x)=o((x−x0)n)泰勒(Taylor)中值定理2如果函数f(x)在x的某个邻域U(x)内具有(n+1)阶导数，那么对任一x ∈U(x0)，有：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) (3−5)其中拉格朗日余项Lagrange：Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1这里ξ是x与x0之间的某个值在泰勒公式(3-3)中，如果取x=0，那么有带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式：此时，系数an=f(n)(0)n!f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+···+f(n)(0)n!xn+o(xn) (3−8)在泰勒公式(3-5)中，如果取x=0，那么ξ在0与x之间，因此可以令ξ=θx (0<θ<1)，从而泰勒公式(3-5)变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+···+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1 (3−9)f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n当x0=0f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!(x)n常用低阶泰勒展开式导数可参考我的这篇文章考研数学三角函数记不住？看这篇就够了！【记忆版】254 赞同·10 评论文章sinx=x−x33!+x55!+o(x3) arcsinx=x+x33!+o(x3)cosx=1−x22!+x44!+o(x4) arccosx=π2−x−x33!+o(x3)tanx=x+x33+2x515+o(x3) arctanx=x−x33+o(x3)从上面可以看出（反）三角函数的泰勒展开是跳阶的(1、3、5...其中tanx的系数不像sinx和cosx那么规律)，根据导数公式可以看出有的是加减交替而有的不是；而其他函数的泰勒展开式是逐阶的。